談起真空這個概念，從中文字面上的意思其實是空空如也。但是在數學學中，這個看似空無一物的概念卻有著極其豐富的內容。下邊我們將溯源在數學學中，非常是在量子熱學基礎上完善上去的現代數學學中，怎樣對真空這個概念給以十分有趣、也十分重要的理論思索和實驗探求。不難發現，真空這個概念，是與空間、物質、能量等化學學最基本概念緊密聯系在一起的，對于它的研究常常是化學學中最為深刻、也最為令人困擾的根本性問題。似乎“真空不空”是對它最好的展現。
1精典數學框架下的真空：以太
19世紀中葉，麥克斯韋構建了電磁學的理論：精典電動熱學，進一步強調光就是一種電磁波，電磁波在空間中以光速傳播。這么電磁波是怎樣在空間傳播的呢？當時化學學家對于波動的圖象主要來自于聲波和水波，比如空氣的壓縮可以產生聲波，水的震動可以產生水波。因而，直觀地來看，波動是須要依賴于某種媒介的。既然電磁波才能在整個空間傳播，化學學家很自然地覺得，整個宇宙空間都彌漫著一種特殊的媒介，稱作“以太”，電磁波就是以太的震動而產生的。這可以看成是當時化學學界對于真空這個概念比較流行的想法，即真空中飽含著以太。
19世紀末，知名的邁克耳孫—莫雷實驗，借助光的干涉效應對于這些以太進行了一次實驗檢測。假如這些以太存在的話，依照牛頓熱學的速率疊加原理，在月球早朝著不同方向傳播的光的速率有微小的差別，這么兩條光路的干涉效應可以表現出這一差別。當時邁克耳孫—莫雷實驗早已達到了極其高的檢測精度，但是這個實驗卻沒有觀察到預期的光速的差別。這個知名的實驗也被開爾文爵士稱為“在數學學明朗天空的遠處，還有兩朵令人不安的烏云”之一，成為困擾數學學界的重大問題。
1905年，愛因斯坦提出了狹義相對論，其中有兩條基本原理：相對性原理和光速不變原理。愛因斯坦強調，只要舍棄牛頓熱學中絕對空間和絕對時間的概念，邁克耳孫—莫雷實驗的苦惱就可以得到解決，完全不須要引入以太。電磁場本身就是一種物質，電磁波是這些物質的運動方式之一，不需要依賴像“以太”這種媒介就可以在空間中傳播。
愛因斯坦的相對論給與精典的以太概念以致命的一擊，至此精典的以太論被人們所革除。有趣的是，愛因斯坦在晚年時期，為了統一場論，對以太的概念情有獨鐘，曾親切地稱之為“我們的以太”。可見，雖然精典的以太概念不正確，而且新的以太概念必定在化學學基本問題中占有至關重要的地位。
2相對論量子熱學中的真空：狄拉克的電子海
20世紀有兩大化學學的革命：相對論和量子熱學。從研究開爾文侯爵所說的兩朵烏云的另一朵——黑體幅射開始，普朗克、玻爾、海森伯、薛定諤、玻恩、泡利等諸多知名化學學家構建起微觀世界的理論：量子熱學。當時量子熱學的基本運動多項式——薛定諤多項式，在洛倫茲變換下不滿足協變性，即它是一種非相對論性的等式。
1927年，狄拉克借助4個份量的波函數來描寫電子，提出了滿足相對論協變性的量子熱學多項式——狄拉克多項式。這個等式可以說是把量子熱學與相對論協調在一起的第一次成功嘗試，但是這個等式還可以自然地導入電子載流子的結果，被人們公覺得現代理論化學學的一個巨大成就。
然而，狄拉克多項式也預言了一個特別有趣、也令人困擾的結果：狄拉克多項式的解，不但有正能量的電子，還存在負能量的電子。怎樣理解這種負能量的電子呢？狄拉克又一次地借助“真空不空”的概念。如圖1所示，狄拉克覺得，真空中是所有負能量的狀態，按照泡利不相容原理，每位負能量的狀態都有一個電子搶占著。真空可以看成塞滿了所有負能量狀態的電子產生的大海，而帶有正能量的電子則在這個湖面上運動。
圖1真空是負能量的電子海
這樣一個真空是電子海的圖象可以說是令人相當驚奇的。假如一個高能量的γ射線入射到電子海中，這時海中將有一個電子被迸發到水面上，而電子海中也會留下一個空穴(相當于一個帶正電荷的電子在真空中運動)。安德森(C.)在宇宙線照射的云室中，發覺了一個與電子質量相等、卻帶有正電荷的電子——正電子，十分有利地支持了狄拉克的理論預言。為此，狄拉克和安德森由于這一開創性的工作，分別獲得1933年度和1936年度的諾貝爾化學學獎。
我們看見，真空的概念在這兒得到了一次飛越。形象地說，某種以太的概念又回去了，不過是以電子海的方式。
3量子電動熱學中的真空(一)：真空漲落、蘭姆位移和電子反常磁矩
電磁場是人們最為熟悉的場，薛定諤多項式和狄拉克多項式也討論了微觀粒子和電磁場的互相作用，不過其中，電子是量子化的，而電磁場是精典的。很其實，一個完整的關于電子與電磁場互相作用的理論，應當是全量子化的。
20世紀中葉，施溫格(J.)、費曼(R.)和朝永振一郎(S.)分別構建了電子與電磁場互相作用的量子理論——量子電動熱學。量子電動熱學是一種量子場論，電子場的迸發和迸發消失，對應于電子的形成和湮沒，而電磁場的迸發和迸發消失，對應于光子的形成和湮沒。如圖2(a)，電子之間的互相碰撞可以用形象的費曼圖表示：電子發射出一個虛光子，之后被另一個電子所吸收，這樣兩個電子通過交換虛光子發生互相作用。此時初態和末態，都是可以被直接觀測到的真實粒子，而所有中間過程的粒子，存在的時間很短，被稱為虛粒子。
圖2(a)簡單的費曼圖；(b)量子電動熱學中的真空極化
特別有趣的是，“真空不空”的概念在這兒再度飾演了一個重要角色。如圖2(b)所示，這是一個更高階的過程。電子發射出的虛光子可以弄成一對虛的正負電子，之后這對虛的正負電子又湮沒重新弄成一個虛光子，這個虛過程(即圖2(b)中的圓圈)被稱為真空極化。
可見，在量子電動熱學的世界中，看似電子處在真空中運動，實質上真空中存在著大量的虛的光子、正負電子對。形象地說，電子此時“穿了大衣”()物理單位分子量子夸克，而這件外套就是真空漲落產生的。
真空漲落將導致電子自能的微小改變，通常這個效應對于電子能量的改變僅在MHz量級(微波段)。德國化學學家蘭姆(W.Lamb)借助微波技術，檢測了氫原子中電子最低的兩個迸發態基態2s1/2，2p1/2，發覺的確真空漲落將導致電子基態的微小變化，稱為蘭姆位移。
真空漲落還將屏蔽電子載流子。日本化學學家庫什(P.Kusch)借助磁共振技術，檢測了電子磁矩，發覺真空漲落將導致電子磁矩偏離簡單的玻爾磁子，ae=(g－2)/2，稱為反常磁矩。
可以來比較一下，通過量子電動熱學的估算，蘭姆位移的理論值是1057.864MHz，而實驗檢測值為1057.862MHz；電子反常磁矩的理論值是ae=.7×10-9，而實驗檢測值為ae=.7×10-9。理論和實驗可以在驚人的精度上相一致。量子電動熱學可以說是目前化學學中最為成功的理論之一，費曼等3人因而入選1965年度諾貝爾化學學獎，而蘭姆和庫什也獲得了1955年度諾貝爾化學學獎。
我們看見，真空的概念在這兒再一次得到了豐富。形象地說，這兒的真空是虛的光子和正負電子對的海洋。
4量子電動熱學中的真空(二)：效應
量子電動熱學是粒子與電磁場互相作用的量子理論，基于真空漲落所預言的電子基態聯通和電子反常磁矩早已在極高的精度上得到了否認。不過這種效應總的來說是真空豐富的數學內容的一種間接反映，能夠有一個關于真空的直接可觀測的效應呢？這是一個饒有趣味的重要問題。
1948年，法國化學學家卡西米爾(H.)提出：在真空中兩塊平行放置的中性導體平板之間，存在微弱的吸引力，稱為卡西米爾效應。很其實，在精典電動熱學中，兩塊不帶電的中性導體平板之間是沒有任何斥力的。而且在量子電動熱學中，電磁場可以量子化為各類基態的諧振子。兩塊平板之間的真空，也就是量子電動熱學的能級，實質上是飽含大量諧振子的集合。可以估算得到依賴于兩平板之寬度離的真空能量，即卡西米爾能量。而兩平板之間的互相斥力，可以看成是卡西米爾能量對于平板之寬度離變化的行列式。
卡西米爾效應是一種真空的量子熱學效應，不過它的訊號是很微弱的。對于兩塊1cm2大小的平行金屬板，相距僅1μm時，真空形成的互相吸引力僅為10-7N，檢測這么微小的力是一個巨大的實驗挑戰。
實驗化學學家采用高精度扭擺、原子力顯微鏡等手段來檢測卡西米爾力，取得了一系列的進展。一個最新的突破是在2011年，美國的研究組將超導微波腔的兩個鏡面作為兩個平板，借助微波光子的檢測技術，精密檢測了其中的卡西米爾效應。
5量子規范場論中的真空：真空對稱自發破缺、質量的起源和Higgs粒子
自然界中有四種基本的互相作用，其中電磁互相作用早已構建起它的量子理論——量子電動熱學。在量子電動熱學巨大成功的鼓舞之下，化學學家開始探求怎樣構建起其他互相作用的量子理論。
在量子場論中，每一種粒子對應于一種場，粒子是場的量子，場可以用含時空坐標的函數來描寫。場函數滿足一個運動多項式，這個運動多項式可以從拉格朗日量推論下來，它決定了場或粒子的運動規律。有趣的是，量子規范場論具有某種特殊的對稱性。比如，在規范變換下，拉格朗日量具有不變性，由它導入的運動多項式也具有不變性，因而場或粒子的運動規律在規范變換下保持不變。電磁互相作用的量子理論滿足定域U(1)的規范不變性，而弱互相作用的量子理論滿足定域SU(2)的規范不變性。1960年代，3位杰出的理論化學學家：格拉肖(S.)、溫伯格(S.)和薩拉姆(A.Salam)借助滿足SU(2)×U(1)的規范不變性構建起弱互相作用和電磁互相作用的統一的量子理論。
但是，這樣一個看起來十分宏偉的量子理論卻遇見了根本性的困難：規范不變性要求這種粒子沒有質量。這個矛盾困惑了化學學家許久，很有意思的是，“真空不空”的概念再度讓人們取得了突破性的進展。
1961年，法籍華裔理論化學學家北部陽一郎(Y.Nambu)提出：拉格朗日量具有某種對稱性，并且系統的能級或真空態不具有這些對稱性，稱為真空對稱自發破缺。如圖3(a)所示，一個大的磁極，其中有好多個小n極。當體溫很高時，這種小n極的取向是任意的，整個磁極有著空間旋轉不變性，即表現為沒有任何特殊的方向性。并且當氣溫增加到居里氣溫以下，這種小n極會順著某個方向排列，出現了自發磁化，因而整個磁極的空間旋轉不變性受到了破缺。假如用理論的語言來概括，描寫磁極的拉格朗日量具有空間轉動的不變性，并且因為最低能量的能級或真空態弄成了自發磁化的狀態，所以整個系統的對稱性破缺了。
圖3(a)磁極中能級或真空態發生自發磁化，對稱性破缺；(b)(上圖)Higgs標量場的勢阱，最低能態或真空態發生對稱自發破缺。(右圖)可以打個比方：鋼筆的運動具有旋轉對稱性，并且其最低能態，即躺在桌面上，旋轉對稱性破缺
在此基礎上，1964年，美國理論化學學家希格斯(Higgs)等人提出，如圖3(b)所示，假如存在一個復標量場(Higgs場)與規范場耦合，這么當真空態發生自發對稱破缺時，就可以使規范場粒子獲得質量，這個標量場中有質量的粒子被稱為Higgs粒子。
因為真空對稱自發破缺的機制對于粒子化學學起著這么重要的作用，找尋Higgs粒子就成為實驗化學學家仍然夢寐以求的目標。2012年，法國核子中心的科學家宣布，在其小型強子對撞機上發覺了Higgs粒子，總算為這一問題畫上了完美的句號。溫伯格等人入選1979年度諾貝爾化學學獎，北部獲得了2008年度諾貝爾化學學獎，而希格斯等人也獲得了2013年度諾貝爾化學學獎。
質量的起源原本是數學學最根本的問題之一，我們驚奇地發覺，真空在這兒起到了根本性的作用。正是宇宙中飽含著Higgs場，帶來了萬物的質量，似乎“無中生有”是對于這個真空最好的概括。
6量子色動力學中的真空：真空匯聚、夸克禁閉
化學學家在20世紀初發覺了原子的結構：由原子核和核外電子構成。進一步又發覺原子核由質子和中子構成，質子和中子又是由夸克和膠子構成，這種基本粒子通過自然界的四種互相作用之一——強互相作用結合在一起。
1970年代，澳洲理論化學學家維爾切克(F.)、格羅斯(D.Gross)、波利策(D.)等人借助SU(3)的規范對稱性構建起強互相作用的量子理論——量子色動力學。這一量子理論預言了當原子核內部的兩個夸克距離很近時，它們如同是自由粒子，稱為漸近自由。這一現象成功地解釋了高能區的核化學實驗，獲得了巨大的成功，也使這3位理論化學學家入選2004年度諾貝爾化學學獎。
夸克是帶有分數電荷的基本粒子，被完全禁錮在原子核內部，這一現象被稱為夸克禁閉。怎么解釋這一現象被覺得是20世紀數學學懸而未決的兩個重大疑難問題之一。有好多模型或理論嘗試來解決這一問題，其中一個普遍的想法是夸克禁閉是因為核子中“真空不空”的特點導致的。
一個有啟發性的事例是你們比較熟悉的超導。超導中有電和磁兩個自由度，如圖4(a)所示，在高溫下，超導體中電荷發生配對并匯聚，超導體的能級或真空態是這種電荷的匯聚相。此時，磁場不能穿透超導體，稱為完全抗磁性，即邁斯納效應。
圖4(a)超導中能級或真空態發生匯聚，有完全抗磁性；(b)核子中能級或真空態發生匯聚，有完全抗電性，即夸克禁閉
類似地，夸克有“色電”和“色磁”兩個自由度，如圖4(b)所示，在低能下，核子中的夸克的磁自由度發生并匯聚，核子的能級或真空態是那些磁自由度的匯聚相。此時，電場不能穿透核子，稱為完全抗電性，即電力線都被擠壓在核子內部，不容許電荷自由地釋放下來，于是夸克被完全禁錮在核子的內部。
進一步，正如水有固體、液體、氣體等多個相，通過體溫變化可以發生相變。如圖5所示，可以想像，夸克禁閉是因為較低能量下，真空處在匯聚相，當原子核以極高速對撞，相當于處在極高能，這時真空可能發生相變，產生夸克—膠子等離子體的新的相。觀測到這些真空相變過程，正是目前韓國布魯克海文國家實驗室的相對論重離子對撞機的目標。目前，關于量子色動熱學中真空的研究正如火如荼地舉辦著，假如才能在實驗中見到真空相變的明晰證據，這將是真空概念，乃至數學學的一個重大突破。
圖5隨著氣溫下降，從夸克禁閉的真空態，發生真空相變，到夸克—膠子等離子體
7量子信息視角下的真空(一)：量子以太與萬物起源
20世紀數學學最偉大的數學學成就莫過分量子熱學的構建。量子熱學除了為原子化學、粒子化學、凝聚態化學等現代數學學分支奠定堅實基礎，并且推動了核能、激光、半導體等高技術的誕生與發展。從20世紀末盛行的量子信息學的領域，是量子熱學與信息科學的交叉形成的新型學科，其中量子估算、量子通訊、量子精密檢測等將為未來信息社會帶來嶄新的引領。
量子信息的基本單元是量子比特，有|0>和|1>兩個基本狀態，量子比特可以處在這兩個態的任意疊加態。正是這一疊加特點賦于了量子比特的天然并行性，有可能在量子信息處理中帶來強悍的資源。這么量子信息的特點有沒有可能對基礎數學的問題帶來啟示呢？
數學學一個最基礎的問題，是怎樣統一各類基本粒子和四種基本互相作用，簡而言之就是認清楚萬物的起源這一根本性問題。目前粒子化學學界構建上去的所謂標準模型，包括強電統一的量子理論和量子色動力學，基本上囊括了除引力外的另外三種互相作用。而且怎么把引力統一進來，還是一個未解決的重大問題。
華人數學學家文小剛在這一方向上做了有益的探求。他覺得：假如把空間看成是量子比特構成的大海，這么基本粒子可以看成是這個大海中的波動和渦旋。這種大海中各類序，即諸多量子比特的各類集合和結構，將決定各類基本粒子的性質和各類基本互相作用的規律。
假如把這種量子比特類比于一個個水份子，這么量子比特的長程糾纏如同是水份子組成一條條弦，這種弦填充在整個空間中，稱為弦網液體。整個量子比特構成的大海就可以看成是這種弦網液體的海洋。如圖6所示，在大海中有一種波動，弦密度波，它所滿足的運動多項式就是麥克斯韋多項式，就是電磁波。弦的末端，滿足費米統計和電荷量子化，就是電子。這樣電子、光子等基本粒子，電磁互相作用都從中形成了，可以得到光和電的統一的起源！
圖6(a)一種量子以太：弦網液體；(b)弦密度波就是電磁場或光子的起源
文小剛覺得，真空是量子比特的海洋，這是一種新方式“以太”論——量子以太。這個量子以太可以涌現出各類基本粒子、各種基本互相作用，給出萬物的起源！其實這些量子以太學說只是幾種嘗試性的大統一理論之一，但是目前也沒有任何直接的實驗預言和證據。并且這些量子以太的嶄新視角，無疑是對于真空豐富的化學內容又抹勾線彩斑斕的一筆。我們看見，“以太”的概念又一次回到了化學學的基本問題中。正由于數學學的根本性問題總是離不開真空，所以雖然精典以太的概念被革除，量子以太的概念總會以某種方式飾演自己不可或缺的角色。
8量子信息視角下的真空(二)：非局域性、量子糾纏
20世紀20年代誕生的量子熱學，給人們打開了微觀世界的房門，常常被稱為“第一次量子熱學革命”。量子熱學有著一些獨特的性質，比如波函數的概率幅、波粒二象性、薛定諤貓、量子糾纏等等。而圍繞著這種獨特性質，有著各類困惑和解釋。
1935年，愛因斯坦等提出所謂EPR(——Rosen)的思想實驗：構想有兩個載流子1/2的粒子A和B，構成糾纏態|↑>A|↓>B+|↓>A|↑>B，并置于聚首遙遠的兩個地方。在未檢測時，B粒子各有50%的概率載流子向上↓或向下↑。并且當A粒子被檢測時，假若檢測結果為A粒子載流子向下↑，這么B粒子將以100%的概率處在載流子向上↓；假如檢測結果為A粒子載流子向上↓，這么B粒子將以100%的概率處在載流子向下↑。看上去，量子熱學中存在著“幽靈般的超距作用”，B粒子的狀態雖然被A粒子的檢測所控制(注意這兒并不存在所謂信息的傳遞)。
實質上，這些處在量子糾纏態的粒子，雖然空間上分隔遙遠，但存在量子關聯，稱為“量子非局域性”。這樣一個思想實驗進一步啟發了貝爾(J.Bell)提出貝爾不方程，將這種思想性的實驗付諸于真實的實驗。從1970年代開始起，化學學家在各類量子系統上，采用各類實驗手段進行實驗研究，其中美國學者阿斯派克特(A.)借助光子對的實驗深受關注。而在2015年，西班牙研究組借助兩塊聚首1.5km的金鋼石色心里電子載流子，完成了所謂無漏洞的貝爾不方程的驗證。
這場愛因斯坦和玻爾之間的學術爭辯，闡明了量子世界更為深刻和基礎的性質：量子非局域性。可以想像，如同當初關于宋體幅射的深入研究，引起了量子熱學的第一次革命，對于這種量子世界的獨特性質的更深入的探求，將造成量子熱學的第二次革命！
第一次量子革命，化學學家主要是問“做哪些”，即量子熱學應用到各個領域，早已取得了十分豐碩的成果。而第二次量子革命，化學學家更多是問“為什么”，即量子熱學的獨特性質究竟為何是這樣。比如物理單位分子量子夸克，通過薛定諤貓問題的研究，探求量子世界與精典世界的界限問題。不僅正統的波包塌縮解釋，以及退相干過程解釋等，還有沒有令人滿意的量子檢測的理論？量子熱學和非局域隱變量理論，究竟哪一個才是微觀世界的基本理論？
非常是關于量子熱學最為獨特的屬性之一：量子非局域性，它的癥結是哪些？我們覺得：真空概念的發展有可能為這一問題的回答提供可能的抓手。
一種可能是來自所謂ER=EPR猜測。如圖7(a)所示，廣義相對論預言，存在一個聯接兩個不同時空區域的通道——ER(-Rosen)橋，形象地用蟲洞來表示。2013年，印度學者提出：一個黑洞有可能通過蟲洞與另一個相距遙遠的黑洞處于糾纏態，即蟲洞和糾纏態是等價的，ER=EPR。也就是說，量子糾纏可以看作是聯系兩個區域的時間結構。
圖7(a)ER=EPR示意圖：遠程的蟲洞聯接和糾纏關聯是等價的；(b)我們的一個猜測：真空背景(紅色)中飽含了大量的關聯(藍線)，正是這些“以太”造成兩個聚首遙遠的粒子發生糾纏
一種可能是我們的大膽推測：如圖7(b)所示，真空不空，飽含著量子以太。這些布滿空間的以太，天然地具有非局域的關聯，這些內稟的關聯正是量子非局域性、量子糾纏的起源。值得我們強調的是，愛因斯坦和就曾嘗試從廣義相對論的真空場多項式中推到量子熱學的不確定關系。我們構想，也許可以構造一個量子以太的模型，從中推導入量子糾纏的關系式。
9新的機遇：真空究竟是哪些？
回顧一下真空概念的發展和現代數學學的偉大成就是十分有啟發意義的。20世紀初，開爾文侯爵覺得輝煌的數學學有著兩朵烏云：一個宋體幅射，一個邁克爾孫—莫雷實驗。非常是前者與精典化學學中以太圖象的尖銳沖突，代表了人們對于真空認識的一次飛越，也成為現代數學學誕生的源泉之一。
到了21世紀初，知名理論化學學家李政道先生覺得目前數學學也有兩大疑難問題：一個是遺失的對稱性，比如電荷和宇稱反演不變性的破壞(CP破壞)；一個是看不見的夸克(夸克禁閉)。李政道先生覺得這兩個問題都跟真空的特點有關。正如我們上面所述，真空的對稱自發破缺引起了對稱性的破壞，真空是一個理想的抗電性的媒介，也可以解釋夸克禁閉。李政道先生覺得，挖掘真空的性質會有特別深刻的認識，因而對化學學帶來革命性的突破。
進一步，我們還覺得：20世紀初關于微觀世界的探求，形成了第一次量子熱學革命。量子熱學是數學學最為成功的理論，早已衍生出豐碩的成果。但是對于其本質的奧秘卻從誕生之日起，仍然爭辯不休。
到了21世紀初，量子信息學的誕生，化學學家除了可以研究量子熱學能“做哪些”，還要去追問“為什么”。量子信息中不但提供了眾多量子操控的方式和手段，還去深入探求量子熱學的獨特本質，比如量子糾纏、量子非局域性等。國際知名學術刊物《自然—物理》在2014年發表了量子熱學基本問題的研究專輯，明晰強調：第二次量子熱學革命的號角早已奏響！正如我們在本文中所闡釋的那樣，關于量子真空的研究，似乎將為我們揭露量子世界的本質謎題提供嶄新的機遇！
本文選自《物理》2018年第9期