第七章5探究彈性勢能的表達式
卷緊的發條、拉長或壓縮的彈簧、拉開的弓、正在投球的籃球拍、撐桿短跑運動員手中彎曲的桿，等等，這種物休都發生了彈性形變，每位物體的各部份之間都有彈力的互相作用。
發生彈性形變的物體的各部份之間，因為有彈力的互相作用，也具有勢能，這些勢能稱作彈性勢能（）。
圖7.5-1發生彈性形變的物體具有彈性勢能
在討論重力勢能的時侯，我們先剖析重力做功的情況，由此入手得出了重力勢能的表達式。在探究彈性勢能的表達式時，可以參考對重力勢能的討論，先剖析彈力做功的情況。
當彈簧的寬度為原長時，它的彈性勢能為0，彈簧被拉長或被壓縮后，就具有了彈性勢能。我們以彈簧被拉長的情況為例，探究彈性勢能的表達式。
在探究的過程中，要依次解決下邊幾個問題。
（1）彈性勢能的表達式可能與哪幾個數學量有關？
重力勢能與物體被抬起的高度h有關，所以彈性勢能很可能與彈簧被拉伸的厚度l有關。有哪些樣的關系？重力勢能Ep與高度h成正比列，對于彈性勢能，雖然也會是“拉伸的厚度越大，彈簧的彈性勢能也越大”，但會是正比列關系嗎？不一定，由于對于同一個彈簧，拉得越長，所用的力就越大，而要抬起同一個重物，所用的力并不隨高度變化。
甲田徑時啞鈴所受的重力與它的位置高低無關
乙彈簧的彈力與它伸長的多少有關
圖7.5-2彈力與重力的變化規律不一樣，彈性勢能與重力勢能的表達式很可能也不一樣。
雖然拉伸的厚度l相同彈性勢能的表達式，不同彈簧的彈性勢能也不會一樣，由于不同彈簧的“軟硬”并不一樣，即勁度系數k不同。這點也應在彈性勢能的表達式中反映下來，但是應當是，在拉伸厚度l相同時，k越大，彈性勢能越大。
這兩個推測并不能確切地告訴我們彈性勢能的表達式彈性勢能的表達式，但若果探究的結果與那些推測相矛盾，意味著很可能出現了錯誤，須要謹慎地“評估”探究的各個環節。
（2）彈簧的彈性勢能與拉力做的功有哪些關系？
我們一貫的思想是：研究做功對某種能量的影響，進而了解這些能量。在這個問題中則是考慮，如何由拉力做的功得出彈性勢能的表達式。
（3）如何估算拉力做的功？
在地面附近，重力的大小、方向都相同，所以不管物體聯通的距離大小，重力做的功都可以簡單地用重力與物體在豎直方向聯通距離的乘積來表示。
對于彈力，情況要復雜些。彈簧拉伸的距離l越長，拉力F越大，即
F＝kl
這時不妨借助先前估算勻變速直線運動物體位移的經驗。那時侯想用速率與時間相加得到位移，但速率在變化，于是我們把整個運動過程界定成好多小段，每位小段中物體速率的變化都很小，可以近似地用小段中任意一個時刻的速率與這個小段時間間隔相減得到這小段位移的近似值，之后把各小段位移的近似值相減。當各小段分得十分特別小時，得到的就是勻變速直線運動的位移表達式了。
請備考《物理選修l》第二章第3節。
對于彈力做功，可以用類似的方式做如下處理。
如圖7.5-3，彈簧從A拉伸到B的過程被分成好多小段，它們的寬度是
Δl1，Δl2，Δl3，…
在各個小段上，拉力可以近似覺得是不變的，它們分別是
F1，F2，F3，…
所以，在各個小段上，拉力做的功分別是
F1Δl1，F2Δl2，F3Δl3，…
拉力在整個過程中做的功可以用它在各小段做功之和來代表
F1Δl1＋F2Δl2＋F3Δl3＋…
圖7.5-3把拉伸彈簧的過程分為好多小段，拉力在每小段可以覺得是恒力，它在各段做功之和可以代表拉力在整個過程做的功（4）如何估算這個求和式？
在處理勻變速直線運動的位移時，我們當初借助v-t圖像下矩形的面積來代表位移，這兒是否可以用F-l圖像下一個矩形的面積來代表功？
……
順著這樣的思路，你可以通過自己的探究得到彈性勢能的表達式。
學習這節時，要注重感受探究的過程和所用的方式，備考用到的知識，不要求把握探究的推論，更不要求用彈性勢能的表達式解題。
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