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1.全國(guó)中高中物理競(jìng)賽第十六屆力學(xué)預(yù)賽試題分類匯編。1.（15分）一輛平頂小車，質(zhì)量為，沿度的光滑軌道勻速運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)將一小塊質(zhì)量為，無(wú)初速度放置在屋面前緣，已知塊與屋面之間的動(dòng)摩擦系數(shù)為。1.若要求塊不從屋面后緣掉下來(lái)，屋面至少要有多長(zhǎng)？2.若屋面長(zhǎng)度滿足問(wèn)題1中的要求，則整個(gè)過(guò)程中摩擦做了多少功？參考答案1.將塊放到小車上后，由于摩擦力的作用，以地面為參考系時(shí)，塊由靜止做加速運(yùn)動(dòng)，而小車則做減速運(yùn)動(dòng)。 如果滑車到達(dá)小車車頂后緣時(shí)的速度恰好等于此時(shí)小車的速度，那么滑車就不會(huì)掉下來(lái)。設(shè)表示此時(shí)的速度。在這個(gè)過(guò)程中，如果把滑車和小車看作一個(gè)系統(tǒng)，由于沒(méi)有在度方向上受到外力，那么
2.在這個(gè)方向上動(dòng)量守恒，即 （1）從能量的角度看，在上述過(guò)程中，物體動(dòng)能的增量等于摩擦對(duì)物體所作的功，即 （2）式中為物體運(yùn)動(dòng)的間隔。手推車的動(dòng)能的增量等于摩擦對(duì)手推車所作的功，即 （3）式中為手推車運(yùn)動(dòng)的間隔。用 表示車頂?shù)淖钚￠L(zhǎng)度，則 （4）由以上四個(gè)方程可解得 （5）即車頂?shù)拈L(zhǎng)度至少應(yīng)為。 2由函數(shù)關(guān)系可知，摩擦所作的功等于系統(tǒng)動(dòng)量的增量，即 （6）由方程（1）和（6）可得（7）2.（20分）一個(gè)大容器中盛放兩種不混溶液體，它們的密度分別為和（）。 現(xiàn)讓一根長(zhǎng)度為、密度為的均勻木棒垂直放置在上方的液體中，其下端到兩液體界面的距離為，從靜止開(kāi)始下落。試計(jì)算木棒到達(dá)最低點(diǎn)所需的時(shí)間。假設(shè)由于木棒的運(yùn)動(dòng)
3.產(chǎn)生的液體阻力可以忽略，兩種液體都足夠深，可以保證木棒始終在液體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，不露出液面或者與容器相碰。 參考答案1 用 表示木棒的截面積。木棒從靜止開(kāi)始到它的下端到達(dá)兩種液體界面的時(shí)候，在這個(gè)過(guò)程中，木棒受到向下的重力和向上的浮力。根據(jù)牛頓第二定律，它的下落加速度（1）用所需要的時(shí)間來(lái)表示高中物理力學(xué)競(jìng)賽，則（2）由此，我們可以解出（3）2 當(dāng)木棒下端進(jìn)入下方液體后，用 表示木棒在上層液體中的長(zhǎng)度。此時(shí)，木棒上受到的重力不變，靜止不動(dòng)，但浮力卻變大。此時(shí)浮力小于重力；此時(shí)浮力大于重力。可以看出，存在一個(gè)合力為零的平衡位置。 用 表示此平衡位置時(shí)木棒在上層液體中的長(zhǎng)度，那么此時(shí)，我們有（4）由此，我們可以得到（5），也就是說(shuō)高中物理力學(xué)競(jìng)賽，當(dāng)木棒的中點(diǎn)在兩種液體的界面時(shí)，木棒處于平衡狀態(tài)，
4.在界面上取一個(gè)坐標(biāo)系，原點(diǎn)在界面上，以垂直方向?yàn)檩S，向上為正。當(dāng)棒中點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，棒上所受的合力為零。當(dāng)棒中點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，棒上所受的合力為。在公式（6）中，棒的運(yùn)動(dòng)方程為。沿方向的加速度為（7）。由此可知，它是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其周期為（8）。要求在兩種液體中同時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，首先求出振動(dòng)的振幅。當(dāng)棒下端剛進(jìn)入下層液體時(shí)，其速度為（9）。由機(jī)械能守恒定律可知，（10）是此時(shí)棒中心到坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離。由（1）、（3）、（9）可得。再將和（6）代入（10），得（11）。 由此可知，棍棒下端進(jìn)入下層液體到棍棒中心到達(dá)坐標(biāo)系原點(diǎn)的距離為振幅的一半。從參考圓（如預(yù)解16-9所示）可知對(duì)應(yīng)為30，對(duì)應(yīng)時(shí)間為。因此，棍棒從底部移動(dòng)到底部。
5.從一端進(jìn)入下方液體到頂端進(jìn)入下方液體，即從木棍中心到所用的時(shí)間為（12） 3.從木棍完全浸入下方液體開(kāi)始，受力情況分析與1類似，只是浮力大于重力，故為勻速減速運(yùn)動(dòng)，加速度和的值相同，該過(guò)程與1對(duì)稱且方向相反，所用的時(shí)間為（13） 4.總時(shí)間為（14） 第17輪預(yù)賽題目 1.（20分）如圖17-8所示，一塊長(zhǎng)木板放在平坦的桌面上，右上端為固定擋板，左上端和中點(diǎn)放置小塊和。和的大小和的厚度可以忽略，和之間的間隔為。 設(shè)木板與桌面之間無(wú)摩擦， 和 之間的靜摩擦系數(shù)和滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為； 和 (連同擋板) 的質(zhì)量相等。 開(kāi)始時(shí)， 和 靜止，以一定的初速度向右移動(dòng)。 能否出現(xiàn)下列情況？
6、求出這些條件成立時(shí)物體初速度應(yīng)滿足的定量條件，或定量解釋為什么這些條件不能成立。 （1）物體 與 相撞； （2）物體 與 相撞（假設(shè)是彈性碰撞）后，物體與擋板相撞； （3）物體與擋板相撞（假設(shè)是彈性碰撞）后，物體 與 再次碰撞在木板上； （4）物體從木板上掉下來(lái)； （5）物體從木板上掉下來(lái)。 參考答案 1、設(shè) 表示物體、 和木板的質(zhì)量。當(dāng)物體以初速度向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體受到木板的滑動(dòng)摩擦力而減速，木板受到物體的滑動(dòng)摩擦力和物體的摩擦力而加速，物體受到木板的摩擦力而加速。設(shè) 和 的加速度分別為 、 和 。根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律，有 。 事實(shí)上，在這個(gè)問(wèn)題中，_和_之間沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。這是因?yàn)楫?dāng)時(shí)
7.由上式可得 （1） 小于最大靜摩擦力。可見(jiàn)靜摩擦力阻礙了塊體與木板之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。如果塊體恰好與塊體相撞，那么當(dāng)塊體移動(dòng)到塊體所在位置時(shí)， 和 的速度相等。由于塊體和木板的速度相等，所以此時(shí)三者的速度相同。設(shè)，由動(dòng)量守恒定律可得 （2） 在這個(gè)過(guò)程中，設(shè)木板的距離為 ，則塊體的距離為 ，如預(yù)解17-8所示。由動(dòng)能定理可得 （3） （4） 也就是說(shuō)，在這個(gè)過(guò)程中，整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能變化量等于系統(tǒng)間滑動(dòng)摩擦所作功的代數(shù)和。將（3）和（4）的等號(hào)兩邊相加，即得 （5） 其中 是塊體相對(duì)于木板移動(dòng)的距離。 解（2）和（5）可得（6）也就是說(shuō)，當(dāng)物塊的初速度為時(shí)，剛好不足以發(fā)生碰撞。如果，則和會(huì)發(fā)生碰撞，因此和發(fā)生碰撞的條件是（7）2
8.當(dāng)物體的初速度滿足式（7）時(shí)，與會(huì)發(fā)生碰撞。設(shè)碰撞瞬間，的速度分別為英語(yǔ)作文，和，則 （8）在物體和碰撞的極短時(shí)間內(nèi)，木板對(duì)它們的摩擦力沖量很小，可以忽略不計(jì)。因此，在碰撞過(guò)程中，和組成的系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，而木板的速度不變。由于物體和之間的碰撞是彈性碰撞，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。由于質(zhì)量相等，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒（證明從略）可證明，在碰撞前后，和互換速度。若碰撞剛結(jié)束時(shí)，的速度分別為，和，則由式（8）和式（9）可知，物體和木板的速度相等，保持相對(duì)靜止，而相對(duì)于，則向右移動(dòng)。 后續(xù)過(guò)程相當(dāng)于問(wèn)題1過(guò)程的延續(xù)，物體交換后向右移動(dòng)，如果物體剛好沒(méi)有與擋板發(fā)生碰撞，則物體以速度從板子的中點(diǎn)開(kāi)始移動(dòng)。
9.當(dāng)它運(yùn)動(dòng)到擋板時(shí)， 和 的速度相等。由于 和 的速度相等，所以 和 的速度相等。設(shè)此時(shí)三者的速度根據(jù)動(dòng)量守恒定律為 。 （10） 它以一個(gè)初速度開(kāi)始，然后 和 發(fā)生完全彈性碰撞。碰撞后，物體相對(duì)于擋板是靜止的。在到達(dá) 位置的整個(gè)過(guò)程中，相對(duì)運(yùn)動(dòng)距離先為，然后 相對(duì)運(yùn)動(dòng)距離為 。整個(gè)系統(tǒng)動(dòng)能的變化量類似于上面問(wèn)題1的答案（5）中的說(shuō)法，等于內(nèi)部系統(tǒng)間滑動(dòng)摩擦所作功的代數(shù)和，即 （11） 解（10）和（11）可得（12）。也就是說(shuō)，當(dāng)物體的初速度為 時(shí)， 和 相撞，但 和 剛好不相撞。如果 ，就會(huì)引起 和 相撞。 所以，和碰撞后，物體與擋板碰撞的條件為（13）3。若物體的初速度滿足條件（13），則和碰撞后，和會(huì)與擋板相撞。
10.設(shè)碰撞前一刻， 和 的速度分別為 和 ，則有（14）；碰撞后一刻， 和 的速度分別為 和 ，這仍然與問(wèn)題2答案中（9）的原理相似，因此有（15）。由（14）和（15）可知，在碰撞剛發(fā)生后， 和 的速度相等，均小于木板的速度，即（16）。在隨后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，木板以較大的加速度向右減速，而木塊 和 則以同樣較小的加速度向右加速，加速度的大小分別為（17）。加速過(guò)程將持續(xù)進(jìn)行，直到 和 的速度相同，三者以相同的速度均勻向右移動(dòng)，或者木塊從木板上掉下來(lái)。因此，木塊 和 不可能再次在木板上碰撞。 4.如果它剛好不從木板上掉下來(lái)，即到達(dá)左端時(shí)的速度與和相同，則三者的速度相同，表示為，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，我們有（18）。從
11.初速度從木板左端開(kāi)始，碰撞到和后，一直到剛好停止從木板左端下落。在這整個(gè)過(guò)程中，系統(tǒng)內(nèi)部的相對(duì)距離先為；然后相對(duì)距離也為；碰撞到和后，直到剛好停止從木板上下落，相對(duì)距離也為。整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)能變化量應(yīng)等于內(nèi)部滑動(dòng)摩擦所作功的代數(shù)和，即 （19） 由（18）和（19）可得 （20） 即當(dāng)物體的初速度為 時(shí)，它剛好不會(huì)從木板上下落。如果 ，它會(huì)從木板上下落，所以從上方下落的條件為 （21） 5.如果物體的初速度滿足條件（21），它就會(huì)從木板上下落。 假設(shè)當(dāng)物體即將從木板上落下時(shí)， 和 的速度分別為 和 ，則有 （22）此時(shí)， （18） 應(yīng)改寫(xiě)為 （23） （19） 應(yīng)改寫(xiě)為 （24） 當(dāng)物體從木板上落下時(shí)，如果物體剛好
12.物塊剛好不會(huì)從木板上掉下來(lái)。即當(dāng)左端追上時(shí)，和的速度相等。設(shè)此速度為，則對(duì)于此系統(tǒng)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律，有（25）。在此過(guò)程中，對(duì)于此系統(tǒng)，滑動(dòng)摩擦力所作功的代數(shù)和為，由動(dòng)能定理得（26）。由（23）、（24）、（25）、（26）可得（27）。即當(dāng)，物塊剛好不會(huì)從木板上掉下來(lái)。若，則它會(huì)從木板上掉下來(lái)，所以物塊從木板上掉下來(lái)的條件為（28）。第18期預(yù)賽題1.（25分）如圖185所示，一塊質(zhì)量為，長(zhǎng)度為的薄擋板木板靜止于a度的地面上。設(shè)木板與地面之間的靜摩擦系數(shù)與滑動(dòng)摩擦系數(shù)相等，均為。 一個(gè)人，質(zhì)量為，從木板的一端出發(fā)，以相對(duì)于地面的勻加速向前走到另一端，到達(dá)另一端時(shí)，突然抓住擋板，停在木板上，已知人和木板
13、木板與人之間的靜摩擦系數(shù)足夠大，人就不會(huì)在木板上滑動(dòng)。 問(wèn)題：在什么條件下木板向前移動(dòng)的距離能達(dá)到最大？其值是多少？ 參考答案： 在人從木板的一端移動(dòng)到另一端的過(guò)程中，先討論木板向后移動(dòng)的情況。設(shè)表示人到達(dá)另一端而不停止所用的時(shí)間。設(shè)表示木板向后移動(dòng)的距離，如預(yù)解18-5所示。設(shè)表示人與木板之間的靜摩擦力，設(shè)表示地面對(duì)木板的摩擦力，設(shè)和分別表示人和木板的加速度，則 （1）（2）（3）（4） 解上面四個(gè)方程可得 （5） 對(duì)于人與木板組成的系統(tǒng)，人在木板的另一端突然停止后，二者的總動(dòng)量等于從開(kāi)始到此時(shí)地面摩擦力的沖量。 忽略人突然停下的那段極短暫的時(shí)間，那么（6）就是人剛好停在木板的另一端。
14、當(dāng)兩人一起運(yùn)動(dòng)的速度為 ，設(shè)人停在木板的另一端，兩人一起向前運(yùn)動(dòng)的距離為 ，地面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)為 ，則 （7）木板向前移動(dòng)的凈距離為 （8）從以上公式可知，要使木板向前移動(dòng)的距離最大，應(yīng)有 （9）即 （10）即木板向前移動(dòng)的距離最大的條件是：人對(duì)木板施加的靜摩擦力等于地面對(duì)木板施加的滑動(dòng)摩擦力，移動(dòng)的最大距離為 （11）從以上公式可知，木板向后運(yùn)動(dòng)時(shí)，也就是 的條件下，有最大值，也就是在時(shí)間為0內(nèi)，木板剛好不動(dòng)的情況下，有最大值。 我們來(lái)討論一下木板不動(dòng)的情況，也就是此時(shí)，因?yàn)椋怂e累的動(dòng)能和碰撞后的總動(dòng)能會(huì)變小，所以前進(jìn)的距離也會(huì)變小，也就是小于上面的。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題25分（1）、（2）、（3）
15.（4）各1分；（6）5分；（7）2分；（8）3分；（9）2分；（10）3分；（11）5分；解釋加1分。2.（18分） 在以鈾235為燃料的核反應(yīng)堆中，鈾235原子核吸收一個(gè)動(dòng)能約為0.025的熱中子（慢中子）后，能發(fā)生裂變反應(yīng)，釋放出能量和23個(gè)快中子。快中子不利于鈾235的裂變，為使裂變反應(yīng)繼續(xù)進(jìn)行，需將反應(yīng)中釋放的快中子減速。減速的方法之一是用石墨（碳12）作減速劑。設(shè)中子與碳原子的碰撞為同心彈性碰撞。 一個(gè)動(dòng)能為的快中子與靜止的碳原子碰撞，需要多少次才能減速到0.025的熱中子？參考答案：設(shè)中子與碳原子核的質(zhì)量分別為和，碰撞前中子的速度為，
16、碰撞后，中子與碳核的速度分別為和。由于碰撞為彈性碰撞，碰撞前后動(dòng)量和機(jī)械能守恒。由于、和沿同一垂直線，有 （1）（2）解以上兩個(gè)方程可得 （3）代入（3）可得 （4）負(fù)號(hào)表示和的方向相反，即和 碳核碰撞后，中子被反彈，因此，經(jīng)過(guò)1次碰撞，中子的能量為，因此 （5）經(jīng)過(guò)2、3、4次碰撞，中子的能量分別為，有 （6）因此 （7）代入（7）可得 （8）因此，初能量為的快中子經(jīng)過(guò)近54次碰撞后，變?yōu)槟芰繛?.025的熱中子。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題滿分18分。 （1）、（2）、（4）、（6）各占3分；（5）、（7）、（8）各占2分。第19輪預(yù)賽（15分）今年3月，我國(guó)北方遭遇了近10年來(lái)最嚴(yán)重的沙塵天氣。現(xiàn)將
17、粉塵被揚(yáng)起后的情況簡(jiǎn)化為：為垂直向上的風(fēng)速，粉塵粒子被揚(yáng)起后懸浮在空中（不動(dòng)）。此時(shí)風(fēng)對(duì)粉塵的作用力相當(dāng)于空氣不動(dòng)而粉塵以一定速度垂直向下運(yùn)動(dòng)時(shí)所遇到的阻力。這種阻力可以用下式表示：式中為系數(shù)，為粉塵粒子的截面積，為空氣密度。（1）設(shè)沙粒密度為，沙粒呈球形，有半徑，地球表面處的空氣密度為，試估算緊挨著地面上方的最小值。（2）設(shè)空氣密度與高度的關(guān)系為，式中為處的空氣密度，為常數(shù)，試估算此時(shí)沙粒的最大高度（忽略重力加速度隨高度的變化）。 參考答案 (1)緊鄰地面，沙塵要懸浮在空中，空氣阻力至少要由重力來(lái)平衡，即 式中 為沙塵粒子的質(zhì)量，得 (2)用和表示 時(shí)沙塵所到達(dá)最高點(diǎn)的空氣密度與高度，則有 此時(shí)公式應(yīng)為 ，可由和解得 代入數(shù)據(jù)可得 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：本題15分。 1.第一題計(jì)8分。公式計(jì)3分，公式計(jì)1分，公式計(jì)1分，公式計(jì)2分，公式計(jì)1分。 2.第二題計(jì)7分。公式計(jì)1分，公式計(jì)1分，公式計(jì)3分，公式計(jì)2分。
