學(xué)校解決物理問題建立理想模型的方法實(shí)例分析，四川省資陽市第二中學(xué)一級(jí)班主任~劉毅學(xué)校，《建立理想模型的方法案例分析》 《建立學(xué)校物理解決問題的理想模式》，載《數(shù)理化學(xué)習(xí)》小學(xué)版，省優(yōu)秀刊物，2008年第01期，2008年第04期全文轉(zhuǎn)載，全國人大印發(fā)的G36《中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》 針對(duì)目前數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀，發(fā)現(xiàn)在解決問題時(shí)，雖然要求中學(xué)生正確還原和建立數(shù)學(xué)模型，但仍要“理清整個(gè)化學(xué)過程，建立清晰的化學(xué)圖景”。 中學(xué)生搭建模型的情況直接反映了他們理解、分析、綜合、獲取知識(shí)的能力。 因此，作者利用具體事例，提取新情境中的有效信息，挖掘蘊(yùn)涵條件和模型，從而訓(xùn)練中學(xué)生分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力。 關(guān)鍵詞 考慮數(shù)學(xué)情境、模型辨識(shí)與變換、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型 1.問題提出 《物理教學(xué)大綱》明確強(qiáng)調(diào)：“通過概念的產(chǎn)生、規(guī)律的推導(dǎo)、模型的構(gòu)建、知識(shí)的應(yīng)用等……，達(dá)到對(duì)實(shí)際問題的分析、還原和建立數(shù)學(xué)模型能力的考察”，解決問題的過程本質(zhì)上就是對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析、還原和建立數(shù)學(xué)模型的過程。 筆者認(rèn)為解決問題時(shí)應(yīng)“理清化學(xué)過程，建立清晰的化學(xué)圖景”。 關(guān)鍵是要求中學(xué)生正確還原和建立數(shù)學(xué)模型。 中學(xué)生搭建模型的情況直接反映了他們理解、分析、綜合、獲取知識(shí)的能力。
相關(guān)的化學(xué)狀態(tài)和化學(xué)過程構(gòu)成了一個(gè)數(shù)學(xué)問題。 通常解決數(shù)學(xué)問題的方法可以概括為以下幾個(gè)環(huán)節(jié)： 1.通過復(fù)習(xí)題，吸收題目信息。 如：化學(xué)現(xiàn)象、物理事實(shí)、物理情況、物理狀態(tài)、物理過程等。 2.找出問題給出的各種誘因中哪一個(gè)是主要誘因。 3、尋找與現(xiàn)有信息（某種知識(shí)、方法、模型）的相似性、相似性或聯(lián)系，通過類比聯(lián)想或具體概括，或邏輯推理，或原型啟發(fā)，構(gòu)造新的數(shù)學(xué)模型，將“難點(diǎn)”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。新形勢下的問題”轉(zhuǎn)變?yōu)槌Ｒ?guī)命題。 4. 選擇相關(guān)數(shù)學(xué)定律進(jìn)行求解。 在上述環(huán)節(jié)中，根據(jù)問題情況建立的數(shù)學(xué)模型是最關(guān)鍵的，也是最困難的環(huán)節(jié)。 所謂數(shù)學(xué)模型，是人們?yōu)榱吮阌谘芯炕瘜W(xué)問題、解釋事物本質(zhì)，借助科學(xué)的表述和概括。 如質(zhì)點(diǎn)的自由落體運(yùn)動(dòng)、質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)、簡擺的簡諧振動(dòng)、均勻電場或磁場中點(diǎn)電荷的運(yùn)動(dòng)、串并聯(lián)電路等。 這些數(shù)學(xué)模型通常是由更原始的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的。 原數(shù)學(xué)模型分為：質(zhì)點(diǎn)、光繩、光桿、光彈簧、光滑水平面、同步衛(wèi)星、簡擺、電場線、等勢面、磁感應(yīng)線、彈簧振子、理想二氧化碳、點(diǎn)電荷、理想水表、理想變壓器、均勻電場、均勻磁場、點(diǎn)光源、光、原子模型等； 按物體的運(yùn)動(dòng)方式或化學(xué)過程可分為：勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻變速運(yùn)動(dòng)（自由落體、垂直向上拋、平拋）、勻速圓周運(yùn)動(dòng)、簡諧振動(dòng)、彈性碰撞、完全非彈性碰撞等； 根據(jù)典型數(shù)學(xué)問題可分為炮彈鍛鐵、機(jī)車起動(dòng)（恒功率或加速起動(dòng)）、簡諧波等模型。
雖然所謂“建模”，就是通過表征、理想化、簡化和類比，將具有實(shí)際色調(diào)的數(shù)學(xué)對(duì)象或化學(xué)過程轉(zhuǎn)化為理想的數(shù)學(xué)模型。 如何從復(fù)雜的實(shí)際問題中具體化數(shù)學(xué)模型？ 這就需要對(duì)給定的信息進(jìn)行提煉和加工，突出主要誘因，忽略次要誘因（通過思維加工，運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒ǎl(fā)現(xiàn)新問題和熟悉的問題），可以將新信息的數(shù)學(xué)模型與原有知識(shí)聯(lián)系起來。保持暢通無阻，使新問題能夠順利建模，建立符合新情況的數(shù)學(xué)模型（注意數(shù)學(xué)模型的正確建立）以下幾點(diǎn)：（1）培養(yǎng)思考習(xí)慣根據(jù)數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)定律分析問題。 結(jié)合詳細(xì)描述的現(xiàn)象和給出的條件，確定問題的性質(zhì)； 同時(shí)，把握現(xiàn)象的特點(diǎn)，尋找因果關(guān)系。 (2)理想化方法是建立數(shù)學(xué)模型的重要方法。 理想化方法的本質(zhì)是抓住主要矛盾，近似地處理實(shí)際問題。 因此，分析問題時(shí)要有比較意識(shí)和權(quán)衡意識(shí)。 （三）要深入掌握典型數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)特征，不斷積累典型模型并靈活運(yùn)用。 例如，在研究碰撞時(shí)，總結(jié)了彈性碰撞和完全非彈性碰撞兩種模型，但后來發(fā)現(xiàn)有些模型在時(shí)間上更有效 長非碰撞問題也有相同的物理方法，所以這類問題也可以包含在這兩個(gè)模型中，并且可以直接應(yīng)用這兩個(gè)模型的推論。 在粒子散射實(shí)驗(yàn)中，粒子與重金屬核的作用是非接觸的靜電力，因?yàn)閯?dòng)能守恒也可以包含在彈性碰撞模型中。
2、幾個(gè)案例分析 【例1】舉重是一項(xiàng)力量與方法充分結(jié)合的運(yùn)動(dòng)。 就“抓舉”而言，其技術(shù)動(dòng)作可分為六個(gè)步驟：準(zhǔn)備、啞鈴舉起、用力、深蹲支撐、起立、臥推放下。 圖 1 中的照片顯示了其中的幾種狀態(tài)。 照片中車輪的半徑現(xiàn)在測量為 1.0。 已知運(yùn)動(dòng)員舉起的啞鈴半徑為45~運(yùn)動(dòng)員從大號(hào)舉到支撐物的質(zhì)量為~0.8~嘗試估算一下skg啞鈴從大號(hào)舉起到支撐物的高度h ～估計(jì)啞鈴在這個(gè)過程中向下運(yùn)動(dòng)的最大速度1度，如果將運(yùn)動(dòng)員增加重量時(shí)的斥力簡化為恒力～恒力有多大，h（照片上測得，1.33cm～ h,1.1cm) 12 分析：1（認(rèn)真復(fù)習(xí)：區(qū)分背景材料和有用信息，對(duì)新題和生題要有耐心，深思熟慮關(guān)鍵詞，全面正確理解題意，尋找解題突破口題中所描述的體操實(shí)際情況應(yīng)理想化為典型的化學(xué)情況混合泳中，臥推的舉起分兩個(gè)階段完成（第一階段：從負(fù)重到彎支撐舉起高度。 h1 第二階段：從支架到支架并舉升另一個(gè)高度。 h2 (1)。 本題只涉及第一階段，即可恢復(fù)解題范圍（如下圖）。 （2）。 人體運(yùn)動(dòng)過于復(fù)雜，因此選擇啞鈴作為研究對(duì)象。 關(guān)鍵詞：啞鈴半徑為45，照片上測得h，1.33。 將超重時(shí)的斥力簡化為恒力（構(gòu)建清晰的數(shù)學(xué)情境，并養(yǎng)成畫示意圖的習(xí)慣。
示意圖表示可視化以幫助演示數(shù)學(xué)過程。 比如制作受力圖、準(zhǔn)確捕捉關(guān)鍵圖片是解決動(dòng)態(tài)問題的法寶。 舉重中，舉啞鈴分兩個(gè)階段進(jìn)行（第一階段：從加大號(hào)舉起高度到深蹲支撐。h1 第二階段：從支撐舉起另一個(gè)高度到站立。h23（模型識(shí)別和轉(zhuǎn)換：把主題中的信息提取出來）激活大腦中的相關(guān)記憶編碼，找到最佳匹配，將復(fù)雜、困難或未見過的問題轉(zhuǎn)化為簡單、容易或已經(jīng)解決的問題。如模型識(shí)別、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換等。 (1).施加力( (2)、當(dāng)人伸直并轉(zhuǎn)動(dòng)手腕時(shí)，可以感覺到運(yùn)動(dòng)員對(duì)啞鈴沒有排斥力。在此期間，啞鈴按照之前獲得的速度減速和上升，當(dāng)啞鈴的速度減為零時(shí)，人的相關(guān)部位剛好到達(dá)啞鈴的底部，完成支撐動(dòng)作（如垂直向上投擲模型）。 畫出草圖如下右： 4、根據(jù)出發(fā)點(diǎn)和目標(biāo)，選擇合適的規(guī)律和排列方程的規(guī)律。 5、計(jì)算與驗(yàn)證結(jié)果。 解：設(shè)啞鈴在此過程中的最大速度為v，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式t，得，，1.50 減速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)為t，，0. 加速運(yùn)動(dòng)的位移，=0.49s（t ，t)由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解，2.30m1根據(jù)牛頓第二定律求解，=,mg,maN將體操的實(shí)際情況轉(zhuǎn)化為化學(xué)模型，是回答這個(gè)問題的難點(diǎn)和關(guān)鍵。 能夠轉(zhuǎn)換化學(xué)模型是中學(xué)生能力的體現(xiàn)。
需要很好地感受和把握。 【例2】一塊質(zhì)量為（年和省）的厚板連接到一個(gè)直立的輕彈簧的下端，彈簧的上端固定在地面上（平衡時(shí)，m97彈簧的壓縮是在上方一定距離處自由落體物理轉(zhuǎn)換法的例子，撞到厚板后立即與厚板一起向上移動(dòng)，但不粘住（到達(dá)最高點(diǎn)后向下移動(dòng)（已知物體的質(zhì)量也是 ，它們可以剛好回到原處）地面）到該點(diǎn)（如果物塊的質(zhì)量~仍然從mO2m自由落體，那么物塊和厚板返回到該點(diǎn)時(shí)仍然會(huì)有向下的速度（求最低點(diǎn)與該點(diǎn)之間的距離）方塊向下運(yùn)動(dòng)到哪里AO到達(dá)(O分析：這是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)量和能量綜合問題，是一個(gè)壓軸問題。而我們只要把復(fù)雜的狀態(tài)和整體過程“拆解”，變成一個(gè)個(gè)小過程而我們熟悉的小模型，是可以把難度變得更容易，把復(fù)雜性簡單化的~狀態(tài)1：彈簧被厚板壓縮，平衡時(shí)彈簧的壓縮量為x。 此時(shí)彈簧的彈性勢能設(shè)為.E0p。 過程1：有質(zhì)量的物體自由落體（此時(shí)物體可以體現(xiàn)為粒子模型），Am12的下落距離為3x，最終得到的速度為：,,v,6gx.mg，過程2 ：物體與厚板以最終速度發(fā)生碰撞，碰撞過程的時(shí)間極短（極短的時(shí)間mv0是碰撞的特點(diǎn)）（這個(gè)過程簡化為完全非彈性碰撞），所以由塊體和厚板組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒： 注：碰撞過程中，損失了部分機(jī)械能，因?yàn)椴皇峭暾膍v、2mv01彈性碰撞~過程3：物體與厚板以共同速度將彈簧壓下至最高點(diǎn)v，然后“正好”從最高點(diǎn)回到該點(diǎn)，即速度O1為零，該點(diǎn)就是彈簧處于原始長度的位置，此時(shí)彈簧沒有彈性勢能。 在此過程中，只有重力和彈力做功，由木塊、鋼板O12和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒。 厚板的平衡位置被視為勢能的零點(diǎn)。 初始狀態(tài)的總解析能為：，E，，最終狀態(tài)的總機(jī)械能為：，由機(jī)械能守恒定理：，2mg，x2mg，xE，，當(dāng)塊體的質(zhì)量為，2m過程一：物塊的最終速度仍為.v，6gx00過程二：動(dòng)量守恒過程為物理轉(zhuǎn)換法的例子，即物塊與厚板碰撞后得到的共同速度。 然后從最高點(diǎn)返回到該點(diǎn)，此時(shí)它們?nèi)匀挥邢陆档乃俣取?在這個(gè)過程中，機(jī)械能守恒，有：，，3mg，xE，，3mv，狀態(tài)二：回點(diǎn)時(shí)，仍有塊體和厚板向下的速度，板坯被彈簧拉動(dòng)，塊和板“沒有粘在一起”，所以塊和板將分離。 2v3,h 過程4：木塊與板分離后（此過程恢復(fù)為垂直向上投擲運(yùn)動(dòng)），并以初始速度向下做向上投擲運(yùn)動(dòng)，給人一種無從下手的感覺。
雖然只需要按照時(shí)間或空間的順序來區(qū)分運(yùn)動(dòng)過程，以及這些過程涉及哪些規(guī)律。 這樣，復(fù)雜場景的問題就還原為熟悉的典型運(yùn)動(dòng)模型，復(fù)雜問題迎刃而解。 要順利完成復(fù)原過程，必須具備一些基本技能：熟悉各種運(yùn)動(dòng)模型的規(guī)律、掌握受力分析的方法、掌握力是否做功的方法、掌握判斷機(jī)械能是否有效的方法。系統(tǒng)的動(dòng)量守恒等。A【例3】全省？ 如圖～一對(duì)雜技演員，均視為質(zhì)點(diǎn)，騎在吊床上，吊床繩處于水平位置，從靜止的05點(diǎn)開始繞B點(diǎn)呈條紋狀纏繞～當(dāng)秋千達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)一時(shí)之間，女藝人在極短的時(shí)間內(nèi)將男演員OA推平，之后才得以重回高位。 求男藝術(shù)家的著陸點(diǎn)與 COm1 點(diǎn)之間的水平距離。 眾所周知，男藝人的素質(zhì)與女藝人的素質(zhì)之比，無論吊床mm的質(zhì)量如何，擺動(dòng)的擺長都是該點(diǎn)低于該點(diǎn)。 CO5R分析：這是一個(gè)多過程熱綜合問題。 它以雜技表演為基礎(chǔ)。 它需要一個(gè)具體的理想化模型來理解實(shí)際問題的化學(xué)內(nèi)容，了解問題的數(shù)學(xué)情況。 雜技演員A可以通過在整個(gè)表演過程中放慢攝像機(jī)的速度，將化學(xué)過程分解為幾個(gè)最簡單的子過程。 男女藝人首先合作從BB條紋到重點(diǎn)。 在該子過程中，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒； 在A點(diǎn)，女藝術(shù)家在很短的時(shí)間內(nèi)水平推動(dòng)男藝術(shù)家，男女的水平動(dòng)量守恒； 眾人分開后，男藝人進(jìn)行平投練習(xí)，女藝人則繼續(xù)搖擺吊床，回歸正題。
只要我們對(duì)這三個(gè)化學(xué)過程進(jìn)行建模并枚舉多項(xiàng)式，我們就可以成功回答這個(gè)問題。 ABv假設(shè)男女藝人從領(lǐng)口到點(diǎn)的總速度為12v，2gR由機(jī)械能守恒定律求解(m,m),gR,(m,m)，女藝人移動(dòng)男藝人沿著線在很短的時(shí)間內(nèi)將其水平方向推出。 設(shè)男性和女性藝術(shù)家的速度分別為 。 此時(shí)vv(m,m),2gR,mv,mv處理系統(tǒng)。 女藝術(shù)家的水平動(dòng)量守恒是在回到吊床的過程中，因?yàn)榛氐秸}，根據(jù)機(jī)械守恒定律：Av，2gR代入上式即可得到v，則男藝人終于以速度 vs、vt、22gR、、8R1g 平拋了 這個(gè)問題是一個(gè)貼近現(xiàn)實(shí)的好問題。 它考察考生分析、理解和處理化學(xué)問題的能力。 對(duì)于這些問題，在回答這些問題時(shí)，快速構(gòu)建和傳遞數(shù)學(xué)模型、分析問題的條件、可視化原型對(duì)象的數(shù)學(xué)條件和特征是非常重要的。 從而實(shí)現(xiàn)每一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程及其所遵循的規(guī)則。 【例4】“跳板跳水”的運(yùn)動(dòng)過程可以簡化為：運(yùn)動(dòng)員在跳板上行走，跳板被壓縮到最高點(diǎn)C，跳板將運(yùn)動(dòng)員垂直向下彈起3米到最低點(diǎn)A ，然后運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行自由落體~直接落到水底。 將運(yùn)動(dòng)視為質(zhì)點(diǎn)。 已知運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量為~，重力加速度為~，以跳板水平點(diǎn)為~，空間與海面的垂直距離分別為，如圖所示，求：hh23,1，運(yùn)動(dòng)員入水前的速度，，2，跳板被壓縮到最高點(diǎn)時(shí)的彈性勢能，假設(shè)BCC運(yùn)動(dòng)員在到達(dá)過程中獲得的機(jī)械能為小于跳板最大彈性勢能的1倍。
kk分析：運(yùn)動(dòng)員的跳水過程是一個(gè)非常復(fù)雜的過程，主要是垂直的上下動(dòng)作，也有水平的動(dòng)作，以及運(yùn)動(dòng)員做出的各種動(dòng)作。 建立體育模式，要抓住主要激勵(lì)因素。 現(xiàn)在要討論的是運(yùn)動(dòng)員入水前的速度。 入水前的速度與運(yùn)動(dòng)員的各種動(dòng)作和水平運(yùn)動(dòng)根本無關(guān)。 應(yīng)由垂直運(yùn)動(dòng)來確定。 因此，忽略運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)，將運(yùn)動(dòng)員視為粒子，同時(shí)忽略其水平運(yùn)動(dòng)。 事實(shí)上，這兩個(gè)主題已經(jīng)得到了解釋，因此對(duì)“建模”的要求在一定程度上降低了，但我們應(yīng)該了解這種做法的動(dòng)機(jī)。 這樣，我們就將問題細(xì)化為粒子自由落體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型。 定性松動(dòng)化學(xué)模型后，應(yīng)對(duì)模型進(jìn)行細(xì)化，使其更加清晰。 A(1) 運(yùn)動(dòng)員到達(dá)海面的過程中機(jī)械能守恒，有： 12mg(h, h), , 2g(h, h) 解： 13B(2) 到達(dá)海面的過程中運(yùn)動(dòng)員到達(dá)海面，運(yùn)動(dòng)員與跳板形成一個(gè)系統(tǒng) 運(yùn)動(dòng)員的部分彈性勢能轉(zhuǎn)化為運(yùn)動(dòng)員的重力勢能，即：CkE,mg(h,h)P12 求解：E ,mg(h,h)/kP12 綜上所述，在應(yīng)用數(shù)學(xué)概念、規(guī)律分析與求解處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，只要能夠在問題的背景下構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，問題就會(huì)得到解決。 為此，我們必須深入掌握典型數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)特征，不斷積累典型模型，并靈活運(yùn)用。
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