理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹主要內(nèi)容靜力學(xué)運(yùn)動(dòng)學(xué)動(dòng)力學(xué)專題理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹靜力學(xué)部份力、力矩、力系質(zhì)心、力偶矩、力偶系主矢、主矩、力系簡化約束與約束力力系平衡考慮磨擦的平衡問題理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹考慮磨擦的平衡問題理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹定義：兩個(gè)相接觸物體，當(dāng)其接觸處形成相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，其接觸處形成的制約物體相對(duì)滑動(dòng)的力叫滑動(dòng)磨擦力。滑動(dòng)磨擦1.靜滑動(dòng)磨擦力及最大靜滑動(dòng)磨擦力如圖(a)所示，在粗糙的水平面上放置一重為P的物體，當(dāng)水平方向無拉力時(shí)，其實(shí)有P=FN。如今該物體上作用一大小可變化的水平拉力F，如圖(b)所示，當(dāng)拉力F由零逐步降低但又不很大時(shí)，物體仍能維持平衡。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹由此可見，支承面對(duì)物體的約束力不僅法向約束力FN外還有一個(gè)制約物體沿水平面向右滑動(dòng)的切向約束力Fs，此力即靜滑動(dòng)磨擦力，簡稱靜磨擦力。似乎有Fs=F，因而靜磨擦力也是約束力，隨著F的減小而減小。但是，它并不能隨F的減小而無限地減小。而有一個(gè)最大值Fmax，稱為最大靜磨擦力，此時(shí)物體處于平衡的臨界狀態(tài)。當(dāng)主動(dòng)力F小于Fmax時(shí)，物體將喪失平衡而滑動(dòng)。
即理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹實(shí)驗(yàn)表明上式稱為庫侖磨擦定理，是估算最大靜磨擦力的近似公式。式中fs稱為靜磨擦質(zhì)數(shù)，它是一個(gè)無量綱的量。通常由實(shí)驗(yàn)來確定。2.動(dòng)滑動(dòng)磨擦力當(dāng)接觸處出現(xiàn)相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，接觸物體之間仍有妨礙相對(duì)滑動(dòng)的阻力，這些阻力稱為動(dòng)滑動(dòng)磨擦力，簡稱動(dòng)磨擦力，以Fd表示，大小可用下式估算。式中fd是動(dòng)磨擦質(zhì)數(shù)，一般情況下，理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹磨擦角和自鎖現(xiàn)象1.磨擦角當(dāng)有磨擦?xí)r，支承面對(duì)物體的約束力有法向約束力FN和切向約束力Fs，這兩個(gè)力的合力稱為全約束力FR。它的作用線與接觸處的公法線成一偏角j,如圖所示，當(dāng)靜磨擦力達(dá)最大時(shí)，j也達(dá)到最大值jf,稱jf為磨擦角。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹2.自鎖現(xiàn)象因?yàn)槿s束力的作用線與接觸處公法線的傾角j不能小于磨擦角，即變化范圍為0?j?jf，因而可得：假如作用于物體的全部主動(dòng)力的合力的作用線與公法線的傾角qjf，則無論這個(gè)力多么小，物體必不能保持平衡。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹磨擦角就是物塊處于臨界狀態(tài)時(shí)斜面的夾角q,即下邊的螺旋千斤頂就借助了自鎖的概念。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹考慮磨擦?xí)r物體的平衡問題考慮有磨擦的平衡問題時(shí)動(dòng)量定理彈性碰撞，其解法與普通靜力學(xué)問題基本一樣。
但需強(qiáng)調(diào)的是，在受力剖析和列平衡多項(xiàng)式時(shí)要將磨擦力考慮在內(nèi)，因此除平衡多項(xiàng)式外，還需降低補(bǔ)充等式0?Fs?fsFN，因而有磨擦的平衡問題的解一般是一個(gè)范圍。為了防止解不方程，常常先考慮臨界狀態(tài)（Fs=fsFN），求得結(jié)果后再討論解的平衡范圍。應(yīng)當(dāng)指出的是磨擦力的方向在臨界狀態(tài)下不能假定，要依照物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)來判定，只有磨擦力是待求未知數(shù)時(shí)，可以假定其方向。求解時(shí)，依據(jù)具體的問題采用解析法或幾何法求解，下邊舉例說明理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹取物塊A為研究對(duì)象，受力剖析如圖。列平衡多項(xiàng)式。解:例題5-1聯(lián)立求解得最大靜磨擦力小物體A重P=10N，置于粗糙的水平固定面上，它與固定面之間的靜磨擦質(zhì)數(shù)fs=0.3。今在小物體A上施加F=4N的力，q=30°，試求作用在物體上的磨擦力。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹預(yù)制構(gòu)件A及B用楔塊C連結(jié)，如圖(a)所示，楔塊自重不計(jì)，。已知楔塊與預(yù)制構(gòu)件間的磨擦系數(shù)fs=0.1,求能自鎖的傾斜角q。解：(1)解析法研究楔塊C，受力如圖(b)，考慮臨界平衡例題5-2再考慮補(bǔ)充等式聯(lián)立解之得理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹(2)幾何法仍考慮臨界平衡狀態(tài),在此情況下,楔塊C兩端所受的全約束力必大小相等,方向相反且作用線在一條直線上;與作用點(diǎn)處的法線的傾角均等于磨擦角jf如圖(c)所示。
由幾何關(guān)系不難得以上是考慮臨界狀態(tài)所得結(jié)果，稍作剖析即可得例題5-2理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹例題5-3平衡多項(xiàng)式為取支架為研究對(duì)象,受力剖析如圖。（1）解析法解:一活動(dòng)支架套在固定圓錐的外表面，且h=20cm。假定支架和圓錐之間的靜磨擦質(zhì)數(shù)fs=0.25。問作用于支架的主動(dòng)力F的作用線距圓錐中心線起碼多遠(yuǎn)能夠使支架不致下降（支架自重不計(jì)）。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹聯(lián)立求解得補(bǔ)充等式例題5-3解得（2）幾何法由以上二個(gè)反例可以看出，當(dāng)有磨擦處的約束力以全約束力方式給出，如能借助二力平衡條件和三力平衡匯交定律且?guī)缀侮P(guān)系又較簡單，用幾何法常常較便捷。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹寬a，高b的圓形柜放置在水平面上，柜重P，重心C在其幾何中心，柜與地面間的靜磨擦質(zhì)數(shù)是fs，在柜的側(cè)面施加水平往右的力F，求柜發(fā)生運(yùn)動(dòng)時(shí)所需推力F的最小值。例題5-4理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹1.假定不墜地但正式滑動(dòng)，考慮臨界平衡。解:取圓形柜為研究對(duì)象,受力剖析如圖。聯(lián)立求解得衣柜開始滑動(dòng)所需的最小推力補(bǔ)充等式列平衡多項(xiàng)式例題5-4理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹2.假定圓形柜不滑動(dòng)但將繞B墜地。柜繞B翻覆條件：FNA=0使柜翻覆的最小推力為列平衡多項(xiàng)式解得例題5-4綜上所述使柜發(fā)生運(yùn)動(dòng)所需的最小推力為理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹長為l的梯子AB一端靠在墻上上，另一端擱在地板上，如圖所示。
假定梯子與墻面的接觸是完全光滑的，梯子與地板之間有磨擦，其靜磨擦質(zhì)數(shù)為fs。梯子的重量略去不計(jì)。今有一重為P的人沿梯子向下爬，假如保證人爬到頂端而梯子不致下降，求梯子與墻面的傾角q。例題5-5理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹以梯子AB為研究對(duì)象，人的位置用距離a表示，梯子的受力如圖。解：使梯子保持靜止，必須滿足下述平衡多項(xiàng)式：同時(shí)滿足數(shù)學(xué)條件例題5-5聯(lián)立解之得因0≤a≤l，當(dāng)a=l時(shí)，上式右邊達(dá)到最大值。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹重為P=100N的勻質(zhì)滾輪夾在無重桿AB和水平面之間，在桿端B作用一垂直于AB的力FB，其大小為FB=50N。A為光滑合頁，輪與桿間的磨擦質(zhì)數(shù)為fs1=0.4。輪直徑為r，桿長為l，當(dāng)q=60°時(shí)，AC=CB=0.5l，如圖所示。如要維持系統(tǒng)平衡，（1）若D處靜磨擦質(zhì)數(shù)fs2=0.3，求此時(shí)作用于輪心O處水平推力F的最小值;（2）若fs2=0.15,此時(shí)F的最小值又為多少？例題5-6理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹解：此題在C，D兩處都有磨擦，兩個(gè)磨擦力之中只要有一個(gè)達(dá)到最大值，系統(tǒng)即處于臨界狀態(tài)。假定C處的磨擦先達(dá)到最大值，輪有水平往右滾動(dòng)的趨勢(shì)。例題5-61.以桿AB為研究對(duì)象，受力剖析如圖。
解得列平衡多項(xiàng)式補(bǔ)充等式理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹例題5-62.以輪為研究對(duì)象，列平衡多項(xiàng)式。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹解多項(xiàng)式得最小水平推力為受力圖不變，補(bǔ)充等式應(yīng)改為此時(shí)C處最大磨擦力為因而當(dāng)fs2=0.15時(shí)，維持系統(tǒng)平衡的最小水平推力改為說明上面假設(shè)不創(chuàng)立，D處應(yīng)先達(dá)到臨界狀態(tài)。3.當(dāng)fs2=0.15時(shí),例題5-6理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹由實(shí)踐可知，使?jié)L子滾動(dòng)比使它滑動(dòng)省力，倘若仍用右圖的熱學(xué)模型來剖析就存在問題。即無論水平力F多么小，此物體均不能平衡，因?qū)c(diǎn)A的矩的平衡多項(xiàng)式不滿足，即§5-4滾動(dòng)摩阻的概念出現(xiàn)此類現(xiàn)象的緣由是，實(shí)際接觸面并不是質(zhì)心，它們?cè)诹Φ淖饔孟戮蜁?huì)發(fā)生一些變型，有一個(gè)接觸面，如圖所示。這是與實(shí)際情況不符的，說明此熱學(xué)模型有缺陷，須要修正。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹與靜滑動(dòng)磨擦力相像，滾動(dòng)摩阻力偶矩Mf隨主動(dòng)力F的減小而減小；但有一個(gè)最大值Mmax,即上式即是滾動(dòng)摩阻定理，d稱為滾動(dòng)摩阻系數(shù)，具有寬度的量綱，單位通常用mm。與滾子和支承面的材料的強(qiáng)度和溫度等有關(guān)。與滾子的直徑無關(guān)。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹滾阻系數(shù)的化學(xué)意義如下由力的平移定律通常情況下，相對(duì)滑動(dòng)磨擦而言，因?yàn)闈L阻阻力偶矩很小，所以在工程中大多數(shù)情況下滾阻力偶矩忽視不計(jì)。
理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹取輪子為研究對(duì)象,受力剖析如圖。由平衡多項(xiàng)式解:例題5-7勻質(zhì)輪子的重量P=3kN，直徑r=0.3m；今在輪中心施加平行于斜面的拉力FH，使輪子沿與水平面成q=30°的斜面勻速向下作純滾動(dòng)。已知輪子與斜面的滾阻系數(shù)δ=0.05cm，試求力FH的大小。聯(lián)立求解補(bǔ)充等式理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹如圖所示，總重為P的拖車在牽引力F作用下要爬上夾角為θ的斜坡。設(shè)車輪直徑為r動(dòng)量定理彈性碰撞，輪轂與橋面的滾動(dòng)摩阻系數(shù)為δ，其它規(guī)格如圖所示。求拖車所需的牽引力。例題5-8理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹拖車的兩對(duì)輪子都是從動(dòng)輪，因而滑動(dòng)磨擦力的方向都朝后。設(shè)拖車處于開始向下滾動(dòng)的臨界狀態(tài)，因而前后輪的滾動(dòng)摩阻力偶的質(zhì)心矩M1,max和M2max都達(dá)到最大值。解：由平衡多項(xiàng)式首先取整個(gè)拖車為研究對(duì)象，受力剖析如圖。例題5-8理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹再取后輪為研究對(duì)象，受力剖析如圖。同樣由前輪得輪子滾動(dòng)臨界時(shí)的補(bǔ)充等式解多項(xiàng)式可得列平衡多項(xiàng)式例題5-8理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹運(yùn)動(dòng)學(xué)部份矢量法、直角座標(biāo)法、自然座標(biāo)法（軌跡、速度、加速度）平動(dòng)、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（各點(diǎn)速率與加速度）點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)（速率與加速度）質(zhì)心平面運(yùn)動(dòng)（瞬心、各點(diǎn)速率與加速度）理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹動(dòng)力學(xué)部份質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分等式轉(zhuǎn)動(dòng)力矩、慣量積、慣性主軸動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能、沖量、功、勢(shì)能動(dòng)力學(xué)普遍定律的綜合應(yīng)用平面運(yùn)動(dòng)質(zhì)心動(dòng)力學(xué)多項(xiàng)式及其應(yīng)用慣性力及慣性力系簡化、動(dòng)靜法、靜平衡與動(dòng)平衡的概念理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹專題部份機(jī)械震動(dòng)（單自由度震動(dòng)的周期、頻率、振幅、臨界怠速和隔振的概念）第二類拉格朗日多項(xiàng)式（廣義力的概念與估算，第二類拉格朗日多項(xiàng)式的應(yīng)用）理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹專題部份質(zhì)點(diǎn)系虛位移原理應(yīng)用（虛位移、虛功、自由度、廣義座標(biāo)）碰撞問題（碰撞問題特點(diǎn)及其簡化條件，恢復(fù)質(zhì)數(shù)、對(duì)心碰撞及定軸轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)心和平面運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的碰撞問題）理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹機(jī)械震動(dòng)基礎(chǔ)理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹震動(dòng)是日常生活和工程實(shí)際中常見的現(xiàn)象。
比如：鐘擺的往復(fù)擺動(dòng),車輛行駛時(shí)的顛簸，電動(dòng)機(jī)、機(jī)床等工作時(shí)的震動(dòng)，以及水災(zāi)時(shí)造成的建筑物的震動(dòng)等。利：震動(dòng)給料機(jī)弊：銹蝕，降低壽命，影響硬度震動(dòng)篩造成噪音，影響勞動(dòng)條件震動(dòng)沉拔樁機(jī)等消耗能量，增加精度等。3.研究震動(dòng)的目的：去除或減少有害的震動(dòng)，充分借助震動(dòng)為人類服務(wù)。2.震動(dòng)的優(yōu)劣：1.所謂震動(dòng)就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹本章重點(diǎn)討論單自由度系統(tǒng)的自由震動(dòng)和逼迫震動(dòng)。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹§單自由度系統(tǒng)無減振自由震動(dòng)一、自由震動(dòng)的概念：理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹運(yùn)動(dòng)過程中，總指向物體平衡位置的力稱為恢復(fù)力。物體遭到初干擾后，僅在系統(tǒng)的恢復(fù)力作用下在其平衡位置附近的震動(dòng)稱為無減振自由震動(dòng)。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹二、單自由度系統(tǒng)無減振自由震動(dòng)微分多項(xiàng)式及其解對(duì)于任何一個(gè)單自由度系統(tǒng)，以q為廣義座標(biāo)（從平衡位置開始量取），則自由震動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分等式必定是：則自由震動(dòng)的微分多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)方式：理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹三、自由震動(dòng)的特征：A——物塊離開平衡位置的最大位移，稱為振幅。?nt+q——相位，決定振體在某瞬時(shí)t的位置q——初相位，決定振體運(yùn)動(dòng)的起始位置。
T——周期，每震動(dòng)一次所經(jīng)歷的時(shí)間。f——頻率，每秒鐘震動(dòng)的次數(shù)，f=1/T。——固有頻度，振體在2?秒內(nèi)震動(dòng)的次數(shù)。反映震動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)，只與系統(tǒng)本身的固有參數(shù)有關(guān)。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹無減振自由震動(dòng)的特征是：(2)振幅A和初相位q取決于運(yùn)動(dòng)的初始條件(初位移和初速率)；(1)震動(dòng)規(guī)律為簡諧震動(dòng)；四、其它1.假如系統(tǒng)在震動(dòng)方向上遭到某個(gè)常力的作用，該常力只影響靜平衡點(diǎn)O的位置，而不影響系統(tǒng)的震動(dòng)規(guī)律，如震動(dòng)頻度、振幅和相位等。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹2.彈簧并聯(lián)系統(tǒng)和彈簧串聯(lián)系統(tǒng)的等效撓度理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹§19-2求系統(tǒng)固有頻度的方式理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹無減振自由震動(dòng)系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到距靜平衡位置最遠(yuǎn)時(shí)，速率為零，即系統(tǒng)動(dòng)能等于零，勢(shì)能達(dá)到最大值（取系統(tǒng)的靜平衡位置為零勢(shì)能點(diǎn)）。當(dāng)振體運(yùn)動(dòng)到靜平衡位置時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為零，動(dòng)能達(dá)到最大值。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹能量法是從機(jī)械能守恒定理出發(fā)，對(duì)于估算較復(fù)雜的震動(dòng)系統(tǒng)的固有頻度來得更為簡便的一種技巧。例2圖示系統(tǒng)。設(shè)輪子無側(cè)向擺動(dòng)，且輪子與繩子間無滑動(dòng)，不計(jì)繩子和彈簧的質(zhì)量，輪子是均質(zhì)的，直徑為R，質(zhì)量為m1，重物質(zhì)量m2，試列舉系統(tǒng)微幅震動(dòng)微分等式，求出其固有頻度。
理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹解1：以x為廣義座標(biāo)（靜平衡位置為座標(biāo)原點(diǎn)）靜平衡時(shí)：理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹應(yīng)用動(dòng)量矩定律：震動(dòng)微分等式：固有頻度：A理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹解2：用機(jī)械能守恒定理以x為廣義座標(biāo)（取靜平衡位置為原點(diǎn)）以平衡位置為估算勢(shì)能的零值置，并注意輪心位移x時(shí)，彈簧伸長2x因平衡時(shí)理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹如圖所示兩個(gè)相同的塔輪，相漸開線的蝸桿直徑皆為R，直徑為r的鼓輪上繞有細(xì)繩，輪Ⅰ連一鉛直彈簧，輪Ⅱ掛一重物。塔輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩皆為J，彈簧撓度為k。重物質(zhì)量為m，求此系統(tǒng)的固有頻度。例3理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹解：系統(tǒng)平衡處彈簧雖非拉長，但如前所述，從平衡位置起估算彈性變型，可以不再記入重力。由幾何關(guān)系，當(dāng)重物坐落x處，彈簧由平衡位置估算的變型量也是x，則系統(tǒng)的勢(shì)能為以系統(tǒng)平衡時(shí)重物的位置為原點(diǎn)，取x軸如圖。重物于任意座標(biāo)x處，速率為x的行列式，兩塔輪的角速率皆為。系統(tǒng)動(dòng)能為理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹不計(jì)磨擦，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有兩端對(duì)時(shí)間取一階求導(dǎo)，得上式為自由震動(dòng)微分等式，系統(tǒng)固有頻度為理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹如圖所示表示以質(zhì)量為m，直徑是r的圓錐體，在一直徑是R的弧形槽上作無滑動(dòng)的滾動(dòng)。
求圓錐體在平衡位置附近做微小震動(dòng)的固有頻度。例4理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹解：用能量法求解這個(gè)問題。設(shè)在震動(dòng)過程中，圓錐體中心與圓槽中心的連線OO1與鉛直線OA的傾角為?。圓錐體中心O1的線速率為由運(yùn)動(dòng)學(xué)知，當(dāng)圓錐體做純滾動(dòng)時(shí)，其角速率為為此系統(tǒng)的動(dòng)能為理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹整理后得系統(tǒng)的勢(shì)能即重力勢(shì)能，圓錐在最低處平衡，取該處圓心位置C為零勢(shì)能點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢(shì)能為當(dāng)圓錐體作微震動(dòng)時(shí)，可覺得因而勢(shì)能可改寫成理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹設(shè)系統(tǒng)做自由震動(dòng)時(shí)?的變化規(guī)律為則系統(tǒng)的最大動(dòng)能由機(jī)械能守恒定理，有Tmax=Vmax，解得系統(tǒng)的固有頻度為系統(tǒng)的最大勢(shì)能理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹例5鼓輪：質(zhì)量m1，對(duì)輪心回轉(zhuǎn)直徑?，在水平面上只滾不滑，大輪直徑R，小輪直徑r，彈簧撓度，重物質(zhì)量為m2,不計(jì)輪D和彈簧質(zhì)量，且鋼纜不可伸長。求系統(tǒng)微震動(dòng)的固有頻度。解：取靜平衡位置O為座標(biāo)原點(diǎn)，取C偏離平衡位置x為廣義座標(biāo)。系統(tǒng)的最大動(dòng)能為：理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹系統(tǒng)的最大勢(shì)能為：系統(tǒng)的最大動(dòng)能為：理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹按照Tmax=Vmax,解得理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹§19-3單自由度系統(tǒng)的有減振自由震動(dòng)一、阻尼的概念：減振：震動(dòng)過程中，系統(tǒng)所受的阻力。
黏性減振：在好多情況下，振體速率不大時(shí)，因?yàn)榻橘|(zhì)黏性導(dǎo)致的減振覺得阻力與速率的一次方成反比，這些減振稱為黏性減振。投影式：c——粘性減振系數(shù)，簡稱減振系數(shù)。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹二、有減振自由震動(dòng)微分多項(xiàng)式及其解：質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)存在黏性減振：有減振自由震動(dòng)微分多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)方式。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹衰減震動(dòng)的特征：(1)震動(dòng)周期變大，頻度降低。——阻尼比有減振自由震動(dòng)：理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹(2)振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減對(duì)數(shù)減縮率理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹可見，物體的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的下降而無限地趨于平衡位置，不再具備震動(dòng)的特點(diǎn)。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹§19-6臨界怠速?阻尼與隔振的概念一、轉(zhuǎn)子的臨界怠速導(dǎo)致定子劇烈震動(dòng)的特定怠速稱為臨界怠速。這些現(xiàn)象是由共振導(dǎo)致的，在軸的設(shè)計(jì)中對(duì)高速軸應(yīng)進(jìn)行該項(xiàng)驗(yàn)算。單圓盤定子：圓盤：質(zhì)量m,剛體C點(diǎn)；轉(zhuǎn)軸過盤的幾何中心A點(diǎn)，AC=e，盤和軸共同以勻角速率?轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)?0。在ω2→0的臨界情形時(shí),v0趨近于最小速率v01,代入(3)得由此求得所需的最小速率按照積分方式的動(dòng)能定律T2－T1＝∑W,有(c)理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹A，B兩球大小相同，質(zhì)量相等。
球A以速率v1=2m·s－1撞擊靜止的球B。碰撞前球A球心的速率與球B相切，如圖所示。設(shè)碰撞是光滑的。恢復(fù)系數(shù)k=0.6，求碰撞后兩球的速率。[例5]理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹考察球A，因碰撞力沿法線n-n方向，其沿切線t-t的動(dòng)量不變，即碰撞后球B的速率u2沿n-n線，球A碰撞后的速率u1與公切線t-t成β角。依據(jù)動(dòng)量守恒定律，沿n-n方向動(dòng)量守恒，(a)(b)解：理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹又知恢復(fù)系數(shù)(c)求得理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹滾珠軸承中鋼球的檢驗(yàn)裝置簡圖如圖所示。鋼球從H=1m高度靜止落下，撞在一斜置的重厚板光滑平面上（夾角θ=10o）。如要求恢復(fù)系數(shù)大于0.7的鋼球，碰撞后回跳時(shí)不能超過固定障礙A，求擋板下端A點(diǎn)的位置xA，yA應(yīng)為多少？[例6]理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹恢復(fù)系數(shù)為，此處，Oy軸與切線t-t之間的傾角j為設(shè)鋼球質(zhì)量為m，重厚板質(zhì)量為M，。碰撞前后厚板不動(dòng)，即v2=u2=0。解:因碰撞力沿法線n-n方向，故切線t-t方向的動(dòng)量不變，得解聯(lián)立多項(xiàng)式，求得：理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹由此可知鋼球碰撞后的速率u1的大小和方向決定于k。
令k=0.7，代入數(shù)據(jù)，求得理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹兩個(gè)質(zhì)量相等的球1和2，碰撞前的速率分別為v1=2m·s－1和v2=3m·s－1，方向如圖所示。設(shè)恢復(fù)系數(shù)為k=0.60，求碰撞后每球的速率和碰撞時(shí)所損失的動(dòng)能占原有動(dòng)能的百分率。[例7]理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹設(shè)兩球質(zhì)量均為m，假定兩球碰撞后速率為u1和u2。因每位球碰撞前后在切線方向的動(dòng)量不變，故u1必沿法線方向。設(shè)u2與法線的傾角為β，則（a）因整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒，故沿法線n-n方向的動(dòng)量守恒投影式為（b）解:1.求碰撞后每球的速率。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹式（d）+（e）得由式（a），（b）和（c），可求得三個(gè)未知量u1，u2和β。由式（c）得由式（b）得（e）（d）據(jù)悉由恢復(fù)系數(shù)的定義，得（c）理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹代入數(shù)據(jù)求得代入式（a）由式（a）和（e），消掉u2，得理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹動(dòng)能的損失2.碰撞時(shí)所損失的動(dòng)能占原有動(dòng)能的比率。碰撞前動(dòng)能損失的動(dòng)能占原有動(dòng)能的比率為理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹勻質(zhì)薄球殼的質(zhì)量是m，直徑是r，以剛體速率vC斜向撞在水平面上，vC對(duì)鉛直線成偏角q。
同時(shí)球殼具有繞水平剛體軸(垂直于vC)的角速率w0。假設(shè)碰撞接觸點(diǎn)的速率能按反向全部恢復(fù)(k=k′=1)，求碰撞后球殼的運(yùn)動(dòng)。[例8]理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹解：球殼作平面運(yùn)動(dòng)，作用于它的外碰撞沖量有瞬時(shí)法向反力的沖量IN和瞬時(shí)磨擦力的沖量IF。設(shè)碰撞結(jié)束時(shí)剛體速率是uC，繞剛體軸的角速率是ω(規(guī)定以逆鐘向?yàn)檎?。寫出剛體沖量多項(xiàng)式和對(duì)力偶的沖量矩等式，并注意球殼對(duì)力偶軸的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩JC=2Mr2／3，有理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹由恢復(fù)系數(shù)的定義可知，在完全彈性碰撞結(jié)束后，接觸點(diǎn)的切向和法向相對(duì)速率都按相反方向全部恢復(fù)。以vA和uA分別表示碰撞始末接觸點(diǎn)A的速率，則有由運(yùn)動(dòng)學(xué)知因而可得理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹于是，前面兩個(gè)方程(?)就可寫成聯(lián)立求解上列等式(1)?(5)，就可得到需求的全部答案。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹(a)由式(a)可以求出球殼回跳時(shí)的角度β，有這個(gè)結(jié)果表明β有可能取任意的數(shù)值，只要vC，q和w配合適當(dāng)。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹均質(zhì)細(xì)桿長l，質(zhì)量為m，以速率v平行于桿自身而斜撞于光滑地面，桿與地面成角θ，如圖所示。若為完全彈性碰撞，試求撞后桿的角速率。
[例9]理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹地面光滑，桿只受有y方向的碰撞沖量I，桿沿x方向動(dòng)量守恒。設(shè)桿撞后剛體C的速率為v'C，角速率為w，如圖所示。則x方向有沿y軸投影為由平面運(yùn)動(dòng)基點(diǎn)法獲知點(diǎn)A速率為(a)解：理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹對(duì)力偶C的沖量矩定律為沖量定律沿y軸投影式為代入式（a），得理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹由(c)、（d）二式消掉I，得解出代入式（b），得即理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹均質(zhì)桿AB長為l，質(zhì)量為m，如圖所示。設(shè)桿在鉛直面內(nèi)保持水平升高，桿與固定支點(diǎn)E碰撞，前其形心的速率為v0，恢復(fù)系數(shù)為k。求碰撞后桿的剛體速率uy和桿的角速率Ω。已知E點(diǎn)到桿上端的距離為。[例10]理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹不考慮碰撞時(shí)桿的彈性震動(dòng)，可看成是質(zhì)心碰撞的突加約束問題。E為固定障礙，碰撞前桿作平動(dòng)，碰撞后桿作平面運(yùn)動(dòng)。作Exy座標(biāo)軸，Ey向上為正。圖上所表示的方向均假定為正。應(yīng)用投影式，得（a）（b）解：前面三個(gè)未知量uy，Ω，S，故還需構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式能夠求解。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹（c）前面三個(gè)未知量uy，Ω，S，故還需構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式能夠求解。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹由式（a），（b）和（c），消掉I，求得代入得理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹若為彈性碰撞，k=1，此時(shí)求得若為塑性碰撞，k=0，則減號(hào)表示碰撞后剛體C的速率向下，與碰撞前速率v0的方向相反。理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹k=1k=0理論熱學(xué)熱學(xué)大賽知識(shí)點(diǎn)介紹一均質(zhì)圓錐體，質(zhì)量為m，直徑為r，其形心以勻速vC沿水平面作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，忽然與一高度為h（h