初步知識 電勢能
1.單根導(dǎo)體的電容
導(dǎo)體的電容等于電荷除以導(dǎo)體的電勢（平衡時(shí)導(dǎo)體是等勢的）。
begin{}C = frac{Q}{V}~.end{}
證明任何導(dǎo)體的勢能都和電荷量成正比，根據(jù)，當(dāng)導(dǎo)體上的電荷密度分布$rho( {{r}} )$乘以常數(shù)$$時(shí)平行板，空間中任一點(diǎn)的電勢也將乘以$$。所以對于一定形狀的導(dǎo)體，它的電容是一定的。
例 1：導(dǎo)電球的電容
若定義無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為零電位點(diǎn)，根據(jù)高斯定律，一個(gè)半徑為$R$，帶電量為$Q$的導(dǎo)電球，其電勢為$V = Q/(4pi R)$，因此它的電容為
begin{}C = frac{Q}{V} = 4pi R~.end{}
2. 兩個(gè)導(dǎo)體之間的電容
如果兩個(gè)導(dǎo)??體帶有等量的相反電荷 $pm Q$，且電位差為 $V$，則兩個(gè)導(dǎo)體之間的電容也定義為
begin{}C = frac{Q}{V}~.end{}
現(xiàn)在我們來證明兩個(gè)導(dǎo)體之間的電容只取決于它們的形狀、相對位置以及空間中電介質(zhì)的分布，與電荷量無關(guān)。這需要證明電位差始終與電荷 $Q$ 成正比。如果我們假設(shè)兩個(gè)導(dǎo)體表面的表面電荷密度 $sigma$ 始終與 $Q$ 成正比（見證明），那么庫侖定律表明空間中任何一點(diǎn)的場強(qiáng)也與 $Q$ 成正比。電位差
begin{}V = int_+^- {{E}} (r) cdot ,txrzbvzd{ {{l}} } ~.end{}
（公式中的“$pm$”代表導(dǎo)體表面某點(diǎn)帶電量為$pm Q$，積分路徑可任意選擇）與場強(qiáng)成正比，也就是與$Q$成正比。證明完畢。
注意，除非另有說明，時(shí)分百科中電流和電壓的方向都是按照被動(dòng)符號()來規(guī)定的，即先規(guī)定一個(gè)正方向，電流按這個(gè)方向延伸就是正，反之就是負(fù)。電位按正方向減小就是正，反之就是負(fù)。正方向的電流以正電壓流入帶正電的電容器極板。
示例 2 平行板電容器
圖 1：平行板電容器，板間間距為 $d$
電容器最常見、最基本的模型是平行板電容器。我們假設(shè)空間中有均勻的電介質(zhì)，其介電常數(shù)為$$。兩塊面積為$S$的方形導(dǎo)體板平行放置，間距為$d$。電荷為$pm Q$。若忽略邊緣效應(yīng)（即假設(shè)只在兩塊板之間的矩形空間內(nèi)存在均勻電場），根據(jù)高斯定律，兩塊板之間的電場為$E = {sigma}/{} = Q/(S)$，電位差為$V = Ed = Qd/(S)$，因此電容等于
begin{}C = frac{Q}{V} = frac Sd~.end{}
可以看出，在同樣的電介質(zhì)中，平行板電容器的電容與極板面積成正比，與距離成反比，比例系數(shù)為$$。這也是$$又稱為介電常數(shù)的原因。當(dāng)沒有電介質(zhì)時(shí)，$= $，所以$$稱為真空中的介電常數(shù)。
例3：同心球殼電容器
如果有兩個(gè)同心球殼導(dǎo)體，半徑分別為 $r$ 和 $R$（$r < R$），電荷分別為 $+Q$ 和 $-Q$，求兩個(gè)球殼之間的電容。
根據(jù)高斯定律，兩個(gè)球殼間的電場只與小球殼的電荷有關(guān)，因此兩個(gè)球殼間的電位差為
begin{}V = frac{Q}{4pi} left(frac 1r - frac 1R right) ~,end{}
所以電容是
begin{}C = frac QV = frac{4pi rR}{R - r}~.end{}
當(dāng)$rto R$時(shí)，球殼面積為$S = 4pi R^2$，兩極板距離為$d = R - r$，則上式中的電容趨向于平行板電容器的電容。
通過比較我們可以發(fā)現(xiàn)，兩根足夠靠近的導(dǎo)體所得到的電容比單根導(dǎo)體所得到的電容要大得多，這也是為什么電路中的電容器有兩個(gè)極點(diǎn)的原因。
3.電壓與電流的關(guān)系
如果電容器兩端的電壓隨時(shí)間變化為 $V(t)$，那么我們?nèi)绾斡?jì)算流過電容器的電流？如果我們也使用無源符號約定（參見），讓 $Q$ 和 $V$ 具有相同的符號，則 $I = txrzbvzd{Q}/txrzbvzd{t} $，并取 $Q = CV$ 的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，得到
begin{}I = C frac{txrzbvzd{V}}{txrzbvzd{t}} ~.end{}
練習(xí) 1
證明在交流電路中，流過電容器的電流的相位比電壓的相位提前$pi/2$。
4. 電容器的能量
為了改變電容的電荷$Q$，我們需要將電荷從一個(gè)導(dǎo)體移動(dòng)到另一個(gè)導(dǎo)體。為了不影響電荷和電場的分布，從$Q = 0$開始平行板，我們每次只移動(dòng)很小的電荷$Delta Q$，從$-Q$到$+Q$。移動(dòng)過程中，外力需要克服電場力做功$VDelta Q$，而$V$是$Q$的函數(shù)。在第$i$次移動(dòng)之前，電荷為$pm Q_i$。根據(jù)定積分的思想，
begin{}W = int V(Q) ,txrzbvzd{Q} = int frac{Q}{C} ,txrzbvzd{Q} = frac{Q^2}{C} = CV^2~,end{}
可以看出，電容器的能量與電荷量或電勢的平方成正比。注意，電容器的能量本質(zhì)上是導(dǎo)體表面連續(xù)電荷分布的勢能，因此計(jì)算上述公式的另一種方法是直接使用
begin{}W = [QV_+ + (-Q)V_-] = QV = frac{Q^2}{C} = CV^2 ~.end{}
這里的$Q$不一定要求大于零。$pm$符號只是用來區(qū)分兩種導(dǎo)體的符號，并不代表正電荷或負(fù)電荷。
當(dāng)我們討論電路時(shí)，我們習(xí)慣說電流“流過電容器”，但實(shí)際上在電容器內(nèi)部沒有電荷從一個(gè)電極移動(dòng)到另一電極。
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