做了各種準(zhǔn)備之后，我們終于可以說說哈密頓力學(xué)中最重要的一點(diǎn)了。
前面提到的拉格朗日 {L}(q_1, q_2, ..., dot{q}_1, dot{q}_2,..., t) 應(yīng)該包含了一個(gè)系統(tǒng)的所有動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)信息。 根據(jù)具體的起始條件，一些關(guān)于 q_i, dot{q}_i 的函數(shù)將具有固定值，例如 H = E。當(dāng)哈密頓量等于總能量時(shí)，哈密頓量守恒。 這些函數(shù)也稱為運(yùn)動(dòng)積分。 （的 ）。
這些功能特別重要，因?yàn)樗鼈冊醋詴r(shí)間和空間的一致性（）。
空間均勻性
當(dāng)運(yùn)動(dòng)不依賴于位置時(shí)，我們說空間是均勻的 ()，也就是說不存在 V(vec r)，但可以存在 V(vec{r_2} - vec{r_1}) 。 前者取決于具體的位置，所以對于不同的坐標(biāo)軸的定義，其值的大小是不同的，但后者取決于兩點(diǎn)的相對位置，所以并不取決于我們?nèi)绾味x坐標(biāo)軸。
如果我們將粒子從 vec{r} 移動(dòng)到 vec{r}'，則差異為 delta vec{r}
盡管位置發(fā)生了變化，但由于空間均勻性，我們預(yù)計(jì)其運(yùn)動(dòng)不會(huì)發(fā)生變化。 （你可以想象在一個(gè)點(diǎn)做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，然后移動(dòng)到另一個(gè)位置并再次做完全相同的實(shí)驗(yàn)。你得到的結(jié)果應(yīng)該是相同的）
也就是說，位置發(fā)生了變化，但速度和相應(yīng)的動(dòng)作量以及拉格朗日量應(yīng)該不會(huì)改變。
vec{r}' = vec{r} + delta vec{r} \ dot{vec{r}'} = dot{vec{r}}
{L}' = {L} + delta {L}
因此 delta {L} = 0 ，這會(huì)產(chǎn)生什么后果？
我們考慮一下粒子的情況{L} = {L}(x, y, z, dot{x}, dot{y}, dot{z}) = {L}(vec { r},dot{vec{r}})
位移后，{L} = {L}(vec{r} + delta vec{r},dot{vec{r}})
展開 {L}(vec{r} + delta vec{r},dot{vec{r}}) = {L}(vec{r},dot{vec{r } }) + vec{nabla}{L} cdot delta vec r
所以delta {L} = vec{nabla}{L} cdot delta vec r = 0
也就是說，對于任意維度，都有
frac{ {L}}{ q_i} = 0
當(dāng)引入歐拉-拉格朗日方程時(shí)，可得
fractxrzbvzd{dt} left( frac{ {L}}{ dot{q}_i} right) = frac{ {L}}{ q_i} = 0
之前我們提到過，上一項(xiàng)括號(hào)里的是正則動(dòng)量，也就是說
如果空間是均勻的，則 frac{dp_i}{dt} = 0 p_i = const。 常規(guī)動(dòng)量是守恒的。 在均勻空間中運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)不受任何力，其動(dòng)量為恒定值。 這也是牛頓第一定律的作用。
如果有很多顆粒怎么辦？
對于任意粒子 k，其位置為 vec{r}_k，速度為 dot{vec{r}}_k。
如果對于任何 δ vec r ，δ {L} = 0，則 sum_k vec{nabla}_k {L} = vec{0}
所以sum_k fractxrzbvzd{dt} left( frac{ {L}}{ dot{vec{r}}_k} right) = vec{0}
如果我們這里嚴(yán)謹(jǐn)一點(diǎn)的話，不應(yīng)該寫frac{ {L}}{ dot{vec{r}}_k}，但是可以理解為每個(gè)速度是微分的，結(jié)果是一個(gè)向量，沒關(guān)系。 上面的也可以寬松地表達(dá)為 vec{nabla}_k {L} equiv frac{ {L}}{ vec{r}_k}。
總而言之
sum_k frac{ {L}}{ dot{vec{r}}_k} =sum_k p_k = const。
如果空間是均勻的，則總規(guī)范動(dòng)量守恒，總規(guī)范動(dòng)量是所有粒子的規(guī)范動(dòng)量之和。
值得注意的是，在多個(gè)粒子的情況下，單個(gè)粒子可能會(huì)受到力，但合力為0，并且在均勻空間的情況下，勢能只能與粒子之間的相對位置有關(guān)，并且不能與單個(gè)粒子相關(guān)。 勢能與粒子的絕對位置有關(guān)，因此勢能來自粒子之間的相互作用。
相反，如果空間不均勻，比如地球表面的引力勢能V(y)=mg y，那么動(dòng)量就不會(huì)守恒，因?yàn)槿魏瘟Ｗ佣紤?yīng)該與地球發(fā)生相互作用，但是利用上面的勢能將直接忽略與地球的相互作用并簡單地使用來自表面的位置。 對于上述勢能，只有p_y不守恒，而p_x和p_z仍然守恒。
時(shí)間均勻性
如果 {L} 不明確地依賴于時(shí)間，那么運(yùn)動(dòng)何時(shí)發(fā)生并不重要。
這部分的推導(dǎo)已經(jīng)在哈密頓量的介紹中介紹過了。
這里我們直接寫出我們想要看的公式。
frac{dH}{dt} = - frac{ {L}}{ t}
當(dāng) {L} = {L}(q_i, dot{q}_i) 時(shí)
壓裂{dH}{dt} = 0
哈密??頓量是守恒的，此時(shí)哈密頓量基本上就是總能量，所以
如果時(shí)間均勻，則總能量守恒。
空間各向同性
所謂各向同性空間，是指從各個(gè)方向觀察能量守恒定律，空間都是相同的。 可以理解，物理性質(zhì)不會(huì)隨著空間的旋轉(zhuǎn)而改變。 （也就是說，你做了一個(gè)方向的實(shí)驗(yàn)，現(xiàn)在你把實(shí)驗(yàn)設(shè)備轉(zhuǎn)向另一個(gè)方向，做精確的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果應(yīng)該是一樣的）
考慮一個(gè)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)的系統(tǒng)，角度為 delta vec{phi} = delta phi hat{z}
那么對于第 k 個(gè)粒子，改變后的位置為delta vec{r_k} = r_k sin() delta phi hat{phi} = r_k sin() delta phi (hat { z} times hat{r}) = delta vec{phi} times vec{r_k}
速度的變化為delta vec{v_k} = fractxrzbvzd{dt} left( delta vec{r_k} right) = delta vec{phi} times dot{vec {r_k}}，這里不需要乘法規(guī)則，因?yàn)槲覀兊脑O(shè)置是繞z旋轉(zhuǎn)，所以角度θ不隨時(shí)間變化。
我們的拉格朗日量也可以表示為 {L} + delta {L}。 拉格朗日變化的部分是所有粒子變化的總和。
delta {L} = sum_k left( frac{ {L}}{ vec{r_k}} cdot delta vec{r_k}+ frac{ {L}}{ dot{vec{r_k}}} cdot delta dot{vec{r_k}} right)
這里我們的拉格朗日量不隨時(shí)間變化。
vec F_k = dot{vec p}_k = frac{ {L}}{ vec{r_k}} , vec p_k = frac{ {L}}{ dot{ vec{r_k}}}
delta {L} = sum_k left( dot{vec p}_k cdot delta vec{r_k}+ vec p_k cdot delta dot{vec{r_k}} right) = sum_k left( dot{vec p}_k cdot (delta vec{phi} times vec r_k)+ vec p_k cdot (delta vec{phi} times vec v_k) 右)
利用點(diǎn)向量的性質(zhì)vec a cdot (vec b times vec c) = vec b cdot (vec c times vec a)
delta {L} = delta vec{phi} cdot sum_k left( vec r_k times dot{vec p}_k + vec v_k times vec p_k right) = delta vec{phi} cdot sum_k fractxrzbvzd{dt} left( vec r_k times vec p_k right)
如果空間像我們之前所說的那樣是各向同性的，那么 delta {L} = 0，并且對于任何 delta vec{phi}，
sum_k fractxrzbvzd{dt} left( vec r_k times vec p_k right) = frac{d vec L }{dt} = vec{0}
如果空間是各向同性的，則系統(tǒng)的總角動(dòng)量守恒。
諾特定理
上述所有粒子都可以用一個(gè)定理來概括，這就是諾特定理。
如果拉格朗日存在對稱性（），那么運(yùn)動(dòng)中就會(huì)有相應(yīng)的常數(shù)值，也就是說，就會(huì)有相應(yīng)的守恒定律。
一般來說，對于 n 個(gè)廣義坐標(biāo)，我們最多可以有 (2n + 1) 個(gè)守恒量：
一個(gè)栗子
最后，讓我們看一個(gè)簡單的例子。 假設(shè)有一個(gè)無限大的均勻平面場，那么在同一高度上勢能是一個(gè)常數(shù)V=V(z)。 動(dòng)能為 T = T(dot{x}, dot{y}, dot{z})。
那么守恒的量有多少呢？
首先是能量守恒，因?yàn)槔窭嗜蘸瘮?shù)不是 t 的函數(shù)。
其次，動(dòng)量在 x 和 y 方向上守恒能量守恒定律，但 z 方向上不守恒，因?yàn)槔窭嗜樟颗c x 和 y 無關(guān)。
之后，就角動(dòng)量而言，z方向的角動(dòng)量守恒，但x、y方向的角動(dòng)量不守恒，因?yàn)槔@z旋轉(zhuǎn)并不會(huì)改變x、y。