利用軟件剖析疑難數學問題
——以“平面鏡成像實驗中像距和物距仍然不等”為例
文|吳彬彬
在中學數學教學中，探究平面鏡成像特性是要求中學生操作的實驗項目。實驗中，中學生用白色玻璃板取代平面鏡探究像距和物距的關系，得到像距略小于物距的結果。究其緣由在于，班主任常常將問題歸結于玻璃板寬度，覺得玻璃板長度與像距物距之差在數值上大致相等，而選用薄玻璃板供學生做實驗。雖然用玻璃板代替平面鏡，像距和物距的差值比玻璃板長度要小好多。在玻璃板很薄的情況下，差值可以忽視不計，師生可以得出平面鏡成像實驗中像距與物距相等的推論。為何在實驗中像距和物距不等？像距和物距的差值究竟和玻璃板的長度有哪些關系？筆者將運用軟件剖析緣由，并動態改變玻璃板長度引導中學生觀察像距和物距的差值變化情況。
一、利用光路圖剖析人眼“透玻觀物”的情況
實驗中，中學生將蠟燭B置于蠟燭A的像的位置，須要透過玻璃板觀察玻璃板前面蠟燭B的情況。當蠟燭B與蠟燭A的像重合時，蠟燭B的位置就是蠟燭A像的位置。實際上，當實驗者透過玻璃板觀察前面的物體時，看見的雖然是經過玻璃板兩個表面折射后產生的實像，此實像的位置與物體的位置并不重合（如圖1）。
圖1?物體經玻璃板兩次折射成像
二、應用軟件動態剖析像距和物距的差值
軟件是一款結合幾何、代數與微積分的物理軟件。筆者研究后發覺，運用該軟件可剖析疑難化學問題，將具象的問題直觀、動態地呈現在中學生面前，以增強實驗或則問題剖析的可視化程度。
筆者打開軟件，按以下步驟演示和操作（見表1）。
表1?探究平面鏡成像實驗中蠟燭B與蠟燭A的像的動態位置關系
師生通過一系列的操作，得到了成像圖（如圖2），其中K'點為蠟燭A的位置，K點為蠟燭A的像的位置，E點為蠟燭B的位置。實驗者站在玻璃板兩側通過玻璃板觀察蠟燭A的像和玻璃板后邊蠟燭B，當二者重合時，可知蠟燭B到玻璃板兩側的距離（像距）并不等于蠟燭A到玻璃板兩側的距離（物距）。
圖2?蠟燭B經玻璃板兩表面折射成像
為便捷研究，筆者將所有點和線的標簽隱藏掉，重新命名，并將玻璃板長度分別調為5、3、1，讓中學生觀察對應的像距和物距的差值，分別為1.83、1.1、0.37（如圖3）。中學生由此得出三個推論：（1）光的折射造成測得的像距與物距不等，且像距小于物距；（2）像距與物距的差值比玻璃板長度小，當玻璃板的折射率為1.5時，后者大概是前者的0.37倍；（3）像距與物距的差值隨玻璃板長度降低而降低。
圖3?像距和物距的差值與玻璃板長度的動態關系
中學生推理獲知，當玻璃板很薄時，像距與物距的差值可以忽視，從而得出像距與物距相等的推論。在平常的實驗中，班主任選擇較薄的玻璃板做實驗是有道理的。
為便捷畫圖，以上模擬中的入射角比較大，這與人眼觀察視角并不相符。筆者將入射角盡量調小，將玻璃板寬度調為1，得到像距和物距的差值為0.33。筆者保持入射角不變，逐步減小玻璃板寬度，估算像距和物距的差值（見表2）。
表2?像距和物距的差值與玻璃板長度的關系
依據表2中的數據，中學生發覺像距和物距的差值約為玻璃板長度的1/3，二者之間有明晰的關系。
三、幾何證明像距和物距的差值與玻璃板長度的關系
筆者進行如下設置：設玻璃板的長度為d，玻璃的折射率為n，蠟燭A與玻璃板右表面的距離為物距u，蠟燭B與玻璃板右表面的距離為像距v，蠟燭B發出的光線經過玻璃板左表面折射的入射角和折射角分別為α和β（如圖4）。
圖4?入射角很小時，像距和物距的差值大小
按照幾何關系可得：
utan?α-dtan?β=(v-d)tan?α。
整理可得：(u-v+d)tan?α=dtan?β。
因為玻璃的折射率n一定，所以像距和物距的差值與玻璃板的長度d成反比。玻璃折射率n取1.5代入時用玻璃板代替平面鏡，二者之間確實是成比列的關系，與之前運用軟件模擬的結果相符。
四、總結
中學生探究光的折射問題被安排在平面鏡成像教學以后，在新講課過程中，班主任未能給中學生解釋其中緣由。并且在備考過程中，班主任完全可以借助這個“真實驗”中發覺的“真問題”帶領中學生鞏固相關知識。在中學數學教學過程中有許多具象而復雜的問題，班主任難以用現有的知識或借助現成的實驗器材為中學生解答，此時可以利用等教學軟件進行模擬剖析，引導中學生觀察、探究和思索。班主任只有在教學中不斷充實自己知識儲備，提升專業素質，優化教學方式，能夠高效教學，科學育人。
注：本文系浙江省教育科學“十三五”規劃2020年度立項課題“基于TPACK理念的學校數學微課設計策略研究”（課題編號：D/2020/02/151）的研究成果。
（作者系浙江省溫州市相縣城春申學校班主任）
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