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（知識模塊Ⅰ：平行線的概念及性質(zhì)

1．定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線稱作平行線，假如直線a與b平行，記作a∥b．

注意：

(1)平行線的定義有三個特點(diǎn)：一是在同一個平面內(nèi)；二是兩條直線；三是不相交，二者缺一不可；

(2)有時說兩條射線平行或線段平行，實(shí)際是指它們所在的直線平行，兩條線段不相交并不意味著它們就平行．

(3)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種．非常地，重合的直線視為一條直線，不屬于上述任何一種位置關(guān)系．

2.平行線的畫法：

用尺子和三角板作平行線的步驟：

①落：用三角板的一條底邊與已知直線重合.

②靠：用尺子鄰近三角板一條直角邊.

③推：順著尺子平移三角板,使與已知直線重合的底邊通過已知點(diǎn).

④畫：順著這條底邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.

3、平行線的基本性質(zhì)

（1）經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與已知直線平行；

（2）平行線之間的距離處處相等；

（3）平行于同一條直線的兩直線平行（平行的傳遞性）．

（4）同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行．

（5）兩條平行線中，任意一條直線上的所有點(diǎn)到另一條直線的距離是一個定值，這個定值稱作這兩條平行線間的距離如圖所示直線ab與cd的位置關(guān)系為，平行線間的距離處處相等．

【例1】下列推論中，正確的個數(shù)是（）

①同一平面內(nèi)不相交的兩條直線必平行②同一平面內(nèi)不平行的兩條直線必相交

③同一平面內(nèi)不相交的兩條線段必平行④同一平面內(nèi)不平行的兩條線段必相交

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【例2】判斷題：

（1）在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段是平行線（）

（2）兩條直線不相交則必平行（）

（3）與已知直線平行的直線有且只有一條（）

（4）與已知直線垂直的直線有且只有一條（）

【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）×．

【例3】如圖，經(jīng)過點(diǎn)P畫直線PE∥OA，交OB于點(diǎn)E；畫直線PF∥OB，交OA于點(diǎn)F．

【答案】（1）首先，將三角尺的直角邊與直線OA重合，將其中一條

直角邊靠近尺子，并固定尺子；

（2）將三角尺與直線AB重合的直角邊緣尺子平行聯(lián)通至過點(diǎn)P處；

（3）順著三角尺的直角邊畫出過點(diǎn)P的直線PE，

則直線PE即為所求的平行線．

同理，畫出直線PF即可．

（知識模塊Ⅱ：平行線的三種判別方式

判斷方式1：同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：

∵∠3＝∠2

∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）

判斷方式2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：

∵∠1＝∠2

∴AB∥CD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

判斷方式3：同旁外角互補(bǔ)，兩直線平行.如上圖，幾何語言：

∵∠4＋∠2＝180°

∴AB∥CD（同旁外角互補(bǔ)，兩直線平行）

注意：平行線的判斷是由角相等或互補(bǔ)，得出平行，即由數(shù)推形.

【例4】如圖所示，直線c與直線a、b相交，且∠2=∠3，則哪兩條直線平行？為何？

【答案】a//b，同位角相等，兩直線平行

【例5】如圖所示，直線AB與CE交于點(diǎn)D，且∠1+∠E=180°.這么EF與AB平行嗎？為何？

【答案】法1：AB//EF，內(nèi)錯角相等，兩直線平行

法2：AB//EF，同旁外角互補(bǔ)，兩直線平行

【例6】如圖所示，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是AD、BC上的點(diǎn)，AB⊥BC，∠1＋∠2=90°，∠2=∠3.這么BE//DF嗎？為何？

【答案】BE//DF同位角相等，兩直線平行

【例7】如圖所示，直線AB、CD分別與直線EF相交于點(diǎn)H、M,∠AHF+∠FMD=180°，GH平分∠AHM,MN平分∠DMH,這么GH//MN嗎？為何？

【答案】GH//MN內(nèi)錯角相等，兩直線平行

【例8】如圖如圖所示直線ab與cd的位置關(guān)系為，直線AB、CD被直線EF所截，交點(diǎn)分別為點(diǎn)O、P,OM平分∠EOB,PN平分∠OPD.假如∠1=∠2，這么（1）OM//PN嗎？為何？（2）AB//CD嗎？為何？

解：（1）由于∠1=∠2（）

所以//（）

（2）由于OM平分∠EOB,PN平分∠OPD（）

所以∠=

,∠=

（）

又由于∠1=∠2（已知）

所以∠=∠（）

所以//（）

【答案】（1）已知，OM,PN,同位角相等，兩直線平行

（2）已知，∠1，∠2，角平分線的意義，

，

，等量代換，AB,CD,同位角相等，兩直線平行.

【例9】如圖所示，∠AOB的邊OB與∠CDF的邊DF交于點(diǎn)E，∠AOE＋∠BEF=180°，∠AOE＋∠CDE=180°，這么可以判定哪幾組直線相互平行?為何？

【答案】①CD//OB同位角相等，兩直線平行

②OA//DF同旁外角互補(bǔ)，兩直線平行

【例10】在同一平面內(nèi)有互不重合的五條直線a1、a2、a3、a4、a5，若a1∥a2，a2⊥a3，

a3∥a4，a4⊥a5，這么a1與a5的位置關(guān)系是哪些．

【答案】平行

【例11】如圖：已知∠A=∠D,∠B=∠FCB,能夠確定ED與CF的位置關(guān)系？請說明理由？

【答案】

提示：平行線的傳遞性

【例12】如圖，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠BEF=∠ADG，試說明DG∥BA．

【答案】因?yàn)锳D⊥BC，EF⊥BC（已知）

所以EF∥AD（垂直于同一條直線的兩條直線相互平行）

所以∠BEF=∠BAD（等量代換）

又由于∠BEF=∠ADG（已知）

所以∠BAD=∠ADG（等量代換）

所以DG∥AB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

【習(xí)題1】如圖所示，在下述條件中，能判定AB//CD的是（）

A．

【答案】D

【習(xí)題2】如圖所示，假如

，這么（）

A．

【答案】D

【習(xí)題3】如圖所示，能判定AB//CE的條件是（）

A．

【答案】A

【習(xí)題4】

如圖：

（1）假如∠1=∠B，這么//.根據(jù)是.

（2）假如∠4+∠D=180°，這么//.根據(jù)是.

（3）假如∠3=∠D，這么//.根據(jù)是.

（4）假如∠1+∠=180°，這么AB//CD.根據(jù)是.

（5）要使BE//DF,必須∠1=.根據(jù)是.

【答案】（1）AB,CD,同位角相等，兩直線平行

（2）BE,DF,同旁外角互補(bǔ)，兩直線平行

（3）BE,DF，內(nèi)錯角相等，兩直線平行

（4）2，同旁外角互補(bǔ)，兩直線平行

（5）∠D，同位角相等，兩直線平行

【習(xí)題5】在鋪裝鐵軌時，兩條鐵軌必須是相互平行的.如圖，已知∠2是直角，這么通過測度圖中已標(biāo)出的那個角，就可以判斷兩條鐵軌是否平行？為何？

【答案】①通過測度∠3的度數(shù)，若滿足∠2＋∠3=180°，

依據(jù)同旁外角互補(bǔ)，兩直線平行，就可以得到兩條鐵軌平行的推論.

②通過測度∠4的度數(shù)，若滿足∠2=∠4，

按照同位角相等，兩直線平行，就可以得到兩條鐵軌平行的推論.

③通過測度∠5的度數(shù)，若滿足∠2=∠5，

按照內(nèi)錯角相等，兩直線平行，就可以得到兩條鐵軌平行的推論.

【習(xí)題6】如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，P是直線AB、CD外的一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P畫出直線EF，與直線CD相交于點(diǎn)E，與直線AB平行．

【答案】（1）首先，將三角尺的直角邊與直線AB重合，

將其中一條直角邊靠近尺子，并固定尺子；

（2）將三角尺與直線AB重合的直角邊緣尺子平行聯(lián)通至過點(diǎn)P處；

（3）順著三角尺的直角邊畫出過點(diǎn)P的直線EF，則直線EF即為所求的平行線．

【習(xí)題7】

如圖，點(diǎn)B在AC上，BD⊥BE,∠1+∠C=90°，問射線CF與BD平行嗎？試用兩種方式說明理由.

【答案】法1：通過∠2=∠C，同位角相等，兩直線平行

法2：通過∠DBC＋∠C=180°，同旁外角互補(bǔ)，兩直線平行

【習(xí)題8】

如圖，已知直線

被直線

所截，

依據(jù)條件，你能找出哪幾組直線是相互平行的？請寫出，并說明理由.

【答案】

【習(xí)題9】如圖所示，已知∠1=∠2，AC平分∠DAB,試說明DC//AB的理由.

【答案】內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

【習(xí)題10】如圖，已知∠1=∠2=∠3，這么可判斷什么直線平行，并說明理由.

【答案】

GD//BC,BD//EF

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