4.4.2內阻、電感、電容串聯電路按照KVL定理可列舉設電路中的電壓為電容器件上的電流uC比電壓滯后，即則內阻器件上的電流uR與電壓同相，即電感器件上的電流uL比電壓超前電感器串聯和并聯公式，即電源電流為由電流相量所組成的直角三角形，稱為電流三角形.借助這個電流三角形，可求得電源電流的有效值，即4.4.2內阻、電感、電容串聯電路圖4.27電流三角形（2）電路中的阻抗及相量圖電路中電壓與電壓的有效值（或幅值）之比為。它的單位也是歐姆，也具有對電壓起制約作用的性質，我們稱它為電路的阻抗模，用代表，即、R、（-）兩者之間的關系也可用一個直角三形——阻抗三角形來表示，圖4.28阻抗三角形4.4.2內阻、電感、電容串聯電路電源電流u與電壓i之間的相位差也可從電流三角形得出，即用相量表示電流與電壓的關系為將上式寫成式中的稱為電路的阻抗，用小寫的Z表示，即阻抗的幅角即為電壓與電流之間的相位差。對感性電路，為正；對容性電路，為負。4.4.2內阻、電感、電容串聯電路2．RL串聯電路實際的設備大部份是呈感性的，如日光燈負載，可以用理想內阻與理想電感相串聯的電路模型表示，這類負載稱為電感性負載，簡稱RL電路。
如圖4.30所示。圖4.30RL串聯電路電路的電流多項式為由于所以RL串聯電路的阻抗為電路阻抗的模為幅角或阻抗角為4.4.2內阻、電感、電容串聯電路例4.11在RLC串聯電路中，，，，若電源電流，求：電路的電壓、電阻電流、電感電流和電容電流的相量。解：因為所以4．4．3內阻、電感、電容并聯電路圖4.32RL串聯大道與C并聯的電路RL大道中的電壓為該大道相角電容大道中的電壓為總電壓相量等于兩條大道中電流的相量和圖4.33電路相量圖其相量圖如圖4.33所示。4．4．3內阻、電感、電容并聯電路例4.14一只日光燈和一只白熾燈并連接在f=50Hz、電壓U=220V的電源上，如圖4.34所示，日光燈的額定電流UN=220V，取用功率P1=40W，其功率質數cos1=0.5；白熾燈的額定電流UN=220V，取用功率P2=60W。求電壓I1、I2和總電壓I大小是多少？圖4.34例4.13圖圖4.35例4.13相量圖解：日光燈大道的電壓4．4．3內阻、電感、電容并聯電路因為，所以，設電流相量為參考相量，令，則電壓I1的相量白熾燈大道的電壓電壓I2的相量在并聯電路中有=[（0.1815-j0.314）+0.272]A=(0.4535-j0.314)A=0.552A因而有各電壓與電流的相量圖如圖4.35所示。
4．5諧振電路案例4.4在無線電技術中常應用串聯諧振的選頻特點來選擇訊號。收音機通過接收天線，接收到各類頻度的電磁波，每一種頻度的電磁波都要在天線回路中形成相應的微弱的感應電壓。為了達到選擇訊號的目的，一般在收音機里采用如圖)所示的諧振電路。(a)接收器的調諧電路(b)等效電路4.5.1串聯諧振1．諧振條件圖4.37RLC串聯電路如圖4.37所示的RLC串聯電路，其總阻抗為當ω為某一值，恰管用感抗XL和容抗XC相等時，則X=0，此時電路中的電壓和電流同相位，電路的阻抗最小，且等于內阻（Z=R）。電路的這些狀態稱為諧振。因為是在RLC串聯電路中發生的諧振，故又稱為串聯諧振。4.5.1串聯諧振對于RLC串聯電路，諧振時應滿足以下條件或ω為諧振角頻度，用ω0表示，則電路發生諧振的頻度稱為諧振頻度2．諧振電路剖析電路發生諧振時，X=0，為此，電路的阻抗最小，因此在電源電流不變的情況下，電路中的電壓將在諧振時達到最大，其數值為發生諧振時，電路中的感抗和容抗相等，而檢波為零。電源電流，如圖4.38相量圖所示。圖4.38RLC串聯諧振相量圖*第4章余弦交流電路4．1交流電路中的基本化學量4．6余弦交流電路中的功率4．2余弦量的相量表示4．3電路基本定理的相量方式4．4內阻、電感、電容電路4．5諧振電路4．1交流電路中的基本化學量案例4.1我們最熟悉和最常用的家用家電采用是都是交流電，如電視、電腦、照明燈、冰箱、空調等家用家電。
雖然是像收音機、復讀機等采用直流電源的家用家電也是通過穩壓電源將交流電轉變為直流電后使用。這種家電設備的電路模型在交流電路中的規律與直流電路中的規律是不一樣的，因而剖析交流電路的特點及相應電路模型的交流響應是我們的重要任務。第4章余弦交流電路4．1．1交流電路概述交流電與直流電的區別在于：直流電的方向、大小不隨時間變化；而交流電的方向、大小都隨時間作周期性的變化，但是在一周期內的平均值為零。圖4.1所示為直流電和交流電的電波波形。余弦電流和電壓等化學量，常合稱為余弦量。頻度、幅值和初相位就稱為確定余弦量的三要素。4．1．1交流電路概述圖4.1直流電和交流電的電波波形圖4．1．2余弦交流電的基本特點和三要素以電壓為例介紹余弦量的基本特點。根據余弦量的概念，設某大道中余弦電壓i在選取參考方向下的瞬時值表達式為1．瞬時值、最大值和有效值把任意時刻余弦交流電的數值稱為瞬時值，用大寫字母表示，如i、u及e表示電壓、電壓及電動勢的瞬時值。瞬時值有正、有負，也可能為零。最大的瞬時值稱為最大值（也叫幅值、峰值）。用帶下標的大寫字母表示。如Im、Um及Em分別表示電壓、電壓及電動勢的最大值。
余弦量的有效植：例4.1已知某交流電流為V，這個交流電流的最大值和有效值分別為多少？解：最大值有效值4．1．2余弦交流電的基本特點和三要素2．頻度與周期余弦量變化一次所需的時間（秒）稱為周期T，如圖4.2所示。每秒內變化的次數稱為頻度f，它的單位是赫茲（Hz）。圖4.2余弦電壓波形圖頻度是周期的倒數，即在我國和大多數國家都采用50Hz作為電力標準頻度，習慣上稱為工頻。角頻度是指交流電在一秒鐘內變化的電角度。若交流電一秒鐘內變化了f次，則可得角頻度與頻度的關系式為4．1．2余弦交流電的基本特點和三要素解：例4.3已知某余弦交流電流為，求該電流的最大值、頻率、角頻度和周期各為多少？3．初相稱為余弦量的相位角或相位，它反映出余弦量變化的進程。t=0時的相位角稱為初相位角或初相位。規定初相的絕對值不能超過π。如圖4.3所示，圖中u和i的波形可用下式表示4．1．2余弦交流電的基本特點和三要素圖4.3u和i的相位不相等兩個同頻度余弦量的相位角之差或初相位角之差，稱為相位差，用表示。圖4.3中電壓u和電壓i的相位差為＞，則u較i先抵達正的幅值。
在相位上u比i超前角，或則說i比u滯后角。初相相等的兩個余弦量，它們的相位差為零電感器串聯和并聯公式，這樣的兩個余弦量稱作同相。同相的兩個余弦量同時抵達零位，同時抵達最大值，步調一致。如圖4.4中的i1和i2。相位差為的兩個余弦量稱作反相。4．1．2余弦交流電的基本特點和三要素圖4.4余弦量的同相與反相例4.4已知某余弦電流在時為110V，初相角為，求其有效值。解：此余弦電流表達式為則4．2余弦量的相量表示4．2．1復數1．復數的實部、虛部和模叫虛單位，物理上用i來代表它，由于在鉗工中i代表電壓，所以改用j代表虛單位，即圖4.5有向線段的復數表示如圖4.5所示，有向線段A可用下邊的復數表示為A=a+jb由圖4.5可見，表示復數的大小，稱為復數的模。有向線段與實軸正方向間的傾角，稱為復數的幅角，用表示，規定幅角的絕對值大于。2．復數的抒發形式復數的直角座標式：4．2．1復數復數的指數方式：復數的極座標方式：實部相等、虛部大小相等而異號的兩個復數稱作共軛復數。用A*表示A的共軛復數，則有A=a+jbA*=a-jb例4.5寫出下述復數的直角座標方式。
（1）（2）（3）解：（1）（2）（3）若兩個復數相加減，可用直角座標式進行。如：A1=a1+jb1A2=a2+jb2則A1±A2=（a1+jb1）±a2+jb2）=（a1±a2）+j（b1±b2）即幾個復數相乘或相乘就是把它們的實部和虛部分別相加減。4.2.2復數的運算1．復數的加減復數與復平面上的有向線段（矢量）對應，復數的加減與表示復數的有向線段（矢量）的加減相對應，但是復平面上矢量的加減可用對應的復數相加減來估算。圖4.6矢量和與矢量差4.2.2復數的運算2．復數的乘除兩個復數進行乘除運算時，可將其化為指數式或極座標式來進行。A1=a1+jb1=A2=a2+jb2=如：如將復數除以另一個復數，則得A2=r=同理，如以除復數，則得A3=r雖然原矢量順秒針旋轉了角。就是矢量A3比矢量A1滯后了角。當=±時，則乘上-j后，即順秒針（向后）旋轉了。因而任意一個相量乘上+j后，即逆秒針（往前）旋轉了；所以j稱為旋轉的旋轉因子。4.2.3向量1．向量法的定義在余弦交流電路中，用復數表示余弦量，并用于余弦交流電路剖析估算的方式稱為相量法。
設有一余弦電流圖4.7用余弦波形和旋轉有向線段來表示余弦量4.2.3向量2．余弦量的向量表達式為了與通常的復數相區別，我們把表示余弦量的復數稱為相量，并在小寫字母上打“●”表示。于是表示余弦電流的相量為或：電流的幅值相量：電流的有效值相量根據余弦量的大小和相位關系用初始位置的有向線段畫出的若干個相量的圖形，稱為相量圖。圖4.8電流和電壓的相量圖表示余弦量的相量有兩種方式：相量圖和復數式（相量式）。4.2.3向量例4.7試寫出表示，和的相量，并畫出相量圖。解：分別用有效值相量、和表示余弦電流、和，則相量圖如圖4.9所示。圖4.9例4.7圖4．3電路基本定理的相量方式1．基爾霍夫電壓定理的相量方式余弦交流電路中，聯接在電路任一節點的各大道電壓的相量的代數和為零，即通常對參考方向背離節點的電壓的相量取正號，反之取減號。由相量方式的KCL可知，余弦交流電路中聯接在一個節點的各大道電壓的相量組成一個閉合六邊形。如圖4.10，節點O的KCL相量抒發式為圖4.10KCL的相量方式4．3電路基本定理的相量方式2．基爾霍夫電流定理的相量方式在余弦交流電路中，任一回路的各大道電流的相量的代數和為零，即余弦交流電路中，一個回路的各大道電流的相量組成一個閉合六邊形。
比如圖4.11，回路的電流多項式為：其KVL相量抒發式為：圖4.11KVL的相量方式4．4內阻、電感、電容電路案例4.2各類加工機械，如機床、銑床、刨床、磨床及小型加工機械（龍門機床、龍門銑床）等，應用最多的是馬達類負載。交流異步電動機的等效電路如圖4.12所示。電路中的f1側為轉子側，f2側為定子側，r1、r2和X1、X2分別為轉子側和定子側的等效內阻和電感。從電路中可見，交流異步電動機屬于電感性負載，但是不是簡單的內阻與電感相串聯的負載。因而剖析電動機時就要根據它的等效電路模型，借助交流電路估算的方式進行剖析估算。圖4.12交流異步電動機的等效電路模型4．4內阻、電感、電容電路案例4.3在照明電路中使用的白熾燈為純內阻性負載，日光燈屬于感性負載，家用吊扇為三相交流電動機，它的等效電路如圖4.13所示。圖中U1、U2為工作定子，V1、V2為起動定子，它們實際上是純內阻與純電感相串聯。由圖中可知，吊扇是一種內阻、電感和電容混聯的負載。圖4.13家用吊扇電動機等效電路模型4．4．1單一參數電路1．純內阻電路（1）器件上電流和電壓關系純內阻電路是最簡單的交流電路，如圖4.14所示。
在日常生活和工作中接觸到的白熾燈、電爐、電烙鐵等，都屬于內阻性負載，它們與交流電源聯接組成純內阻電路。4．4．1單一參數電路圖4.15內阻電流電壓的波形圖圖4.14純內阻器件交流電路設內阻兩端電流為則比較電流和電壓的關系式可見：內阻兩端電流u和電壓i的頻度相同，電流與電壓的有效值（或最大值）的關系符合歐姆定理，但是電流與電壓同相（相位差）。它們在數值上滿足關系式4．4．1單一參數電路或用相量表示電流與電壓的關系為內阻器件的電壓、電壓相量圖如圖4.16所示。圖4.16內阻電路電流與電壓的相量圖（2）內阻器件的功率1）瞬時功率內阻中某一時刻消耗的電功率稱作瞬時功率，它等于電流u與電壓i瞬時值的乘積，并用大寫字母p表示。4．4．1單一參數電路在任何瞬時，恒有p≥0，說明內阻只要有電壓就消耗能量，將電能轉為熱能，它是一種耗能器件。圖4.17內阻器件瞬時功率的波形圖2）平均功率瞬工程中常用瞬時功率在一個周期內的平均值表示功率，稱為平均功率，用小寫字母P表示。由圖所見：抒發形式與直流電路中電阻功率的方式相同，但式中的U、I不是直流電流、電流，而是余弦交流電的有效值。
4．4．1單一參數電路例4.8圖4.14電路中，，，求電壓i的瞬時值表達式，相量抒發式和平均功率P。解：由得2．純電感電路（1）器件的電流和電壓關系純電感線圈電路如圖4.18所示。設電路余弦電壓為在電流、電流關聯參考方向下，電感器件兩端電流為4．4．1單一參數電路圖4.18純電感器件交流電路比較電流和電壓的關系式可見：電感兩端電流u和電壓i也是同頻度的余弦量，電流的相位超前電壓90°，電流與電壓在數值上滿足關系式或表示電感電流、電流的波形如圖4.19所示。圖4.19電感器件電流與電壓的波形圖4．4．1單一參數電路（2）感抗的概念電感具有對交流電壓起制約作用的化學性質，所以稱為感抗，用XL表示，即感抗表示線圈對交流電壓制約作用的大小。當f=0時XL=0，表明線圈對直流電壓相當于漏電。這就是線圈本身所固有的“直流暢通，高頻遇阻”作用。用相量表示電流與電壓的關系為電感器件的電流、電流相量圖如圖4.20所示。圖4.20電感電路相量圖（3）電感器件的功率1）瞬時功率2）平均功率純電感條件下電路中僅有能量的交換而沒有能量的耗損。
4．4．1單一參數電路圖4.21純電感電路瞬時功率的波形圖工程中為了表示能量交換的規模大小，將電感瞬時功率的最大值定義為電感的無功功率，簡稱感性無功功率，用QL表示。即QL的基本單位是乏（var）。例4.9把一個電感量為0.35H的線圈，接到的電源上，求線圈中電流瞬時值表達式。解：由線圈兩端電流的解析式可以得到4．4．1單一參數電路因而通過線圈的電壓瞬時值表達式為3．純電容電路（1）器件的電流和電壓關系圖4.22電容電路假如在電容C兩端加一余弦電流則比較電流和電壓的關系式可見：電容兩端電流u和電壓i也是同頻度的余弦量，電壓的相位超前電流90°，電流與電壓在數值上滿足關系式4．4．1單一參數電路或圖4.23電容電流電壓波形圖（2）容抗的概念電容具有對交流電壓起制約作用的化學性質，所以稱為容抗，用XC表示，即電容器件對高頻電壓所呈現的容抗很小，相當于漏電；而當頻度f很低或f=0（直流）時，電容就相當于開路。這就是電容的“隔直通交”作用。用相量表示電流與電壓的關系為4．4．1單一參數電路電容器件的電流、電流相量圖如圖4.24所示。
圖4.24電容電路相量圖（3）電容器件的功率1）瞬時功率其變化波形如圖4.25所示。圖4.25電容瞬時功率的波形圖2）平均功率由圖4.25可見，純電容器件的平均功率為了表示能量交換的規模大小，將電容瞬時功率的最大值定義為電容的無功功率，或稱容性無功功率，用QC表示，即（var）4．4．1單一參數電路例4.10把電容量為40μF的電容器接到交流電源上，通過電容器的電壓為，試求電容器兩端的電流瞬時值表達式。解：由通過電容器的電壓解析式可以得到電容器兩端電流瞬時表達式為則電容器的容抗為4.4.2內阻、電感、電容串聯電路1．RLC串聯電路（1）RLC串聯電路的電流電壓關系圖4.26RLC串聯電路(a)(b)*
