耶魯學院的理論化學學家亞歷山大·波利亞科夫（）在1981年洞悉了量子理論的未來。一系列謎團，從弦的擺動到夸克與質子的結合，都須要一種新的物理工具來揭露。
他在《物理快報b》（b）中寫道“科學中有許多方式和公式，它們是解決許多看似不同的問題的萬能鎖匙。目前，我們必須發展一種處理隨機曲面求和的藝術。”
波利亞科夫的提議被證明是強有力的。在他的論文中，他概述了一個公式，簡略地描述了怎樣估算一個十分混亂的表面，即“劉維爾場”。他的工作將化學學家帶入了一個新的物理領域，這對于解開被稱為弦的理論對象的行為以及完善量子引力的簡化模型至關重要。
多年的努力使波利亞科夫為其他數學理論找到了突破性的解決方案，但他未曾完全理解劉維爾場背后的物理。
但是，在過去的五年中，一組物理家完成了許多研究人員覺得不可能完成的事情。她們用完全嚴格的物理語言重新定義了波利亞科夫的公式，并證明了劉維爾場完美地模擬了波利亞科夫覺得會出現的現象。
這三篇論文在物理和化學之間架起了一座橋梁。這項工作還涉及到一些哲學問題，這種問題涉及在基礎數學的主要理論中搶占中心地位的對象——量子場。
無限的場
在昨天的數學學中，最成功的理論中的主角是場（填充空間的物體），從一個地方到另一個地方具有不同的值。
比如，在精典化學學中，一個單獨的場能告訴你力是怎樣推進物體的。以月球磁場為例：羅盤表針的晃動顯示了磁場在月球上每一點的影響（硬度和方向）。場也是量子化學學的核心。但是，因為量子理論的隨機性，情況愈發復雜。從量子的角度來看，月球不是形成一個磁場，而是無限多個不同的磁場。
然而化學學家一直想作出預測，將量子場的無限方式同化為一個單一的場是“量子場理論”的繁重任務。這是一個模型，描述了一個或多個量子場，每位量子場都有無限的變化。
在實驗的促進下什么是經典物理學，量子場論已然成為粒子化學的基本理論。標準模型就是其中一種量子場論，它把電子這樣的基本粒子描摹成電子場中的模糊突起。到目前為止，它早已通過了所有的實驗測試。
化學學家使用了許多不同的量子場論。一些模型，例如標準模型，模擬真實粒子在宇宙的四個維度中聯通。其他量子場論描述了奇特宇宙中的奇特粒子，從二維平面到六維超世界。它們與現實的聯系是遙遠的，但化學學家們研究它們是希望獲得一些洞見，便于將它們帶回我們自己的世界。
波利亞科夫的劉維爾場論就是這樣一個反例。
引力的能量場
劉維爾場基于19世紀歐洲物理家約瑟夫·劉維爾提出的一個復剖析多項式，它描述了一個完全隨機的二維表面，其中每位點的高度都是隨機選擇的。這樣的表面會出現無數的“山峰”，每一個山峰都是通過滾動一個有無數面的色子來確定的。
這樣的一個二維表面可能看上去不像數學的信息模型，但隨機性并非沒有固定的模式。諸如，鐘形曲線告訴我們在街上隨機經過一個2米高的足球運動員的可能性有多大。同樣，球形云和褶皺的海岸線也遵守隨機模式，但依然有可能辨認出它們的大尺度和小尺度特點之間的一致關系。
劉維爾理論可用于辨識無盡紋樣中所有可能的隨機、鋸齒狀的模式。波利亞科夫意識劉維爾理論對于弦的建模是必不可少的。該理論也被用于描述二維世界中的量子引力。愛因斯坦將引力定義為時空的曲率，將他的描述轉化為量子場論的語言，創造了無限多的時空——就像月球形成無限多的磁場一樣。劉維爾理論將所有那些表面打包成一個物體。它為化學學家提供了檢測任意二維平面上每位位置的曲率的工具。
量子引力基本上意味著隨機幾何，由于量子意味著隨機，而引力意味著幾何。
波利亞科夫探求隨機表面世界的第一步是寫下一個表達式來定義找到一個特殊的尖狀行星的機率，如同鐘形曲線定義遇見某個特定高度的人的機率一樣。并且他的公式并沒有帶來有用的數值預測。
量子場論要解決的就是能否借助場來預測觀測。在實踐中什么是經典物理學，這意味著估算一個場的“相關函數”，它通過描述場在某一點上的檢測與另一點上的檢測的關聯程度來捕獲場的行為。諸如，估算光子場中的相關函數可以得出量子電磁學定理。
波利亞科夫追求的是更具象的東西：隨機表面的本質。幾六年來，他嘗試了兩種不同的估算方式。他從一種稱作費曼路徑積分的技術開始，最終發展出一種稱為自助法（）的變通方式。這兩種方式在不同的方面都存在缺陷，直至物理家們將它們結合在一起，產生了一個更精確的公式。
把她們加上去
你可能會覺得，要解釋量子場的無限多種方式幾乎是不可能的，確實是這樣。20世紀40年代，量子化學學的先驅理查德·費曼開發了一種解決這些令人困擾的情況的方式，但這些方式被證明十分有限。
再以月球磁場為例。我們的目標是用量子場理論來預測當你在一個特定的位置使用羅盤讀數時你會觀察到哪些。為了做到這一點，費曼提出將所有場的方式加上去。他覺得讀數將代表所有場可能方式的某個平均值。用適當的加權把這種無限場構象加上去的過程稱為費曼路徑積分。
這是一個絕妙的看法，它只對選取的量子場給開具體的答案。沒有一種已知的物理方式可以對覆蓋無限寬廣空間的無限數目的物體進行有意義的平均。路徑積分更像是一種數學哲學，而不是精確的物理公式。物理家們指責它作為一種有效的運算的存在，化學學家們對它的依賴方法也讓她們倍感疑惑。
化學學家可以借助費曼路徑積分來估算自由場的精確相關函數，這種場與其他場甚至本身都不互相作用。她們給自由場降低一些交互或“擾動”。這個過程，被稱為微擾理論。
盡管他最初猜測劉維爾場可能會接受添加輕微的擾動，但他發覺它與自己的互相作用太強烈了。與自由場相比，劉維爾場在物理上雖然不可能，它的相關函數顯然無法實現。
自助法
波利亞科夫很快就開始找尋解決辦法。1984年，他與亞歷山大·貝拉文（）和亞歷山大·扎莫洛奇科夫（）合作開發了一種稱為自助法（）的技術，這是一種物理階梯，可以逐步得出一個場的相關函數。
為了得到一個場的相關函數，你須要一個函數來抒發僅在哪個場中三個點的檢測值之間的相關性。這個“三點相關函數”，加上一些關于場中粒子可以獲得的能量的額外信息，產生了自助階梯的頂部梯級。
之后一次降低一個點：使用三點函數構造四點函數，使用四點函數構造五點函數，以這種推。并且，假如你在第一階上使用錯誤的三點相關函數，這個過程會形成矛盾的結果。
波利亞科夫使用自助法成功地解決了各類簡單的QFT理論，而且如同費曼路徑積分一樣，她們不能使它適用于劉維爾場。
之后在20世紀90年代，化學學家找到了使“攀登階梯”成為可能的三點關聯函數，徹底解決了劉維爾場（及其對量子引力的簡單描述）。她們的結果，簡稱為DOZZ公式，讓化學學家可以作出任何涉及劉維爾場的預測。
馴服“狂野”的表面
在2010年代初期，物理家和化學學家聯手，目標是解決劉維爾場的物理問題，解開DOZZ公式的神秘面紗。
當她們開始研究的時侯，她們意識到一個叫讓·皮埃爾·卡哈內（Jean-）的日本物理家在幾六年前發覺了波利亞科夫理論的關鍵。
她們首先去除了路徑積分，由于劉維爾場與自身互相作用強烈，致使它與費曼的微擾理論不相容，所以波利亞科夫失敗了。為此，物理家們使用卡哈內的思想將劉維爾場重新定義為一種“溫和”的隨機物體，即高斯自由場。高斯自由場的峰值不會像劉維爾場的峰值那樣極端，這促使物理家才能以合理的方法估算平均值和其他統計檢測值。
2014年，她們公布了她們的結果——波利亞科夫在1981年寫下的路徑積分的改進版本，但完全以可信高斯自由場定義。這是一個罕見的事例，費曼的路徑積分哲學找到了一個可靠的物理基礎。
有了一個嚴格定義的路徑積分，研究人員之后企圖瞧瞧她們是否可以用它來得到劉維爾場的答案，并推導入它的相關函數。目標是DOZZ公式——但它和路徑積分之間的鴻溝雖然很大。
該團隊花了數年時間來研究她們的機率路徑積分，確認它確實具有自助法所需的所有特點。最終，瓦格斯（）、庫皮埃寧（）和羅茲（）在2017年發表了一篇論文，并在2020年10月與科林·吉勒穆（Colin）發表了另一篇論文，取得了成功。她們從路徑積分中導入了DOZZ和其他相關函數，并表明這種公式與化學學家使用自助法得到的多項式完全匹配。
這項工作解釋了DOZZ公式的起源，并將自助（）過程與經過驗證的物理對象聯系上去。其實，它解開了劉維爾場的最后疑團。
量子場論的新希望
如今，我們有了一個強悍的互相作用的量子場論，用一個簡單的物理公式完美地描述了一個非擾動的形式，也可以進行數值預測。
最重要的問題是，這種幾率方式能走多遠？她們能為所有的量子場論生成公式嗎？瓦格斯覺得她們的工具是針對劉維爾理論的二維環境的。在更高的維度，甚至自由場都太不奏效，所以他懷疑該小組的方式是否還能處理宇宙中引力場的量子行為。
但波利亞科夫“萬能鎖匙”將打開其他的房門。它的影響早已在機率論中彰顯下來了，物理家們如今可以使用原先不可靠的化學公式。
劉維爾場的嚴格建立可能會迸發物理家們嘗試證明其他看似無法解決的量子場論的特點——不僅僅是引力理論，而是對真實粒子和力的描述，它們直接影響著現實中最深的數學秘密。