中考數學沖刺復習最后一道題：特殊平行四邊形中的最大值問題
中考數學沖刺復習
可選的最后一個問題：特殊平行四邊形
最大值問題
主題一：矩形中的最大值問題
主題二：菱形中的最大值問題
主題三：正方形中的最大值問題
主題 4：平行四邊形中的極值問題
【主題一】矩形的極值問題
例1.如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，點E，F，G，H分別在矩形ABCD的邊上，且AE=CG，BF=DH，則四邊形EFGH的周長最小值為。
變體1.如圖，在矩形ABCD中，AD=6，∠CAB=30°，點P為線段AC上的動點，點Q為線段CD上的動點，則AQ+QP的最小值為。
變形二、如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P為AB上的動點，PQ平行于BC且與CD相交于Q，M為AD上的動點，MN平行于AB且與BC相交于N。則PM+NQ的最小值為。
數學陳老師：
例2.如圖，在矩形ABCD中，AB=8，AD=4，E為AB的中點，F為EC上的動點，P為DF的中點，連PB，則PB的最小值為。
變式3.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=2
，E為BC邊的一個動點，F、G為AD邊的兩個動點，且∠FEG=30°，則線段FG的最大長度為。
方案四、如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E為邊AB中點，F為線段BC上的動點，沿EF所在直線將ΔEBF折疊得到ΔEB'F，連接B'D，則B'D的最小值為。
例3.如圖，矩形ABCD，長AD=6，寬AB=4貝語網校，點P為BC邊上的動點，連PA與PD，則△PAD的面積為，PA+PD的最小值為，PA+1/2PC的最小值為。
變形5.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=
，E為線段AB上的動點，連CE，則1/2AE+CE的最小值為。
數學陳老師：
例4 如圖所示，點P為矩形ABCD對角線BD上的動點，已知AB=2，BC=
，則PA+PB+PC的最小值為。
變體6.如圖，給定一個矩形ABCD，AB=4，BC=6，點M為矩形內部的某點，點E為BC邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為。
【主題2】菱形的極值問題
例1.如圖所示，菱形ABCD的對角線AC為12，面積為24，ΔABE為等邊三角形，若點P沿對角線AC移動，則PD+PE的最小值為（）
A.4
B.4
C.2
D. 6
方案一、如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=6，點F為對角線AC上的動點，點E為AB上的動點，則FB+EF的最小值為。
變形2.如圖菱形ABCD邊長為4，∠BAD=120°，E為邊CD中點，F為邊AD上一動點，將線段EF繞E點順時針旋轉60°得到線段EF'，連接AF'與BF'，則ΔABF'的周長最小值為。
數學陳老師：
例2、如圖所示，平行四邊形ABCD中，AB=BC，BC=10，∠BCD＝60°，兩頂點B、D分別在平面直角坐標系y軸和x軸的正半軸上滑動，并聯OA，OA的最小邊長為。
變形3.如圖所示，菱形ABCD的邊長為2
，∠ABC=60°，對角線AC、BD交于0點，點E為直線AD上的動點，連接CE，將線段EC繞C點順時針旋轉∠BCD的角度，得到對應線段CF（即∠ECF=∠BCD），DF的最小長度為。
例3 如圖所示，菱形ABCD的邊長為
，∠ABC=60°，點M為CD邊上任一點（可以與點C或點D重合），過點A、C、D向射線BM作垂線，垂線的腳分別為E、F、G。令AE+CF+DG=m，則m的范圍為。
變形4.如圖，四邊形ABCD為菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M為菱形內任一點，連接AM、BM、CM，則AM+BM+CM的最小值為。
數學陳老師：
變式5.如圖，四邊形ABCD為菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G為對角線BD上任意一點（不包括B點），將ΔABG繞B點逆時針旋轉60°得到ΔEBF，當AG+BG+CG取最小值時，EF的長度為（）
A.3
/2B. 2
/3 C.3
/3天.4
/3
例4、如圖所示，四邊形ABCD為菱形如圖ab平行cd，AB=8，且∠ABC=60°，M為對角線BD上的任一點（不包括點B），則AM+1/2BM的最小值為。
【主題三】正方形中的極值問題
例1.如圖，正方形ABCD的面積為16，ΔABE為等邊三角形，點E在正方形ABCD內部，對角線AC上有點P。求PD+PE之和最小，則最小值為（）
A.2 B.3 C.4 D.6
變式1.如圖，正方形ABCD邊長為4，E、F、G分別為邊AB、BC、AD上的動點，且AE=BF，將ΔBEF沿EF向內折成ΔB'EF，連通BB'、B'G、GC，則當BB'最大時，B'G+GC的最小值為（ ）
一個。
-2 B. 5.6 C. 210 D. 35
數學陳老師：
變形2.如圖所示，正方形ABCD的邊長為3，E、F為對角線BD上的兩個移動點，EF=
，連接CE與CF，則圓周長的最小值ΔCEF為。
例2、如圖所示，點E、F分別為邊長為4的正方形ABCD的邊AD、AB上的移動點，且AF=DE，BE與CF相交于點P。在點E、F移動過程中，PA的最小值為（ ）
A.2 B.2
C.4
-2D.2
-2
變式3.如圖所示，正方形ABCD和正方形AEFG的邊長分別為4和1，若將正方形AEFG繞A點旋轉，則旋轉過程中C點與E點之間的最小距離為（）
A.3 B.4
-1 厘米. 3
-1 D.4
變式4.如圖所示，M、N為正方形ABCD邊CD上的兩個動點，滿足AM=BN。連AC與BN交于點E，連DE與AM交于點F，連CF。若正方形邊長為2，則線段CF的最小值為（）
A.2 B.1 C.
-1 D。
-2
數學陳老師：
變式5.如圖，正方形ABCD邊長為4，E為BC上一點，且BE=1，F為AB邊上動點，連EF，以EF為邊向右作一等邊邊ΔEFG，連CG，則CG的最小值為。
例3.如圖，正方形ABCD邊長為4，點E為邊AD上的動點，點F在邊CD上，且線段EF=4，點G為線段EF的中點，連線BG與CG，則BG+1/2CG的最小值為。
變形6.如圖所示，邊長為4的正方形ABCD中有一動點P，BP=
.連接CP，并將線段PC繞點P逆時針旋轉90°得到線段PQ。連接CQ與DQ，則1/2DQ+CQ的最小值為。
例4.正方形ABCD中，點E為對角線AC上的任意一點（不包括點A），AB=2
（1）如圖1所示，將ΔADE繞D點逆時針旋轉90°得到ΔDCF，并連接EF；
①完成圖形（無需寫出畫法）；
② 求出EF的取值范圍；
（2）如圖2所示，求BE+AE+DE的最小值。
數學陳老師：
變體7.如圖所示，正方形ABCD中，AB=3，E為AD上一點，AE=1、F、G為AB、CD上的動點，且BE=FG、BELFG，連接EF、FG、BG，當EF+FG+BG的值最小時，CG的長度為（6A.D.5D）B.{3一2C。
【主題四】平行四邊形中的極值問題例題
例1.如圖，平行四邊形ABCD中，∠D=150°，B??C=6，CD=6
，E為AD邊的中點，F為AB邊的某動點，ΔAEF沿EF所在線折疊得到ΔA'EF，并與A'C相連，則A'C的最小長度為（）
A.3
B.3
C.3
-3D.6
方案一、如圖，平行四邊形ABCD中，∠A=60°，AB=3，BC=4，E為邊AD的中點，F為邊AB上的動點，沿EF所在線將ΔAEF折疊得到ΔA'EF，并與A'C相連，則A'C的最小長度為。
變形2.如圖所示，平行四邊形ABCD中，∠ABC=120°，AD=4
,AB=8，點E、F分別在邊AB、AD上，ΔAEF、ΔGEF關于直線EF對稱，點A的對稱點G落在邊DC上，則BE的最大長度為。
數學陳老師：
例2.已知：如圖，平行四邊形ABCD中，∠A=60°，AB=6，BC=10，點E為AD上的動點，連接CE，并將ΔABE沿BE折疊至ΔA'BE的位置。
（1）當點A'落在BC上時，DE=；
（2）若點A落在∠DCE以內（包括邊界），則DE的范圍為。
變形3.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，∠BCD=120°，AB=2，BC=4，點E為直線BC上的點，點F為直線CD上的點，連接AF、AE、EF，點M、N分別為AF、EF的中點，連接MN，則MN的最小值為（）
A.1 B.
-1 攝氏度
/2 D.2-
變形4.如圖，四邊形ABCD為平行四邊形如圖ab平行cd，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，點E、F為邊AD上的動點，EF=2，則四邊形BEFC的周長最小值為。
例3如圖所示，平行四邊形ABCD中，∠DAB=30°，AB=6，BC=2，P為邊CD上的動點，則2PB+PD的最小值等于。
變體4。如圖，平行四邊形ABCD中，∠B=60°，AD=8，AB=4，點H、G分別為邊DC、BC上的動點，點H與點C不重合。連接AH與HG，點E為AH的中點，點F為GH的中點，連接EF，則EF的最大值與最小值之差為。
