思考 1
斜拋運動中，速度向反方向延長后，會和勻速運動位移中點相交嗎？
斜拋運動也可以分解為沿初速度方向的勻速直線運動和沿垂直方向的自由落體運動。如圖所示，在從O到A的過程中，可以畫出相應的位移矢量三角形和速度矢量三角形。反向延伸后，兩個三角形相似（陰影部分）如圖所示，且對應邊成比例，如下式所示：
解決方案是：
發現d是對應位移的一半，即速度向反方向延伸后會與勻速運動位移的中點相交。
此結論適用于水平和斜投影，也可推廣至所有勻加速曲線運動。
思考2
在斜拋運動中，若將位移矢量延長，它還會與速度變化量△v的中點，即垂直速度gt相交嗎？
如圖所示，在從O到A的過程中，繼續畫出對應的位移向量三角形和速度向量三角形，將位移向量延伸后，兩個三角形相似（陰影部分）如圖所示，且對應邊成比例，如下：
解決方案是：
發現L是相應速度的一半，即位移矢量延長，將與速度變化△v的中點相交，也就是垂直速度gt。
這個結論仍然適用于水平投影，斜投影，以及所有勻加速曲線運動。
思考三
在斜拋運動中，速度偏轉角與位移偏轉角之間有確定的關系嗎？
如圖所示，在從O到A的過程中，速度偏轉角為θ，位移偏轉角為φ，初速度與垂直方向的夾角為α，針對上面的位移矢量三角形和速度矢量三角形，寫出正弦定理表達式如下：
解決方案是：
當α=90°時，變為水平投影運動，公式可簡化為：
思考 4
斜拋運動中，當射程最大時，初速度和終速度一定是垂直的嗎？
情景一：著陸點與起點處于同一高度
如圖所示，一個小球以一定的初速度斜向上拋出，由常規方法可得，當射程最大，α為45°，落點與起點對稱時，初速度與終速度必定垂直。
也可以分析速度矢量三角形的面積，如圖所示，三角形的面積為：
其中，x為水平射程，為了使水平射程x最大，面積S必須最大，而且初、終速度是確定的，且初、終速度必須相互垂直。
場景 2：較低的著陸點
這種情況是落地，比較常見，投擲鉛球時，以一定的初速度向上拋出，人有一定的身高，落地點較低，速度向量三角形的面積也可以分析出來，如圖所示，三角形的面積為：
其中，x為水平射程，為了使水平射程x最大，必須使面積S最大，初、終速度恒定，且初、終速度相互垂直。
此場景是落到一個固定的斜面上，以一定的初速度被向上拋出，通過調整拋射角度，可以最大化在斜面上的射程。也可以分析速度矢量三角形的面積，如圖所示，三角形的面積為：
其中x為水平射程，如果要使斜面上的射程最大，水平射程x必須最大，也就是面積S必須最大，此時初速度確定，但終速度不確定，需要重新考慮。
發現當斜面傾斜角度確定后，小球落到斜面上時的位移方向也確定了。根據第二種考慮的結論，位移經過延伸后必定交于垂直速度的中點。如圖所示，陰影部分的面積為S的一半。當速度方向調整到圖中所示位置時，對應的面積最大。
與此同時，其他的關系也逐漸清晰起來，如下圖所示，三條紅色邊的長度是相同的。
角度關系為：2α+2β=180°，即α+β=90°，決定了初速與終速必須垂直。
場景三：高著陸點
此場景是落到一個固定的斜面上，以一定的初速度被向上拋出，通過調整拋射角度，可以最大化在斜面上的射程。也可以分析速度矢量三角形的面積，如圖所示，三角形的面積為：
其中x為水平射程，如果要使斜面上的射程最大，水平射程x肯定最大，也就是面積S肯定最大，這時候初速度是確定的，末速度也是不確定的，需要模仿場景2（二）中的情況思考。
同理，如果斜面的傾斜角度確定了，那么小球落到斜面上時的位移方向就確定了。根據思考2的結論，位移經過延伸后必定交于垂直速度的中點。如圖所示，陰影部分的面積為S的一半。當速度方向調整到圖中所示位置時，對應的面積最大。
如下圖所示，三條紅色邊長度相同，且角度關系為：2α+2β=180°，即α+β=90°，這就決定了初速與終速必然是垂直的。
結論：
在斜拋運動中從高出地面3M的位置豎直向上拋出一個小球，不管何種情況，在射程最大時，初速度與終速度必定是互相垂直的。
思考五
斜拋運動中，當射程最大時，初速度方向一定在位移與鉛垂方向夾角的角平分線上嗎？
當然，情況1也是如圖向上45°；
對于場景2，請參考下圖：
容易看出，當落點較低時，初速度也是沿著最大位移與垂直方向夾角的角平分線，所以夾角α必定大于45°，看來運動員在投擲鉛球時，鉛球的速度方向肯定不是向上45°角。
對于場景三，請參考下圖：
還可以看出，當落點較高時留學之路，初速度也是沿著最大位移與垂直方向夾角的角平分線方向。
結論：
斜拋運動中，當射程最大時，初速度方向必定在位移與鉛垂方向夾角的角平分線上。
思考六
怎樣計算斜拋運動的最大射程？
和大家分享一些通用的思路和基本的數學處理方法。
情景一：著陸點與起點處于同一高度
斜拋運動可以分解為水平勻速直線運動和垂直向上拋擲運動，如下圖所示：
解決
顯然，當α=45°時，取最大值，結果為：
場景 2：較低的著陸點
此場景為：物體從一定高度斜拋至地面，初速度恒定，高度確定，根據機械能守恒定律，落地速度亦為常數，當水平射程最大時從高出地面3M的位置豎直向上拋出一個小球，初速度與終速度相互垂直。
此時速度矢量三角形的面積為：
墜落過程機械能守恒：
聯立兩個方程，我們可以得到：
場景為落到斜面上，初速度確定，拋射體落到斜面上的最大射程為x，位移向量三角形如下：
很容易看出：
設斜面的傾斜角為θ，對于下圖中的紅色三角形，可以利用勾股定理表達出下列方程：
聯立上述公式，可得：
場景三：高著陸點
此場景同樣落在斜面上，初速度確定，拋射體落在斜面上的最大射程為x，位移向量三角形如下：
很容易看出：
設斜面的傾斜角為θ，對于下圖中的紅色三角形，可以利用勾股定理表達出下列方程：
聯立上述公式，可得：
思考 7
斜拋運動中，當初速度方向沿位移與鉛垂方向夾角的角平分線時，射程最大，如果將一個物體以一定的初速度沿關于角平分線對稱的方向拋出，能落在同一位置嗎？
答案是肯定的，請大家自己分析一下。這篇整理花了很長時間，都是利用業余時間做的，希望對大家有所啟發和幫助。謝謝閱讀和點贊，歡迎討論和批評。