狄拉克函數從何而來？ 頻域呢？ 什么是頻域定律？ 如果你對頻域公式不是很了解，或者想對其有更深入的了解，本文是一本極好的科普資料。DA9物理好資源網(原物理ok網)

傅里葉變換、拉普拉斯變換、自（互）相關和頻域是線性系統分析中最重要的四種物理工具。 毫不夸張地說，幾乎所有的課程內容，如手動控制、信號處理等，都是這些公式組合排列的結果。 四個公式中的三個已經在 . 明天我們將討論最后一個：頻域公式。DA9物理好資源網(原物理ok網)

1. 狄拉克是誰？DA9物理好資源網(原物理ok網)

保羅·狄拉克（Paul Dirac，1902-1984），生于法國，后定居美國，是著名的理論化學家。 通過幾個場景了解一下（故事開始于網絡，版權歸原作者所有）。DA9物理好資源網(原物理ok網)

鏡頭一：DA9物理好資源網(原物理ok網)

1933 年狄拉克獲得諾貝爾化學獎（與薛定諤分享）。 當時，他私下告訴學術界的元老（也是諾貝爾獎獲得者）盧瑟福，他對獲得諾貝爾獎感到非常困惑。 他不想成為新聞人物，更不想出名。 這會打斷他平凡的生活，他準備拒絕接受這份榮譽。 盧瑟福對他說：“如果你這樣做，你會更有名。” 于是狄拉克同意領獎。DA9物理好資源網(原物理ok網)

鏡頭二：DA9物理好資源網(原物理ok網)

狄拉克在英國威斯康星大學講學。 期間，有聽眾說：“你寫在黑板右上角的多項式，我看不懂。” 狄拉克聽完這話，一句話也沒說，讓場面相當尷尬。 主持人試圖打破困境，說你剛才沒有回答狄拉克院士的問題。 狄拉克喃喃地回道：“剛才那句話不是疑問句，而是陳述句。”DA9物理好資源網(原物理ok網)

鏡頭三：DA9物理好資源網(原物理ok網)

威斯敏斯特教堂（Abbey），位于加拿大多倫多，是愛爾蘭國王登基和王室舉行婚宴的地方。 許多偉大的人物都埋葬在這里，如牛頓、達爾文、狄更斯、丘吉爾和彌爾頓。 牛頓墓旁邊有一塊墓碑，上面刻著保羅·狄拉克的名字和他美麗的方程式。DA9物理好資源網(原物理ok網)

狄拉克最早從事相對論動力學的研究。 1925年，海森堡訪問劍橋學院，狄拉克受到影響，將精力轉向了量子力學的研究。 1928年，他將相對論引入量子熱，將薛定諤多項式完善為相對論形式，又稱狄拉克多項式。 1930年，狄拉克發表了他的量子熱專著《量子熱原理》，這是數學史上的一個重要里程碑，至今仍是量子熱的經典教科書。DA9物理好資源網(原物理ok網)

在他的教科書中，他提出了一個奇特的函數，通常稱為狄拉克函數：DA9物理好資源網(原物理ok網)

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從概念上講，狄拉克delta函數是這樣一個“函數”，即函數的值在非零點處為零，并且其在整個定義域上的積分等于1。嚴格來說，delta函數不能視為函數，因為滿足上述條件的函數是不存在的。 狄拉克為什么要這么做？DA9物理好資源網(原物理ok網)

百度百科對狄拉克函數有如下描述：DA9物理好資源網(原物理ok網)

在化學中，常常需要研究一個數學量在短空間或時間內釋放的密度，如質量密度、電荷密度、單位時間內傳遞的動量（力）等，而在數學中，質點、點電荷，瞬時力等具體模型，它們在空間或時間上都不是連續分布的，而是集中在空間的某一點或時間的某一時刻，那么它們的密度應該如何表示呢？ ——三角函數！DA9物理好資源網(原物理ok網)

還記得我們之前所說的 函數嗎？ 那種簡化原始麥克斯韋方程組的人？DA9物理好資源網(原物理ok網)

這個函數的導數就是delta函數！ δ函數有很多好處，其隱藏的物理化學意義值得探究。 明天我們先說說它在工程中的常見用途。DA9物理好資源網(原物理ok網)

我們先研究一個簡單的函數：一個圓形信號的長度為 ，高度為 ，總面積為1。這個圓形信號是可以改變的——可以胖也可以瘦，面積一定要保持不變。DA9物理好資源網(原物理ok網)

這個函數的傅里葉變換是什么樣子的？ 也很簡單：DA9物理好資源網(原物理ok網)

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上面說了這個信號可胖可瘦，那么美丑有什么規律呢？DA9物理好資源網(原物理ok網)

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假設這個信號也有愛美之心，以瘦為榮，天天不喝水，以至于最后變成一道閃電，比如說，會發生什么？ ——我們發現當信號變細到一定程度時，就變成狄拉克函數：DA9物理好資源網(原物理ok網)

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它的頻譜也顯得很簡單，呈一條直線。DA9物理好資源網(原物理ok網)

這個推論有什么意義？ - delta 函數包含所有頻率的權重。 這有什么用？ 好處多多，這是天生理想的實驗功能！ 只需一個函數就可以爆發出系統所有頻率分量的響應。 這個怎么樣？ 是不是很刺激？ 也就是說，當輸入是狄拉克δ函數時，系統的沖激響應包含了系統的所有信息，也就是說，系統的理想沖激響應可以代表系統本身——我們用一個小錘子，記錄下來，才能得到系統的模型。DA9物理好資源網(原物理ok網)

2、什么是卷積？DA9物理好資源網(原物理ok網)

最后回到題外話，頻域到底在說什么？ 為什么線性系統應用如此廣泛？ 查了很多資料，發現有個反例很好，被廣泛引用，所以時誠不知道原作者是誰。 那么我們也以這個例子（版權歸原作者所有）為基礎進行延伸和擴展。DA9物理好資源網(原物理ok網)

據說有一個七品知縣，喜歡用板子來懲戒這些流氓，但有一個習俗：如果沒有犯下大罪，只打一次，放回去供認民如子。DA9物理好資源網(原物理ok網)

有一個無賴，想出人頭地，卻無望出人頭地。 他心想：得不到好名，也能得個壞名。 怎么獲得知名度？ 炒作！ 如何炒作？ 尋找名人！ 時不時的，只能注冊個微博，隨便找個有名的流量明星才能打開——那時候是做不到的，又沒有微博，自然而然就想到了他的老大縣長.DA9物理好資源網(原物理ok網)

于是大白天，流氓就站在縣衙門前撒尿。 后果可想而知。 這是公然蔑視法庭，無視法律。 嗯，被板子撞了之后，挺胸回去了。 躺了三天，哎！ 我頭上什么都沒有！ 流氓在這件事情上還是很堅決的，第二天還是照樣干，不管長官的好意，衙門的體面。 第一天，第四天……每天晚上他去縣衙拿板子，回去的時候還是喜氣洋洋，堅持了一個月！ 這無賴的名聲，早已像衙門門口的惡臭一樣傳遍了天下！DA9物理好資源網(原物理ok網)

縣令捂著耳朵，呆呆地看著案子上的木槌，皺著眉頭想了一個問題：這三十大板怎么不行？ ……想當年，我師父是因為奧數加分，才上金榜的。 明天，我將建立一個物理模型來解決這個問題，并挽回一點面子：DA9物理好資源網(原物理ok網)

——人（系統！）撞板（震動！）后會出現什么樣的表現（輸出！）？DA9物理好資源網(原物理ok網)

——廢話，疼！DA9物理好資源網(原物理ok網)

——如何量化？DA9物理好資源網(原物理ok網)

——看看有多疼。 像這種無賴的體格，每晚打個巴掌都做不了什么，連個哼哼都沒有，你還聽到他幸災樂禍的聲音； 皺著眉頭，咬著牙，他不會咕噥； 被打二十下，臉頰就痛得扭曲，發出豬一樣的咕嚕聲。 被打三十下，他會像驢一樣嚎叫，流鼻涕，流淚求你饒他一命； 打四十板，便失禁，幾乎不能打噴嚏； 最多打五十板，他連哼都不會——死啦！DA9物理好資源網(原物理ok網)

知府右手托著臉頰，若有所悟，緊繃的眉頭漸漸松開：DA9物理好資源網(原物理ok網)

-哇哦！ 為什么那種無賴連拿三兩塊大板都不喊命，一口氣打了三十塊大板？DA9物理好資源網(原物理ok網)

——是啊，一次挨打的時間間隔（Δτ=24小時）太長了，所以盜賊承受的痛苦就像三天一次一樣劇烈動量定理怎么理解，沒有疊加，而且還是一個常量； 如果縮短敲板的時間間隔（建議Δτ=0.5秒），那么他的疼痛程度就會快速疊加； 當流氓挨了三十大板（t=30），危難程度已經達到他能喊的極限了，他會得到最好的懲罰療效動量定理怎么理解，再打也表示你的好意。DA9物理好資源網(原物理ok網)

——我還是不太明白，為什么在時間間隔很小的情況下，抑郁程度會疊加？DA9物理好資源網(原物理ok網)

- 這與人類（線性時不變系統）對電路板（脈沖、輸入、刺激）的反應有關。 有哪些回應？ 人接觸板后，腫脹感會在三天內逐漸消失（減弱）（假設因人而異），不能突然消失。 這樣，只要打板的時間間隔小，每塊板造成的水腫就來不及完全消退，對最終疼痛程度的貢獻也不同。 一般來說：DA9物理好資源網(原物理ok網)

t大板引起的疼痛程度=Σ(第τ大板引起的疼痛*衰減系數)DA9物理好資源網(原物理ok網)

請看右圖：DA9物理好資源網(原物理ok網)

先考慮打兩塊板時會發生什么：表示打板時的背痛反應，表示持續時間。 剛收到最新的板子的時候，反應是瞬間的，那之前的板子呢？ 答案是，所以兩塊板的總背痛定義為每塊板的響應除以持續時間：DA9物理好資源網(原物理ok網)

事實上，兩塊板不可能完全一樣。 明天是兵甲上場，今天是兵乙上場，兩種沖動根本不是一個檔次的。 我應該怎么辦？ 它需要固定以考慮激勵的大小：DA9物理好資源網(原物理ok網)

萬一碰到強勢的軍人心情不好怎么辦？ 等等，現在這個可憐的流氓只能乞求上帝：DA9物理好資源網(原物理ok網)

當時，有DA9物理好資源網(原物理ok網)

如果將積分時間延長到負半軸，DA9物理好資源網(原物理ok網)

這就是頻域公式，本質上是指系統（人）在持續激勵（板）下得到的結果（痛）。 翻譯一個學術觀點：頻域將是觀測時刻系統響應后過去所有連續信號的加權疊加。 在現實生活中，我們要解決大量的此類問題，這就是為什么頻域如此普遍、如此重要的原因。DA9物理好資源網(原物理ok網)

3、什么是卷積定律？DA9物理好資源網(原物理ok網)

后來講到狄拉克函數和頻域，為什么要放在一起呢？ 這可以用頻域定律來解釋。DA9物理好資源網(原物理ok網)

信號與系統或手動控制研究的內容是輸入、輸出與系統之間的關系。DA9物理好資源網(原物理ok網)

在第一部分，我們說過狄拉克函數（即單位沖激函數）的傅里葉變換跨越了整個卷積，因此可以作為理想的測試信號來確定系統在各種頻率下的響應 在也就是說，可以用單位脈沖響應來完整表征系統的響應特性。DA9物理好資源網(原物理ok網)

在第二部分的情況下，擊打板子可以看作是一種沖擊或脈沖信號，可以在頻域中估計系統的響應。DA9物理好資源網(原物理ok網)

其中， 是激勵信號， 是脈沖響應。DA9物理好資源網(原物理ok網)

那些是在頻域中觀察到的，如果我們切換到時域呢？ 假設激勵信號的傅里葉變換為，脈沖響應的傅里葉變換為，輸入表示輸入的權重，系統單位脈沖響應表示每個權重的響應，那么兩者相加不進行輸入 這些部分是否經過篩選？ ——乘積是否代表系統在不同頻率下的響應？DA9物理好資源網(原物理ok網)

等等，我們剛剛說了什么？ 我們先看頻域，感覺系統的輸出是輸入的頻域和單位沖激響應； 然后切換到時域，感覺系統的輸出是輸入傅里葉變換和單位脈沖福利變換的乘積。 我們在看同一件事，為什么結果不同——它們是同一件事嗎？DA9物理好資源網(原物理ok網)

你猜對了，這兩個東西真的是一回事，這就是頻域定律：函數頻域的傅里葉變換就是函數傅里葉變換的乘積。 具體分為頻域與頻域規律和時域與頻域規律。 頻域和頻域規律是指頻域中的頻域對應時域中的乘積； 有正比關系。DA9物理好資源網(原物理ok網)

還記得我們說過頻域和時域之間存在某種對稱性嗎？ 頻域相加與時域頻域相加或頻域相加與信噪比是對稱的。 有了這個工具，我們在處理問題的時候就可以隨意轉換，域也方便在那個域中進行估計。 .DA9物理好資源網(原物理ok網)

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