第七章8機械能守恒定理演示
如圖7.8-1，一個用細線懸掛的小球從A點開始擺動。記住它往右才能達到的最大高度。之后用一把尺子在P點截住懸線，看一看這些情況下小球所能達到的最大高度。
圖7.8-1小球能擺多高？
倘若從能量的角度剖析這個現象，你覺得實驗說明了哪些？
物體自由下落或沿光滑斜面滑下時，重力對物體做正功，物體的重力勢能降低。降低的重力勢能到那里去了？我們發覺，在這種過程中，物體的速率降低了，表示物體的動能降低了。這說明，物體原先的重力勢能轉化成了動能。
原先具有一定速率的物體，因為慣性在空中豎直上升或沿光滑斜面上升，這時重力做負功，物體的速率降低，表示物休的動能降低了。但因為物體的高度降低，它的重力勢能降低了。這說明，物體原先具有的動能轉化成了重力勢能。
除了重力勢能可以與動能互相轉化，彈性勢能也可以與動能互相轉化。被壓縮的彈簧具有彈性勢能，當彈簧恢復原先形狀時，就把跟它接觸的物體彈出去。這一過程中，彈力做正功，彈簧的彈性勢能降低，而物體得到一定的速率，動能降低。射擊時弓的彈性勢能降低，箭的動能降低，也是這樣一種過程。
圖7.8-2兒子松手后橡皮條收縮，彈力對模型客機做功，彈性勢能降低，客機的動能降低。
動能轉化為重力勢能或彈性勢能時，重力或彈力做負功。你能列舉這樣的事例嗎？
從前面的討論可以看見，重力勢能、彈性勢能與動能之間具有密切的聯系，我們把它們合稱為機械能（）。通過重力或彈力做功，機械能可以從一種方式轉化成另一種方式。
機械能守恒定理
動能與勢能的互相轉化是否存在某種定量的關系？這兒以動能與重力勢能的互相轉化為例，討論這個問題。
我們討論物體只受重力的情況動能和勢能的相互轉化，如自由落體運動或各類拋體運動；或則雖受其他力，但其他力并不做功，如物體沿圖7.8-3所示光滑曲面滑下的情形。一句話，在我們所研究的情形里，只有重力做功。
圖7.8-3物體沿光滑曲面滑下
在圖7.8-3中，物體在某一時刻處在位置A，這時它的動能是Ek1，重力勢能是Ep1，總機械能是E1＝Ek1＋Ep1。經過一段時間后，物體運動到另一位置B，這時它的動能是Ek2，重力勢能是Ep2，總機械能是E2＝Ek2＋Ep2。
以W表示這一過程中重力做的功。從動能定律曉得，重力對物體做的功等于物體動能的降低，即
W＝Ek2－Ek1
另一方面，從重力的功與重力勢能的關系曉得，重力對物體做的功等于重力勢能的降低（見本章第4節“重力勢能”），即
W＝Ep1－Ep2
從以上兩式可得
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2
移項后，有
Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1
即
E2＝E1
可見，在只有重力做功的物體系統內，動能與重力勢能可以相互轉化，而總的機械能保持不變。
同樣可以證明，在只有彈力做功的物體系統內，動能和彈性勢能可以相互轉化，總的機械能也保持不變。
我們的推論是：在只有重力或彈力做功的物體系統內，動能與勢能可以相互轉化，而總的機械能保持不變。這稱作機械能守恒定理（lawofof）。它是熱學中的一條重要定理，是普遍的能量守恒定理的一種特殊情況。
圖7.8-4滑冰者沿斜面下降時，忽視阻力，阻力不做功；雪面的支持力與運動方向垂直，也不做功；只有重力做功。例題
把一個小球用細線懸掛上去，就成為一個擺（圖7.8-5），擺長為l，最大偏角為θ。假如阻力可以忽視，小球運動到最高位置時的速率是多大？
圖7.8-5已知小球擺動的最大偏角，估算它的最大速率。
【分析】在阻力可以忽視的情況下，小球擺動過程中受重力和細線的拉力。細線的拉力與小球的運動方向垂直，不做功，所以這個過程中只有重力做功，機械能守恒。
小球在最低點只有重力勢能，沒有動能，估算小球在最低點和最高點重力勢能的差值，按照機械能守恒定理能夠得出它在最高點的動能，進而算出它在最高點的速率。
【解】把最高點的重力勢能定為0，以小球在最低點的狀態作為初狀態。在最低點的重力勢能是Ep1＝mg（l－lcosθ），而動能為0，即Ek1＝0。
小球在最低點與最高點的高度差為l－lcosθ，這個關系可以由幾何關系得出。
以小球在最高點的狀態作為末狀態，勢能Ep2＝0，而動能可以表示為Ek2＝(frac{1}{2})mv2。
運動過程中只有重力做功，所以機械能守恒，即
Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1
把各個狀態下動能、勢能的表達式代入，得
(frac{1}{2})mv2＝mg（l－lcosθ）
由此解出
v＝(sqrt{2gl(1-costheta)})
從得到的表達式可以看出，初狀態的θ角越大，cosθ越小，（1－cosθ）就越大，v也就越大。也就是說，最初把小球拉得越高，它抵達最上端時的速率也就越大。這與生活經驗是一致的。
解決一個問題以后要對推論進行剖析。若果與已有的知識或日常經驗不一致，則要認真考慮，瞧瞧是否出現了錯誤。這就是我們所說的“評估”。
從這個例題可以看出，應用機械能守恒定理解決問題，只需考慮運動的初狀態和末狀態，毋須考慮兩個狀態間過程的細節。倘若直接用牛頓定理解決問題，須要剖析過程中各類力的作用，而這種力又常常在變化著，因而一些難于用牛頓定理解決的問題動能和勢能的相互轉化，應用機械能守恒定理則便于解決。
思索與討論
一個小球在真空中自由下落，另一個同樣的小球在粘性較大的液體中由靜止開始下落。它們都由高度為h1的地方下落到高度為h2的地方。在這兩種情況下，重力做的功相等嗎？重力勢能的變化相等嗎？動能的變化相等嗎？重力勢能各轉化成哪些方式的能？
問題與練習
1．如圖7.8-6，質量為m的小球從光滑曲面上滑下。當抵達高度為h1的位置A時，速率的大小為v1，滑到高度為h2的位置B時，速率的大小為v2。在由高度h1滑到高度h2的過程中，重力做的功為W。
圖7.8-6研究小球的能量變化
（1）按照動能定律列舉等式，描述小球在A、B兩點間動能的關系。
（2）依據重力做功與重力勢能的關系，把以上等式變型，以反映出小球運動過程中機械能是守恒的。
2．神舟號載人飛船在發射至返回的過程中，以下什么階段中返回艙的機械能是守恒的？
A．飛船升空的階段。
B．飛船在橢圓軌道上繞月球運行的階段。
C．返回艙在大氣層以內向著月球做無動力飛行的階段。
D．降落傘伸開后，返回艙增長的階段。
3．把質量為0.5kg的鐵塊從10m高處以30°角斜向上方拋出（圖7.8-7），初速率是v0＝5m/s。不計空氣阻力。
圖7.8-7討論鐵塊落地時的速率
（1）鐵塊落地時的速率是多大？請用機械能守恒定理和動能定律分別討論。
（2）鐵塊落地時速率的大小與下述什么量有關，與什么量無關？說明理由。
A．鐵塊的質量。
B．鐵塊初速率的大小。
C．鐵塊初速率的仰角。
D．鐵塊拋出時的高度。
4．有一種糧下鐵道，西站的路軌建得高些，汽車檢票時要下坡，出站時要上坡，如圖7.8-8。設坡高h為2m，檢票汽車抵達坡下的A點時，速率為25.2km/h，此時切斷電動機的電源，汽車能不能“沖”到坡上？假如才能，抵達坡上的速率是多大？
圖7.8-8有的地下鐵道西站的路軌建得比較高文件下載（已下載218次）
