耶魯學(xué)院的理論化學(xué)學(xué)家亞歷山大·波利亞科夫（）在1981年洞悉了量子理論的未來(lái)。一系列謎團(tuán)，從弦的擺動(dòng)到夸克與質(zhì)子的結(jié)合，都須要一種新的物理工具來(lái)揭露。
他在《物理快報(bào)b》（b）中寫道“科學(xué)中有許多方式和公式，它們是解決許多看似不同的問(wèn)題的萬(wàn)能鎖匙。目前，我們必須發(fā)展一種處理隨機(jī)曲面求和的藝術(shù)。”
波利亞科夫的提議被證明是強(qiáng)有力的。在他的論文中，他概述了一個(gè)公式，簡(jiǎn)略地描述了怎樣估算一個(gè)十分混亂的表面，即“劉維爾場(chǎng)”。他的工作將化學(xué)學(xué)家?guī)肓艘粋€(gè)新的物理領(lǐng)域，這對(duì)于解開(kāi)被稱為弦的理論對(duì)象的行為以及完善量子引力的簡(jiǎn)化模型至關(guān)重要。
多年的努力使波利亞科夫?yàn)槠渌?a href='http://www.njxqhms.com/redianxinxi/16529.html' title='熱力學(xué)的量子革命：信息是數(shù)學(xué)的但萬(wàn)物都是信息嗎？' target='_blank'>數(shù)學(xué)理論找到了突破性的解決方案，但他未曾完全理解劉維爾場(chǎng)背后的物理。
但是，在過(guò)去的五年中，一組物理家完成了許多研究人員覺(jué)得不可能完成的事情。她們用完全嚴(yán)格的物理語(yǔ)言重新定義了波利亞科夫的公式，并證明了劉維爾場(chǎng)完美地模擬了波利亞科夫覺(jué)得會(huì)出現(xiàn)的現(xiàn)象。
這三篇論文在物理和化學(xué)之間架起了一座橋梁。這項(xiàng)工作還涉及到一些哲學(xué)問(wèn)題，這種問(wèn)題涉及在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的主要理論中搶占中心地位的對(duì)象——量子場(chǎng)。
無(wú)限的場(chǎng)
在昨天的數(shù)學(xué)學(xué)中，最成功的理論中的主角是場(chǎng)（填充空間的物體），從一個(gè)地方到另一個(gè)地方具有不同的值。
比如，在精典化學(xué)學(xué)中，一個(gè)單獨(dú)的場(chǎng)能告訴你力是怎樣推進(jìn)物體的。以月球磁場(chǎng)為例：羅盤表針的晃動(dòng)顯示了磁場(chǎng)在月球上每一點(diǎn)的影響（硬度和方向）。場(chǎng)也是量子化學(xué)學(xué)的核心。但是，因?yàn)榱孔永碚摰碾S機(jī)性，情況愈發(fā)復(fù)雜。從量子的角度來(lái)看，月球不是形成一個(gè)磁場(chǎng)，而是無(wú)限多個(gè)不同的磁場(chǎng)。
然而化學(xué)學(xué)家一直想作出預(yù)測(cè)，將量子場(chǎng)的無(wú)限方式同化為一個(gè)單一的場(chǎng)是“量子場(chǎng)理論”的繁重任務(wù)。這是一個(gè)模型，描述了一個(gè)或多個(gè)量子場(chǎng)，每位量子場(chǎng)都有無(wú)限的變化。
在實(shí)驗(yàn)的促進(jìn)下什么是經(jīng)典物理學(xué)，量子場(chǎng)論已然成為粒子化學(xué)的基本理論。標(biāo)準(zhǔn)模型就是其中一種量子場(chǎng)論，它把電子這樣的基本粒子描摹成電子場(chǎng)中的模糊突起。到目前為止，它早已通過(guò)了所有的實(shí)驗(yàn)測(cè)試。
化學(xué)學(xué)家使用了許多不同的量子場(chǎng)論。一些模型，例如標(biāo)準(zhǔn)模型，模擬真實(shí)粒子在宇宙的四個(gè)維度中聯(lián)通。其他量子場(chǎng)論描述了奇特宇宙中的奇特粒子，從二維平面到六維超世界。它們與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系是遙遠(yuǎn)的，但化學(xué)學(xué)家們研究它們是希望獲得一些洞見(jiàn)，便于將它們帶回我們自己的世界。
波利亞科夫的劉維爾場(chǎng)論就是這樣一個(gè)反例。
引力的能量場(chǎng)
劉維爾場(chǎng)基于19世紀(jì)歐洲物理家約瑟夫·劉維爾提出的一個(gè)復(fù)剖析多項(xiàng)式，它描述了一個(gè)完全隨機(jī)的二維表面，其中每位點(diǎn)的高度都是隨機(jī)選擇的。這樣的表面會(huì)出現(xiàn)無(wú)數(shù)的“山峰”，每一個(gè)山峰都是通過(guò)滾動(dòng)一個(gè)有無(wú)數(shù)面的色子來(lái)確定的。
這樣的一個(gè)二維表面可能看上去不像數(shù)學(xué)的信息模型，但隨機(jī)性并非沒(méi)有固定的模式。諸如，鐘形曲線告訴我們?cè)诮稚想S機(jī)經(jīng)過(guò)一個(gè)2米高的足球運(yùn)動(dòng)員的可能性有多大。同樣，球形云和褶皺的海岸線也遵守隨機(jī)模式，但依然有可能辨認(rèn)出它們的大尺度和小尺度特點(diǎn)之間的一致關(guān)系。
劉維爾理論可用于辨識(shí)無(wú)盡紋樣中所有可能的隨機(jī)、鋸齒狀的模式。波利亞科夫意識(shí)劉維爾理論對(duì)于弦的建模是必不可少的。該理論也被用于描述二維世界中的量子引力。愛(ài)因斯坦將引力定義為時(shí)空的曲率，將他的描述轉(zhuǎn)化為量子場(chǎng)論的語(yǔ)言，創(chuàng)造了無(wú)限多的時(shí)空——就像月球形成無(wú)限多的磁場(chǎng)一樣。劉維爾理論將所有那些表面打包成一個(gè)物體。它為化學(xué)學(xué)家提供了檢測(cè)任意二維平面上每位位置的曲率的工具。
量子引力基本上意味著隨機(jī)幾何，由于量子意味著隨機(jī)，而引力意味著幾何。
波利亞科夫探求隨機(jī)表面世界的第一步是寫下一個(gè)表達(dá)式來(lái)定義找到一個(gè)特殊的尖狀行星的機(jī)率，如同鐘形曲線定義遇見(jiàn)某個(gè)特定高度的人的機(jī)率一樣。并且他的公式并沒(méi)有帶來(lái)有用的數(shù)值預(yù)測(cè)。
量子場(chǎng)論要解決的就是能否借助場(chǎng)來(lái)預(yù)測(cè)觀測(cè)。在實(shí)踐中什么是經(jīng)典物理學(xué)，這意味著估算一個(gè)場(chǎng)的“相關(guān)函數(shù)”，它通過(guò)描述場(chǎng)在某一點(diǎn)上的檢測(cè)與另一點(diǎn)上的檢測(cè)的關(guān)聯(lián)程度來(lái)捕獲場(chǎng)的行為。諸如，估算光子場(chǎng)中的相關(guān)函數(shù)可以得出量子電磁學(xué)定理。
波利亞科夫追求的是更具象的東西：隨機(jī)表面的本質(zhì)。幾六年來(lái)，他嘗試了兩種不同的估算方式。他從一種稱作費(fèi)曼路徑積分的技術(shù)開(kāi)始，最終發(fā)展出一種稱為自助法（）的變通方式。這兩種方式在不同的方面都存在缺陷，直至物理家們將它們結(jié)合在一起，產(chǎn)生了一個(gè)更精確的公式。
把她們加上去
你可能會(huì)覺(jué)得，要解釋量子場(chǎng)的無(wú)限多種方式幾乎是不可能的，確實(shí)是這樣。20世紀(jì)40年代，量子化學(xué)學(xué)的先驅(qū)理查德·費(fèi)曼開(kāi)發(fā)了一種解決這些令人困擾的情況的方式，但這些方式被證明十分有限。
再以月球磁場(chǎng)為例。我們的目標(biāo)是用量子場(chǎng)理論來(lái)預(yù)測(cè)當(dāng)你在一個(gè)特定的位置使用羅盤讀數(shù)時(shí)你會(huì)觀察到哪些。為了做到這一點(diǎn)，費(fèi)曼提出將所有場(chǎng)的方式加上去。他覺(jué)得讀數(shù)將代表所有場(chǎng)可能方式的某個(gè)平均值。用適當(dāng)?shù)募訖?quán)把這種無(wú)限場(chǎng)構(gòu)象加上去的過(guò)程稱為費(fèi)曼路徑積分。
這是一個(gè)絕妙的看法，它只對(duì)選取的量子場(chǎng)給開(kāi)具體的答案。沒(méi)有一種已知的物理方式可以對(duì)覆蓋無(wú)限寬廣空間的無(wú)限數(shù)目的物體進(jìn)行有意義的平均。路徑積分更像是一種數(shù)學(xué)哲學(xué)，而不是精確的物理公式。物理家們指責(zé)它作為一種有效的運(yùn)算的存在，化學(xué)學(xué)家們對(duì)它的依賴方法也讓她們倍感疑惑。
化學(xué)學(xué)家可以借助費(fèi)曼路徑積分來(lái)估算自由場(chǎng)的精確相關(guān)函數(shù)，這種場(chǎng)與其他場(chǎng)甚至本身都不互相作用。她們給自由場(chǎng)降低一些交互或“擾動(dòng)”。這個(gè)過(guò)程，被稱為微擾理論。
盡管他最初猜測(cè)劉維爾場(chǎng)可能會(huì)接受添加輕微的擾動(dòng)，但他發(fā)覺(jué)它與自己的互相作用太強(qiáng)烈了。與自由場(chǎng)相比，劉維爾場(chǎng)在物理上雖然不可能，它的相關(guān)函數(shù)顯然無(wú)法實(shí)現(xiàn)。
自助法
波利亞科夫很快就開(kāi)始找尋解決辦法。1984年，他與亞歷山大·貝拉文（）和亞歷山大·扎莫洛奇科夫（）合作開(kāi)發(fā)了一種稱為自助法（）的技術(shù)，這是一種物理階梯，可以逐步得出一個(gè)場(chǎng)的相關(guān)函數(shù)。
為了得到一個(gè)場(chǎng)的相關(guān)函數(shù)，你須要一個(gè)函數(shù)來(lái)抒發(fā)僅在哪個(gè)場(chǎng)中三個(gè)點(diǎn)的檢測(cè)值之間的相關(guān)性。這個(gè)“三點(diǎn)相關(guān)函數(shù)”，加上一些關(guān)于場(chǎng)中粒子可以獲得的能量的額外信息，產(chǎn)生了自助階梯的頂部梯級(jí)。
之后一次降低一個(gè)點(diǎn)：使用三點(diǎn)函數(shù)構(gòu)造四點(diǎn)函數(shù)，使用四點(diǎn)函數(shù)構(gòu)造五點(diǎn)函數(shù)，以這種推。并且，假如你在第一階上使用錯(cuò)誤的三點(diǎn)相關(guān)函數(shù)，這個(gè)過(guò)程會(huì)形成矛盾的結(jié)果。
波利亞科夫使用自助法成功地解決了各類簡(jiǎn)單的QFT理論，而且如同費(fèi)曼路徑積分一樣，她們不能使它適用于劉維爾場(chǎng)。
之后在20世紀(jì)90年代，化學(xué)學(xué)家找到了使“攀登階梯”成為可能的三點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)，徹底解決了劉維爾場(chǎng)（及其對(duì)量子引力的簡(jiǎn)單描述）。她們的結(jié)果，簡(jiǎn)稱為DOZZ公式，讓化學(xué)學(xué)家可以作出任何涉及劉維爾場(chǎng)的預(yù)測(cè)。
馴服“狂野”的表面
在2010年代初期，物理家和化學(xué)學(xué)家聯(lián)手，目標(biāo)是解決劉維爾場(chǎng)的物理問(wèn)題，解開(kāi)DOZZ公式的神秘面紗。
當(dāng)她們開(kāi)始研究的時(shí)侯，她們意識(shí)到一個(gè)叫讓·皮埃爾·卡哈內(nèi)（Jean-）的日本物理家在幾六年前發(fā)覺(jué)了波利亞科夫理論的關(guān)鍵。
她們首先去除了路徑積分，由于劉維爾場(chǎng)與自身互相作用強(qiáng)烈，致使它與費(fèi)曼的微擾理論不相容，所以波利亞科夫失敗了。為此，物理家們使用卡哈內(nèi)的思想將劉維爾場(chǎng)重新定義為一種“溫和”的隨機(jī)物體，即高斯自由場(chǎng)。高斯自由場(chǎng)的峰值不會(huì)像劉維爾場(chǎng)的峰值那樣極端，這促使物理家才能以合理的方法估算平均值和其他統(tǒng)計(jì)檢測(cè)值。
2014年，她們公布了她們的結(jié)果——波利亞科夫在1981年寫下的路徑積分的改進(jìn)版本，但完全以可信高斯自由場(chǎng)定義。這是一個(gè)罕見(jiàn)的事例，費(fèi)曼的路徑積分哲學(xué)找到了一個(gè)可靠的物理基礎(chǔ)。
有了一個(gè)嚴(yán)格定義的路徑積分，研究人員之后企圖瞧瞧她們是否可以用它來(lái)得到劉維爾場(chǎng)的答案，并推導(dǎo)入它的相關(guān)函數(shù)。目標(biāo)是DOZZ公式——但它和路徑積分之間的鴻溝雖然很大。
該團(tuán)隊(duì)花了數(shù)年時(shí)間來(lái)研究她們的機(jī)率路徑積分，確認(rèn)它確實(shí)具有自助法所需的所有特點(diǎn)。最終，瓦格斯（）、庫(kù)皮埃寧（）和羅茲（）在2017年發(fā)表了一篇論文，并在2020年10月與科林·吉勒穆（Colin）發(fā)表了另一篇論文，取得了成功。她們從路徑積分中導(dǎo)入了DOZZ和其他相關(guān)函數(shù)，并表明這種公式與化學(xué)學(xué)家使用自助法得到的多項(xiàng)式完全匹配。
這項(xiàng)工作解釋了DOZZ公式的起源，并將自助（）過(guò)程與經(jīng)過(guò)驗(yàn)證的物理對(duì)象聯(lián)系上去。其實(shí)，它解開(kāi)了劉維爾場(chǎng)的最后疑團(tuán)。
量子場(chǎng)論的新希望
如今，我們有了一個(gè)強(qiáng)悍的互相作用的量子場(chǎng)論，用一個(gè)簡(jiǎn)單的物理公式完美地描述了一個(gè)非擾動(dòng)的形式，也可以進(jìn)行數(shù)值預(yù)測(cè)。
最重要的問(wèn)題是，這種幾率方式能走多遠(yuǎn)？她們能為所有的量子場(chǎng)論生成公式嗎？瓦格斯覺(jué)得她們的工具是針對(duì)劉維爾理論的二維環(huán)境的。在更高的維度，甚至自由場(chǎng)都太不奏效，所以他懷疑該小組的方式是否還能處理宇宙中引力場(chǎng)的量子行為。
但波利亞科夫“萬(wàn)能鎖匙”將打開(kāi)其他的房門。它的影響早已在機(jī)率論中彰顯下來(lái)了，物理家們?nèi)缃窨梢允褂迷炔豢煽康幕瘜W(xué)公式。
劉維爾場(chǎng)的嚴(yán)格建立可能會(huì)迸發(fā)物理家們嘗試證明其他看似無(wú)法解決的量子場(chǎng)論的特點(diǎn)——不僅僅是引力理論，而是對(duì)真實(shí)粒子和力的描述，它們直接影響著現(xiàn)實(shí)中最深的數(shù)學(xué)秘密。
