?——【·摘要·】——?
我們討論了準二維氣泡和液滴的動力學，即在Hele-Shaw單元中，確認了黏性阻力磨擦的不同標度定理，以及許多相關現象的標度定理。受黏性阻力研究的啟發，我們描述了顆粒介質中阻力磨擦的實驗，該實驗闡明了向干擾過渡發散的寬度尺度。
這種黏性流體和顆粒材料動力學中的事例指出了標度概念在理解化學過程中的重要性現象，一般通過相應的縮放定理明晰的數據崩潰證明是正確的。為了證明該策略的普遍適用性，我們討論了另一個與生物材料硬度不同的反例。
?——【·介紹·】——?
眾所周知，縮放概念在各個領域都很有用。諸如，粒子化學學的精典教科書以及破裂熱學從量綱剖析的討論入手。臨界現象中的標度假定造成了重整化群的誕生。但是縮放方式并未被視為一種足以完成任何化學研究的策略：它更像是一種非即將的第一步考慮。
de進一步提出了縮放方式的重要性，非常是在聚合物教科書中和毛細現象，以表明縮放方式可能是一種數學策略，假若所討論的問題很復雜，它足以完成數學考慮。因而縮放方式如今在軟物質領域得到了廣泛接受，并被該領域相對較小的一部份研究人員挺好地使用。
但是，雖然它具有很高的潛力物理二力平衡的知識點，但它還沒有被挺好地用小麥理學各個領域的標準策略，以及更多面向應用領域的研究人員。我們將本文的目的設定為提供各類示例，在這種示例中，縮放方式成功地提供了清晰的數學圖片，其中縮放定理由顯著的數據崩潰證明是合理的。
這篇文章的結構安排如下。我們從Hele-Shaw單元的密閉空間中作用于被另一種流體包圍的液滴的黏性阻力問題開始。在討論了黏性耗散起重要作用的其他示例后，我們繼續描述二維單元中顆粒阻力磨擦的實驗，該實驗的動機是研究Hele-Shaw單元中的黏性阻力。
最后，我們討論了生物材料的硬度和硬度，闡明了同樣的策略有效地提供了一些關于機械優勢的簡單觀點。我們在最后總結了縮放方式的各類優點。
我們在這兒指出，縮放方式不一定限于相當特殊的情況：縮放法則可以是“穩健的”。標度定理一般是在某個化學參數的極限下導入的遠大于特點值。正由于這般，縮放定理常常被覺得是一個僅在極其有限或特殊情況下有用的公式，這并不總是正確的。
因為我們在簡略說明中討論了不同的問題，因而我們沒法為每位主題提供詳盡的背景信息。建議對特定主題感興趣的讀者返回本文引用的原創文章，她們應當在其中找到相關背景。
?——【·單元中液滴的黏性阻力磨擦·】——?
材料中上升氣泡實驗的實驗參數在表手指定1個.我們檢測了縱向和橫向半徑和材料中定義的上升氣泡。結果表明氣泡在上升方向略微拉長，對于我們研究的所有參數，縱橫比幾乎保持不變。觀察到的普遍縱橫比的誘因還有待探求。
材料中在Hele-Shaw池中聯通的液滴。這兒，液滴和周圍流體的黏度表示為上升的氣泡從方形稍為變型，其特點在于橫向和縱向半徑被更黏稠的油包圍的甘油滴正在細胞中下沉。液滴形狀與1中的特別相像。被黏性較低的油包圍的甘油滴在細胞中下沉。
與之相比，產率顯著。對比用于氣泡實驗。這種符號在表手指定1個。C對比用于氣泡實驗。材料中的繪圖用兩個軸重新勾畫，重新歸一化的速率Ca和重整化細胞長度，依據該理論證明了顯著的數據崩潰。Ca與,其中數據沒有像那樣挺好地折疊，表明該誘因對解釋實驗很重要。
但是考慮到氣泡形狀的輕微變型，可以清楚地解釋圖中顯示的實驗數據，該數據勾畫了恒定上升速率作為細胞長度的函數，通過圖中展示的數據崩潰。
當黏性耗散對速率梯度起主導作用時在被隔開的細胞板之間的氣泡附近產生，黏性耗散和重力能量增益之間的平衡可以表示為1這造成2這兒，和是空氣和硅油之間的密度差、重力加速度和周圍油的黏度。通過引入重整化速率Ca和重整化細胞寬度。
這些關系可以用無量綱方式表示，3依照這個方程，通過重新縮放圖的兩個軸，我們確認了一個顯著的數據崩潰。輕微變型的重要性彰顯在誘因中如材料所示：假若通過假定氣泡為方形來忽視該誘因，則數據崩潰的質量會大大惡化。
若果在氣泡情況下確認的多項式表示為力平衡方式，我們立刻曉得黏性介質作用在氣泡上的阻力由下式給出這些為上升氣泡構建的酸敗機制也可以在甘油滴在硅油中下沉的情況下得到否認，假如滴的黏度高于周圍的油，如氣泡上升的情況。
但是若果周圍的油黏性較低，即，可以確認另一種縮放方法，其中阻力磨擦定理被替換為5這是構建在同多項式上。
部份評論如下。1方程4和5中所示的標度定理可以視為知名的磨擦公式的準二維版本，其表示為對于直徑為剛性的圓球。2對于Hele-Shaw單元中被另一種流體包圍的液滴的黏性阻力磨擦，雖然有許多其他的縮放比列。
比如,在氣泡和細胞壁之間產生的薄油膜內部的黏性耗散遭到抑制，由于膜長度很薄，因而在這些膜內部產生速率梯度在能量上是不利的。但是，可能存在這樣的耗散成為主導的制度。事實上，我們早已發覺了其他縮放機制或動態階段。
我們如今正在嘗試構建這些動態機制的相圖。在那個情況下，我們將才能揭示將每位制度與其他制度區分開來的條件。最后，我們談到了另一系列實驗，在那兒人們會發覺其他由數據崩潰明晰構建的縮放定理的反例。
?——【·紋理表面的吸收·】——?
材料顯示了紋理表面的示例，以及薄膜長度的色溫剖析。木柱很低，木柱的頸部邊沿很圓，如快照所示。基材完全被硅油潤濕。正由于這么，當垂直放置的有紋理的基材與油浴接觸時，油會滲透到紋理中，就好象當餅干與奶茶浴的表面接觸時，奶茶會滲透到餅干中。
材料中的數據表明，黏度和重力都很重要，而毛細現象是驅動力，這造成以下縮放參數被清晰的數據崩潰所否認。在-多項式中，驅動力對應于壓力梯度項，可以表示為，和和分別為曲率和滲吸高度。
黏性項標度為和油的黏度和是黏性寬度標度。引力項表示為和和油的密度和有效重力加速度，即.毛細管重力平衡，將曲率直徑固定為，隨著吸液高度的降低而降低。薄膜隨高度變薄，而黏性寬度尺度可能是薄膜的長度。
因而確定隨高度降低的曲率直徑與黏性寬度是合理的，即.通過這些辨識，黏性重力平衡，,造成以下縮放定理：基于此法則，可以顯示出顯著的數據崩潰，曲線令人信服地折疊到一條主曲線上。
方程中表示自吸寬度規模與與毛細管上升的一般黏性狀態或在裝潢有相對較高的木柱和尖銳腹部邊沿的紋理表面上觀察到的自吸動力學產生對比:在大多數情況下，同樣的在毛細管上升到角落的相當不同的背景下觀察到定理。
對于各種類型的紋理表面的吸收，雖然有許多不同的縮放機制，非常是由于問題本質上歸結為開放毛細管的吸收，其中自由液體表面隨著吸收的進行而膨脹。
與Hele-Shaw單元中顯示的黏性阻力磨擦的不同縮放比列相關的一個天真的問題是，假如單元中的流體被顆粒替換，磨擦定理將怎樣改變。回答這個問題的設置如材料中所示。電芯安裝在滑塊上，滑塊可以勻速聯通電芯。
在運動過程中，因為障礙物與測力計之間由一根不可伸長的強力釣竿相連，因而可以通過測力計檢測作用在障礙物上的拖曳力。不同填充率下測得的力與時間的關系結果在材料中給出。力隨時間波動很大，但每位時間點的平均值可以挺好地定義，如三個水平線所示。作為分數降低，阻力的平均值和波動都降低。
a和b顆粒阻力磨擦實驗的設置。a從里面看電瓶。b設置的傾斜視圖。一層平均半徑d=2mm的顆粒狀顆粒填充在由透明亞克力板制成的二維單元中。半徑障礙物大概是10倍于。
c阻力與時間.力隨時間顯著波動，但具有明晰定義的平均值。d平均阻力與阻力速率對于我們調查的所有填充分數。值得注意的是，是一個光滑的函數.平均力和波動都隨著填充分數的降低而降低。
e因為將阻力的重整化動態份量重新勾畫為重整化速率的函數，因而d中的數據崩潰，按照理論f和g：干擾點處力的動態和靜態份量的發散。h總力量乘以發散因子與速率。
發覺平均力是阻力速率的平滑函數隨著力和波動隨著填充分數的降低而降低，如材料所示，對于我們研究的所有填充分數。此處為清楚起見，刪掉了偏差條即波動。事實上，所有的曲線都在表格中得到了挺好的描述既和依賴于。
動態組件拖曳力的解釋如下。該份量可以恐怕為每次的動量傳遞。動量轉移發生在障礙物與小粒子碰撞時。頻度可以恐怕為和和是圓盤障礙物的直徑和是輕微多分散顆粒的平均半徑。假如碰撞是雙體碰撞，則每次碰撞的動量傳遞應按比列縮放和小麥的質量。
但是隨著包裝分數的降低，障礙物后面的小麥應當有點卡住或剪切卡住。因而障礙物每次與單個小麥碰撞時就會與一簇小麥發生碰撞。自然地，特點簇大小隨著填充分數的降低而降低，表明觀察到的平均力降低和恐怕簇大小，我們考慮干擾點下方障礙物周圍的空白空間。
在區域障礙物周圍的區域,空白區域縮放為.簇大小可以確定該區域與障礙物區域成比列的形式，即，這意味著該寬度標度向干擾點發散。集群面積現今恐怕為：我們期望寬度尺度里面得到的速率方向上的寬度是分開的因為作用在顆粒介質中的聯通方向的剪切力，垂直于它的方向。
簇傾向于在垂直方向上被破壞。這個假定意味著每次與顆粒碰撞的動量傳遞應當按比列縮放和顆粒的密度。結合前面的頻度表達式，，我們得到關系，
我們早已聽到，縮放論證是闡明所討論問題的數學機制的有力工具，這些方式在以下方面對各類問題普遍有用。該方式可以提取問題的數學本質。比列定理一般是通過能量平衡或各類化學力的平衡獲得的起源，并為此提供關于該問題的簡單觀點和“直覺”。
在課程中獲得的比列定理可能足夠簡單，可以用作開發產品或控制產品質量的指導原則。在這些情況下，縮放定理可能會對各類應用形成重大影響，包括工業應用。
從某種意義上說，標度法則可以是穩健的，雖然僅略微滿足或什至輕微違背該法則有效的限制條件，它也可以接近精確。這促使縮放方式在各類情況下都很有用。標度定理的有效性一般可以通過顯著的數據崩潰來確定，這是構建理論與實驗之間一致性的一種相當主觀的形式。
清晰的數據崩潰決定了縮放定理的數值系數，對未來的詳盡研究和對研究領域的影響作出預測。標度剖析最嚴重的弱點是我們難以確定量綱數值系數，并且這個弱點可以通過擬合實驗數據來克服。這意味著良好協調實驗和理論研究的重要性。
?——【·結論·】——?
該方式非常適用于日常生活中的復雜現象問題或與工業應用相關的問題，與之相關的這意味著良好協調實驗和理論研究的重要性。該方式非常適用于日常生活中的復雜現象問題或與工業應用相關的問題，與之相關的這意味著良好協調實驗和理論研究的重要性。
該方式非常適用于日常生活中的復雜現象問題或與工業應用相關的問題，與之相關的因為復雜性帶來的困難，化學學家仍然遲疑不決。但是物理二力平衡的知識點，對于數學學中的任何新問題，邁出正確的第一步也是有用的。
其實，縮放方式對于任何數學科學領域的先驅來說都是一種強悍的方式。作者希望這篇簡略的筆記才能激勵那些先驅者開辟數學科學的新領域。
?——【·參考文獻·】——?
李，《粒子化學學和場論概論》，哈伍德學術出版社，1981年。
安德森，《斷裂熱學》，,CRC出版社，1995年。
卡迪，《統計數學學中的縮放和重整化》，劍橋學院出版社，1996年。
德根斯，《高分子化學中的縮放概念》，康奈爾學院出版社，1979年。