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（知識模塊Ⅰ：平行線的概念及性質
1．定義：在同一平面內，不相交的兩條直線稱作平行線，假如直線a與b平行，記作a∥b．
注意：
(1)平行線的定義有三個特點：一是在同一個平面內；二是兩條直線；三是不相交，二者缺一不可；
(2)有時說兩條射線平行或線段平行，實際是指它們所在的直線平行，兩條線段不相交并不意味著它們就平行．
(3)在同一平面內，兩條直線的位置關系只有相交和平行兩種．非常地，重合的直線視為一條直線，不屬于上述任何一種位置關系．
2.平行線的畫法：
用尺子和三角板作平行線的步驟：
①落：用三角板的一條底邊與已知直線重合.
②靠：用尺子鄰近三角板一條直角邊.
③推：順著尺子平移三角板,使與已知直線重合的底邊通過已知點.
④畫：順著這條底邊畫一條直線,所畫直線與已知直線平行.
3、平行線的基本性質
（1）經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；
（2）平行線之間的距離處處相等；
（3）平行于同一條直線的兩直線平行（平行的傳遞性）．
（4）同一平面內，垂直于同一條直線的兩直線平行．
（5）兩條平行線中，任意一條直線上的所有點到另一條直線的距離是一個定值，這個定值稱作這兩條平行線間的距離如圖所示直線ab與cd的位置關系為，平行線間的距離處處相等．
【例1】下列推論中，正確的個數是（）
①同一平面內不相交的兩條直線必平行②同一平面內不平行的兩條直線必相交
③同一平面內不相交的兩條線段必平行④同一平面內不平行的兩條線段必相交
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【例2】判斷題：
（1）在同一平面內，不相交的兩條線段是平行線（）
（2）兩條直線不相交則必平行（）
（3）與已知直線平行的直線有且只有一條（）
（4）與已知直線垂直的直線有且只有一條（）
【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）×．
【例3】如圖，經過點P畫直線PE∥OA，交OB于點E；畫直線PF∥OB，交OA于點F．
【答案】（1）首先，將三角尺的直角邊與直線OA重合，將其中一條
直角邊靠近尺子，并固定尺子；
（2）將三角尺與直線AB重合的直角邊緣尺子平行聯通至過點P處；
（3）順著三角尺的直角邊畫出過點P的直線PE，
則直線PE即為所求的平行線．
同理，畫出直線PF即可．
（知識模塊Ⅱ：平行線的三種判別方式
判斷方式1：同位角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：
∵∠3＝∠2
∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）
判斷方式2：內錯角相等，兩直線平行.如上圖，幾何語言：
∵∠1＝∠2
∴AB∥CD（內錯角相等，兩直線平行）
判斷方式3：同旁外角互補，兩直線平行.如上圖，幾何語言：
∵∠4＋∠2＝180°
∴AB∥CD（同旁外角互補，兩直線平行）
注意：平行線的判斷是由角相等或互補，得出平行，即由數推形.
【例4】如圖所示，直線c與直線a、b相交，且∠2=∠3，則哪兩條直線平行？為何？
【答案】a//b，同位角相等，兩直線平行
【例5】如圖所示，直線AB與CE交于點D，且∠1+∠E=180°.這么EF與AB平行嗎？為何？
【答案】法1：AB//EF，內錯角相等，兩直線平行
法2：AB//EF，同旁外角互補，兩直線平行
【例6】如圖所示，在四邊形ABCD中，點E、F分別是AD、BC上的點，AB⊥BC，∠1＋∠2=90°，∠2=∠3.這么BE//DF嗎？為何？
【答案】BE//DF同位角相等，兩直線平行
【例7】如圖所示，直線AB、CD分別與直線EF相交于點H、M,∠AHF+∠FMD=180°，GH平分∠AHM,MN平分∠DMH,這么GH//MN嗎？為何？
【答案】GH//MN內錯角相等，兩直線平行
【例8】如圖如圖所示直線ab與cd的位置關系為，直線AB、CD被直線EF所截，交點分別為點O、P,OM平分∠EOB,PN平分∠OPD.假如∠1=∠2，這么（1）OM//PN嗎？為何？（2）AB//CD嗎？為何？
解：（1）由于∠1=∠2（）
所以//（）
（2）由于OM平分∠EOB,PN平分∠OPD（）
所以∠=
,∠=
（）
又由于∠1=∠2（已知）
所以∠=∠（）
所以//（）
【答案】（1）已知，OM,PN,同位角相等，兩直線平行
（2）已知，∠1，∠2，角平分線的意義，
，
，等量代換，AB,CD,同位角相等，兩直線平行.
【例9】如圖所示，∠AOB的邊OB與∠CDF的邊DF交于點E，∠AOE＋∠BEF=180°，∠AOE＋∠CDE=180°，這么可以判定哪幾組直線相互平行?為何？
【答案】①CD//OB同位角相等，兩直線平行
②OA//DF同旁外角互補，兩直線平行
【例10】在同一平面內有互不重合的五條直線a1、a2、a3、a4、a5，若a1∥a2，a2⊥a3，
a3∥a4，a4⊥a5，這么a1與a5的位置關系是哪些．
【答案】平行
【例11】如圖：已知∠A=∠D,∠B=∠FCB,能夠確定ED與CF的位置關系？請說明理由？
【答案】
提示：平行線的傳遞性
【例12】如圖，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠BEF=∠ADG，試說明DG∥BA．
【答案】因為AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
所以EF∥AD（垂直于同一條直線的兩條直線相互平行）
所以∠BEF=∠BAD（等量代換）
又由于∠BEF=∠ADG（已知）
所以∠BAD=∠ADG（等量代換）
所以DG∥AB（內錯角相等，兩直線平行）
【習題1】如圖所示，在下述條件中，能判定AB//CD的是（）
A．
B.
C.
D.
【答案】D
【習題2】如圖所示，假如
，這么（）
A．
B.
C.
D.
【答案】D
【習題3】如圖所示，能判定AB//CE的條件是（）
A．
B.
C.
D.
【答案】A
【習題4】
如圖：
（1）假如∠1=∠B，這么//.根據是.
（2）假如∠4+∠D=180°，這么//.根據是.
（3）假如∠3=∠D，這么//.根據是.
（4）假如∠1+∠=180°，這么AB//CD.根據是.
（5）要使BE//DF,必須∠1=.根據是.
【答案】（1）AB,CD,同位角相等，兩直線平行
（2）BE,DF,同旁外角互補，兩直線平行
（3）BE,DF，內錯角相等，兩直線平行
（4）2，同旁外角互補，兩直線平行
（5）∠D，同位角相等，兩直線平行
【習題5】在鋪裝鐵軌時，兩條鐵軌必須是相互平行的.如圖，已知∠2是直角，這么通過測度圖中已標出的那個角，就可以判斷兩條鐵軌是否平行？為何？
【答案】①通過測度∠3的度數，若滿足∠2＋∠3=180°，
依據同旁外角互補，兩直線平行，就可以得到兩條鐵軌平行的推論.
②通過測度∠4的度數，若滿足∠2=∠4，
按照同位角相等，兩直線平行，就可以得到兩條鐵軌平行的推論.
③通過測度∠5的度數，若滿足∠2=∠5，
按照內錯角相等，兩直線平行，就可以得到兩條鐵軌平行的推論.
【習題6】如圖，直線AB、CD相交于點O，P是直線AB、CD外的一點，經過點P畫出直線EF，與直線CD相交于點E，與直線AB平行．
【答案】（1）首先，將三角尺的直角邊與直線AB重合，
將其中一條直角邊靠近尺子，并固定尺子；
（2）將三角尺與直線AB重合的直角邊緣尺子平行聯通至過點P處；
（3）順著三角尺的直角邊畫出過點P的直線EF，則直線EF即為所求的平行線．
【習題7】
如圖，點B在AC上，BD⊥BE,∠1+∠C=90°，問射線CF與BD平行嗎？試用兩種方式說明理由.
【答案】法1：通過∠2=∠C，同位角相等，兩直線平行
法2：通過∠DBC＋∠C=180°，同旁外角互補，兩直線平行
【習題8】
如圖，已知直線
被直線
所截，
依據條件，你能找出哪幾組直線是相互平行的？請寫出，并說明理由.
【答案】
【習題9】如圖所示，已知∠1=∠2，AC平分∠DAB,試說明DC//AB的理由.
【答案】內錯角相等，兩直線平行.
【習題10】如圖，已知∠1=∠2=∠3，這么可判斷什么直線平行，并說明理由.
【答案】
GD//BC,BD//EF
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