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1.全國中高中物理競賽第十六屆力學預賽試題分類匯編。1.（15分）一輛平頂小車，質量為，沿度的光滑軌道勻速運動。現將一小塊質量為，無初速度放置在屋面前緣，已知塊與屋面之間的動摩擦系數為。1.若要求塊不從屋面后緣掉下來，屋面至少要有多長？2.若屋面長度滿足問題1中的要求，則整個過程中摩擦做了多少功？參考答案1.將塊放到小車上后，由于摩擦力的作用，以地面為參考系時，塊由靜止做加速運動，而小車則做減速運動。 如果滑車到達小車車頂后緣時的速度恰好等于此時小車的速度，那么滑車就不會掉下來。設表示此時的速度。在這個過程中，如果把滑車和小車看作一個系統，由于沒有在度方向上受到外力，那么
2.在這個方向上動量守恒，即 （1）從能量的角度看，在上述過程中，物體動能的增量等于摩擦對物體所作的功，即 （2）式中為物體運動的間隔。手推車的動能的增量等于摩擦對手推車所作的功，即 （3）式中為手推車運動的間隔。用 表示車頂的最小長度，則 （4）由以上四個方程可解得 （5）即車頂的長度至少應為。 2由函數關系可知，摩擦所作的功等于系統動量的增量，即 （6）由方程（1）和（6）可得（7）2.（20分）一個大容器中盛放兩種不混溶液體，它們的密度分別為和（）。 現讓一根長度為、密度為的均勻木棒垂直放置在上方的液體中，其下端到兩液體界面的距離為，從靜止開始下落。試計算木棒到達最低點所需的時間。假設由于木棒的運動
3.產生的液體阻力可以忽略，兩種液體都足夠深，可以保證木棒始終在液體內部運動，不露出液面或者與容器相碰。 參考答案1 用 表示木棒的截面積。木棒從靜止開始到它的下端到達兩種液體界面的時候，在這個過程中，木棒受到向下的重力和向上的浮力。根據牛頓第二定律，它的下落加速度（1）用所需要的時間來表示高中物理力學競賽，則（2）由此，我們可以解出（3）2 當木棒下端進入下方液體后，用 表示木棒在上層液體中的長度。此時，木棒上受到的重力不變，靜止不動，但浮力卻變大。此時浮力小于重力；此時浮力大于重力。可以看出，存在一個合力為零的平衡位置。 用 表示此平衡位置時木棒在上層液體中的長度，那么此時，我們有（4）由此，我們可以得到（5），也就是說高中物理力學競賽，當木棒的中點在兩種液體的界面時，木棒處于平衡狀態，
4.在界面上取一個坐標系，原點在界面上，以垂直方向為軸，向上為正。當棒中點坐標為時，棒上所受的合力為零。當棒中點坐標為時，棒上所受的合力為。在公式（6）中，棒的運動方程為。沿方向的加速度為（7）。由此可知，它是一個簡諧振動，其周期為（8）。要求在兩種液體中同時運動的時間，首先求出振動的振幅。當棒下端剛進入下層液體時，其速度為（9）。由機械能守恒定律可知，（10）是此時棒中心到坐標系原點的距離。由（1）、（3）、（9）可得。再將和（6）代入（10），得（11）。 由此可知，棍棒下端進入下層液體到棍棒中心到達坐標系原點的距離為振幅的一半。從參考圓（如預解16-9所示）可知對應為30，對應時間為。因此，棍棒從底部移動到底部。
5.從一端進入下方液體到頂端進入下方液體，即從木棍中心到所用的時間為（12） 3.從木棍完全浸入下方液體開始，受力情況分析與1類似，只是浮力大于重力，故為勻速減速運動，加速度和的值相同，該過程與1對稱且方向相反，所用的時間為（13） 4.總時間為（14） 第17輪預賽題目 1.（20分）如圖17-8所示，一塊長木板放在平坦的桌面上，右上端為固定擋板，左上端和中點放置小塊和。和的大小和的厚度可以忽略，和之間的間隔為。 設木板與桌面之間無摩擦， 和 之間的靜摩擦系數和滑動摩擦系數均為； 和 (連同擋板) 的質量相等。 開始時， 和 靜止，以一定的初速度向右移動。 能否出現下列情況？
6、求出這些條件成立時物體初速度應滿足的定量條件，或定量解釋為什么這些條件不能成立。 （1）物體 與 相撞； （2）物體 與 相撞（假設是彈性碰撞）后，物體與擋板相撞； （3）物體與擋板相撞（假設是彈性碰撞）后，物體 與 再次碰撞在木板上； （4）物體從木板上掉下來； （5）物體從木板上掉下來。 參考答案 1、設 表示物體、 和木板的質量。當物體以初速度向右運動時，物體受到木板的滑動摩擦力而減速，木板受到物體的滑動摩擦力和物體的摩擦力而加速，物體受到木板的摩擦力而加速。設 和 的加速度分別為 、 和 。根據牛頓第二運動定律，有 。 事實上，在這個問題中，_和_之間沒有相對運動。這是因為當時
7.由上式可得 （1） 小于最大靜摩擦力?？梢婌o摩擦力阻礙了塊體與木板之間的相對運動。如果塊體恰好與塊體相撞，那么當塊體移動到塊體所在位置時， 和 的速度相等。由于塊體和木板的速度相等，所以此時三者的速度相同。設，由動量守恒定律可得 （2） 在這個過程中，設木板的距離為 ，則塊體的距離為 ，如預解17-8所示。由動能定理可得 （3） （4） 也就是說，在這個過程中，整個系統的動能變化量等于系統間滑動摩擦所作功的代數和。將（3）和（4）的等號兩邊相加，即得 （5） 其中 是塊體相對于木板移動的距離。 解（2）和（5）可得（6）也就是說，當物塊的初速度為時，剛好不足以發生碰撞。如果，則和會發生碰撞，因此和發生碰撞的條件是（7）2
8.當物體的初速度滿足式（7）時，與會發生碰撞。設碰撞瞬間，的速度分別為英語作文，和，則 （8）在物體和碰撞的極短時間內，木板對它們的摩擦力沖量很小，可以忽略不計。因此，在碰撞過程中，和組成的系統的動量守恒，而木板的速度不變。由于物體和之間的碰撞是彈性碰撞，系統的機械能守恒。由于質量相等，由動量守恒和機械能守恒（證明從略）可證明，在碰撞前后，和互換速度。若碰撞剛結束時，的速度分別為，和，則由式（8）和式（9）可知，物體和木板的速度相等，保持相對靜止，而相對于，則向右移動。 后續過程相當于問題1過程的延續，物體交換后向右移動，如果物體剛好沒有與擋板發生碰撞，則物體以速度從板子的中點開始移動。
9.當它運動到擋板時， 和 的速度相等。由于 和 的速度相等，所以 和 的速度相等。設此時三者的速度根據動量守恒定律為 。 （10） 它以一個初速度開始，然后 和 發生完全彈性碰撞。碰撞后，物體相對于擋板是靜止的。在到達 位置的整個過程中，相對運動距離先為，然后 相對運動距離為 。整個系統動能的變化量類似于上面問題1的答案（5）中的說法，等于內部系統間滑動摩擦所作功的代數和，即 （11） 解（10）和（11）可得（12）。也就是說，當物體的初速度為 時， 和 相撞，但 和 剛好不相撞。如果 ，就會引起 和 相撞。 所以，和碰撞后，物體與擋板碰撞的條件為（13）3。若物體的初速度滿足條件（13），則和碰撞后，和會與擋板相撞。
10.設碰撞前一刻， 和 的速度分別為 和 ，則有（14）；碰撞后一刻， 和 的速度分別為 和 ，這仍然與問題2答案中（9）的原理相似，因此有（15）。由（14）和（15）可知，在碰撞剛發生后， 和 的速度相等，均小于木板的速度，即（16）。在隨后的運動過程中，木板以較大的加速度向右減速，而木塊 和 則以同樣較小的加速度向右加速，加速度的大小分別為（17）。加速過程將持續進行，直到 和 的速度相同，三者以相同的速度均勻向右移動，或者木塊從木板上掉下來。因此，木塊 和 不可能再次在木板上碰撞。 4.如果它剛好不從木板上掉下來，即到達左端時的速度與和相同，則三者的速度相同，表示為，根據動量守恒定律，我們有（18）。從
11.初速度從木板左端開始，碰撞到和后，一直到剛好停止從木板左端下落。在這整個過程中，系統內部的相對距離先為；然后相對距離也為；碰撞到和后，直到剛好停止從木板上下落，相對距離也為。整個系統的動能變化量應等于內部滑動摩擦所作功的代數和，即 （19） 由（18）和（19）可得 （20） 即當物體的初速度為 時，它剛好不會從木板上下落。如果 ，它會從木板上下落，所以從上方下落的條件為 （21） 5.如果物體的初速度滿足條件（21），它就會從木板上下落。 假設當物體即將從木板上落下時， 和 的速度分別為 和 ，則有 （22）此時， （18） 應改寫為 （23） （19） 應改寫為 （24） 當物體從木板上落下時，如果物體剛好
12.物塊剛好不會從木板上掉下來。即當左端追上時，和的速度相等。設此速度為，則對于此系統，根據動量守恒定律，有（25）。在此過程中，對于此系統，滑動摩擦力所作功的代數和為，由動能定理得（26）。由（23）、（24）、（25）、（26）可得（27）。即當，物塊剛好不會從木板上掉下來。若，則它會從木板上掉下來，所以物塊從木板上掉下來的條件為（28）。第18期預賽題1.（25分）如圖185所示，一塊質量為，長度為的薄擋板木板靜止于a度的地面上。設木板與地面之間的靜摩擦系數與滑動摩擦系數相等，均為。 一個人，質量為，從木板的一端出發，以相對于地面的勻加速向前走到另一端，到達另一端時，突然抓住擋板，停在木板上，已知人和木板
13、木板與人之間的靜摩擦系數足夠大，人就不會在木板上滑動。 問題：在什么條件下木板向前移動的距離能達到最大？其值是多少？ 參考答案： 在人從木板的一端移動到另一端的過程中，先討論木板向后移動的情況。設表示人到達另一端而不停止所用的時間。設表示木板向后移動的距離，如預解18-5所示。設表示人與木板之間的靜摩擦力，設表示地面對木板的摩擦力，設和分別表示人和木板的加速度，則 （1）（2）（3）（4） 解上面四個方程可得 （5） 對于人與木板組成的系統，人在木板的另一端突然停止后，二者的總動量等于從開始到此時地面摩擦力的沖量。 忽略人突然停下的那段極短暫的時間，那么（6）就是人剛好停在木板的另一端。
14、當兩人一起運動的速度為 ，設人停在木板的另一端，兩人一起向前運動的距離為 ，地面的滑動摩擦系數為 ，則 （7）木板向前移動的凈距離為 （8）從以上公式可知，要使木板向前移動的距離最大，應有 （9）即 （10）即木板向前移動的距離最大的條件是：人對木板施加的靜摩擦力等于地面對木板施加的滑動摩擦力，移動的最大距離為 （11）從以上公式可知，木板向后運動時，也就是 的條件下，有最大值，也就是在時間為0內，木板剛好不動的情況下，有最大值。 我們來討論一下木板不動的情況，也就是此時，因為，人所積累的動能和碰撞后的總動能會變小，所以前進的距離也會變小，也就是小于上面的。評分標準：本題25分（1）、（2）、（3）
15.（4）各1分；（6）5分；（7）2分；（8）3分；（9）2分；（10）3分；（11）5分；解釋加1分。2.（18分） 在以鈾235為燃料的核反應堆中，鈾235原子核吸收一個動能約為0.025的熱中子（慢中子）后，能發生裂變反應，釋放出能量和23個快中子?？熘凶硬焕阝?35的裂變，為使裂變反應繼續進行，需將反應中釋放的快中子減速。減速的方法之一是用石墨（碳12）作減速劑。設中子與碳原子的碰撞為同心彈性碰撞。 一個動能為的快中子與靜止的碳原子碰撞，需要多少次才能減速到0.025的熱中子？參考答案：設中子與碳原子核的質量分別為和，碰撞前中子的速度為，
16、碰撞后，中子與碳核的速度分別為和。由于碰撞為彈性碰撞，碰撞前后動量和機械能守恒。由于、和沿同一垂直線，有 （1）（2）解以上兩個方程可得 （3）代入（3）可得 （4）負號表示和的方向相反，即和 碳核碰撞后，中子被反彈，因此，經過1次碰撞，中子的能量為，因此 （5）經過2、3、4次碰撞，中子的能量分別為，有 （6）因此 （7）代入（7）可得 （8）因此，初能量為的快中子經過近54次碰撞后，變為能量為0.025的熱中子。評分標準：本題滿分18分。 （1）、（2）、（4）、（6）各占3分；（5）、（7）、（8）各占2分。第19輪預賽（15分）今年3月，我國北方遭遇了近10年來最嚴重的沙塵天氣?，F將
17、粉塵被揚起后的情況簡化為：為垂直向上的風速，粉塵粒子被揚起后懸浮在空中（不動）。此時風對粉塵的作用力相當于空氣不動而粉塵以一定速度垂直向下運動時所遇到的阻力。這種阻力可以用下式表示：式中為系數，為粉塵粒子的截面積，為空氣密度。（1）設沙粒密度為，沙粒呈球形，有半徑，地球表面處的空氣密度為，試估算緊挨著地面上方的最小值。（2）設空氣密度與高度的關系為，式中為處的空氣密度，為常數，試估算此時沙粒的最大高度（忽略重力加速度隨高度的變化）。 參考答案 (1)緊鄰地面，沙塵要懸浮在空中，空氣阻力至少要由重力來平衡，即 式中 為沙塵粒子的質量，得 (2)用和表示 時沙塵所到達最高點的空氣密度與高度，則有 此時公式應為 ，可由和解得 代入數據可得 評分標準：本題15分。 1.第一題計8分。公式計3分，公式計1分，公式計1分，公式計2分，公式計1分。 2.第二題計7分。公式計1分，公式計1分，公式計3分，公式計2分。
