初步知識 電勢能
1.單根導體的電容
導體的電容等于電荷除以導體的電勢（平衡時導體是等勢的）。
begin{}C = frac{Q}{V}~.end{}
證明任何導體的勢能都和電荷量成正比，根據，當導體上的電荷密度分布$rho( {{r}} )$乘以常數$$時平行板，空間中任一點的電勢也將乘以$$。所以對于一定形狀的導體，它的電容是一定的。
例 1：導電球的電容
若定義無窮遠點為零電位點，根據高斯定律，一個半徑為$R$，帶電量為$Q$的導電球，其電勢為$V = Q/(4pi R)$，因此它的電容為
begin{}C = frac{Q}{V} = 4pi R~.end{}
2. 兩個導體之間的電容
如果兩個導??體帶有等量的相反電荷 $pm Q$，且電位差為 $V$，則兩個導體之間的電容也定義為
begin{}C = frac{Q}{V}~.end{}
現在我們來證明兩個導體之間的電容只取決于它們的形狀、相對位置以及空間中電介質的分布，與電荷量無關。這需要證明電位差始終與電荷 $Q$ 成正比。如果我們假設兩個導體表面的表面電荷密度 $sigma$ 始終與 $Q$ 成正比（見證明），那么庫侖定律表明空間中任何一點的場強也與 $Q$ 成正比。電位差
begin{}V = int_+^- {{E}} (r) cdot ,xl79l5v{ {{l}} } ~.end{}
（公式中的“$pm$”代表導體表面某點帶電量為$pm Q$，積分路徑可任意選擇）與場強成正比，也就是與$Q$成正比。證明完畢。
注意，除非另有說明，時分百科中電流和電壓的方向都是按照被動符號()來規定的，即先規定一個正方向，電流按這個方向延伸就是正，反之就是負。電位按正方向減小就是正，反之就是負。正方向的電流以正電壓流入帶正電的電容器極板。
示例 2 平行板電容器
圖 1：平行板電容器，板間間距為 $d$
電容器最常見、最基本的模型是平行板電容器。我們假設空間中有均勻的電介質，其介電常數為$$。兩塊面積為$S$的方形導體板平行放置，間距為$d$。電荷為$pm Q$。若忽略邊緣效應（即假設只在兩塊板之間的矩形空間內存在均勻電場），根據高斯定律，兩塊板之間的電場為$E = {sigma}/{} = Q/(S)$，電位差為$V = Ed = Qd/(S)$，因此電容等于
begin{}C = frac{Q}{V} = frac Sd~.end{}
可以看出，在同樣的電介質中，平行板電容器的電容與極板面積成正比，與距離成反比，比例系數為$$。這也是$$又稱為介電常數的原因。當沒有電介質時，$= $，所以$$稱為真空中的介電常數。
例3：同心球殼電容器
如果有兩個同心球殼導體，半徑分別為 $r$ 和 $R$（$r < R$），電荷分別為 $+Q$ 和 $-Q$，求兩個球殼之間的電容。
根據高斯定律，兩個球殼間的電場只與小球殼的電荷有關，因此兩個球殼間的電位差為
begin{}V = frac{Q}{4pi} left(frac 1r - frac 1R right) ~,end{}
所以電容是
begin{}C = frac QV = frac{4pi rR}{R - r}~.end{}
當$rto R$時，球殼面積為$S = 4pi R^2$，兩極板距離為$d = R - r$，則上式中的電容趨向于平行板電容器的電容。
通過比較我們可以發現，兩根足夠靠近的導體所得到的電容比單根導體所得到的電容要大得多，這也是為什么電路中的電容器有兩個極點的原因。
3.電壓與電流的關系
如果電容器兩端的電壓隨時間變化為 $V(t)$，那么我們如何計算流過電容器的電流？如果我們也使用無源符號約定（參見），讓 $Q$ 和 $V$ 具有相同的符號，則 $I = lzrbj77{Q}/7nrj7th{t} $，并取 $Q = CV$ 的時間導數，得到
begin{}I = C frac{3jtnb7r{V}}{3zlvxt7{t}} ~.end{}
練習 1
證明在交流電路中，流過電容器的電流的相位比電壓的相位提前$pi/2$。
4. 電容器的能量
為了改變電容的電荷$Q$，我們需要將電荷從一個導體移動到另一個導體。為了不影響電荷和電場的分布，從$Q = 0$開始平行板，我們每次只移動很小的電荷$Delta Q$，從$-Q$到$+Q$。移動過程中，外力需要克服電場力做功$VDelta Q$，而$V$是$Q$的函數。在第$i$次移動之前，電荷為$pm Q_i$。根據定積分的思想，
begin{}W = int V(Q) ,djvphvj{Q} = int frac{Q}{C} ,vrbvf7x{Q} = frac{Q^2}{C} = CV^2~,end{}
可以看出，電容器的能量與電荷量或電勢的平方成正比。注意，電容器的能量本質上是導體表面連續電荷分布的勢能，因此計算上述公式的另一種方法是直接使用
begin{}W = [QV_+ + (-Q)V_-] = QV = frac{Q^2}{C} = CV^2 ~.end{}
這里的$Q$不一定要求大于零。$pm$符號只是用來區分兩種導體的符號，并不代表正電荷或負電荷。
當我們討論電路時，我們習慣說電流“流過電容器”，但實際上在電容器內部沒有電荷從一個電極移動到另一電極。
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