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狄拉克函數(shù)從何而來？頻域呢？什么是頻域定律？如果你對(duì)頻域公式不是很了解，或者想對(duì)其有更深入的了解，本文是一本極好的科普資料。

傅里葉變換、拉普拉斯變換、自（互）相關(guān)和頻域是線性系統(tǒng)分析中最重要的四種物理工具。毫不夸張地說，幾乎所有的課程內(nèi)容，如手動(dòng)控制、信號(hào)處理等，都是這些公式組合排列的結(jié)果。四個(gè)公式中的三個(gè)已經(jīng)在 . 明天我們將討論最后一個(gè)：頻域公式。

1. 狄拉克是誰？

保羅·狄拉克（Paul Dirac，1902-1984），生于法國，后定居美國，是著名的理論化學(xué)家。通過幾個(gè)場景了解一下（故事開始于網(wǎng)絡(luò)，版權(quán)歸原作者所有）。

鏡頭一：

1933 年狄拉克獲得諾貝爾化學(xué)獎(jiǎng)（與薛定諤分享）。當(dāng)時(shí)，他私下告訴學(xué)術(shù)界的元老（也是諾貝爾獎(jiǎng)獲得者）盧瑟福，他對(duì)獲得諾貝爾獎(jiǎng)感到非常困惑。他不想成為新聞人物，更不想出名。這會(huì)打斷他平凡的生活，他準(zhǔn)備拒絕接受這份榮譽(yù)。盧瑟福對(duì)他說：“如果你這樣做，你會(huì)更有名?！?于是狄拉克同意領(lǐng)獎(jiǎng)。

鏡頭二：

狄拉克在英國威斯康星大學(xué)講學(xué)。期間，有聽眾說：“你寫在黑板右上角的多項(xiàng)式，我看不懂?！?狄拉克聽完這話，一句話也沒說，讓場面相當(dāng)尷尬。主持人試圖打破困境，說你剛才沒有回答狄拉克院士的問題。狄拉克喃喃地回道：“剛才那句話不是疑問句，而是陳述句?！?span style="display:none">Asq物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

鏡頭三：

威斯敏斯特教堂（Abbey），位于加拿大多倫多，是愛爾蘭國王登基和王室舉行婚宴的地方。許多偉大的人物都埋葬在這里，如牛頓、達(dá)爾文、狄更斯、丘吉爾和彌爾頓。牛頓墓旁邊有一塊墓碑，上面刻著保羅·狄拉克的名字和他美麗的方程式。

狄拉克最早從事相對(duì)論動(dòng)力學(xué)的研究。 1925年，海森堡訪問劍橋?qū)W院，狄拉克受到影響，將精力轉(zhuǎn)向了量子力學(xué)的研究。 1928年，他將相對(duì)論引入量子熱，將薛定諤多項(xiàng)式完善為相對(duì)論形式，又稱狄拉克多項(xiàng)式。 1930年，狄拉克發(fā)表了他的量子熱專著《量子熱原理》，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)重要里程碑，至今仍是量子熱的經(jīng)典教科書。

在他的教科書中，他提出了一個(gè)奇特的函數(shù)，通常稱為狄拉克函數(shù)：

但很滿意

從概念上講，狄拉克delta函數(shù)是這樣一個(gè)“函數(shù)”，即函數(shù)的值在非零點(diǎn)處為零，并且其在整個(gè)定義域上的積分等于1。嚴(yán)格來說，delta函數(shù)不能視為函數(shù)，因?yàn)闈M足上述條件的函數(shù)是不存在的。狄拉克為什么要這么做？

百度百科對(duì)狄拉克函數(shù)有如下描述：

在化學(xué)中，常常需要研究一個(gè)數(shù)學(xué)量在短空間或時(shí)間內(nèi)釋放的密度，如質(zhì)量密度、電荷密度、單位時(shí)間內(nèi)傳遞的動(dòng)量（力）等，而在數(shù)學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷，瞬時(shí)力等具體模型，它們?cè)诳臻g或時(shí)間上都不是連續(xù)分布的，而是集中在空間的某一點(diǎn)或時(shí)間的某一時(shí)刻，那么它們的密度應(yīng)該如何表示呢？ ——三角函數(shù)！

還記得我們之前所說的函數(shù)嗎？那種簡化原始麥克斯韋方程組的人？

這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)就是delta函數(shù)！ δ函數(shù)有很多好處，其隱藏的物理化學(xué)意義值得探究。明天我們先說說它在工程中的常見用途。

我們先研究一個(gè)簡單的函數(shù)：一個(gè)圓形信號(hào)的長度為，高度為，總面積為1。這個(gè)圓形信號(hào)是可以改變的——可以胖也可以瘦，面積一定要保持不變。

這個(gè)函數(shù)的傅里葉變換是什么樣子的？也很簡單：

動(dòng)量定理怎么理解_期權(quán)平價(jià)定理怎么理解_中心極限定理怎么理解

上面說了這個(gè)信號(hào)可胖可瘦，那么美丑有什么規(guī)律呢？

clc;?clear?all;?close?all;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N=10000;?????????????????????????????????????%?sampling?numbers
Tau0=1;??????????????????????????????????????%?define?initial?Tau
for?i=1:100
????Tau=Tau0/i;?
????TimeRange=linspace(-10*Tau,10*Tau,N);????????%?display?time?range
????FreqRange=linspace(-200*pi/i,200*pi/i,N);????%?display?frequency?range
????Half_Tau=Tau/2;??????????????????????????????%?-0.5?Tao?==>?0.5?Tao
????RECT=1/Tau*double(abs(TimeRange)%?one?rectangular?pulse
????SINC=sinc(FreqRange*Tau*pi);?????????????????%?sinc?pulse,?Xtra
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????subplot(2,1,1);
????plot(TimeRange,RECT,'LineWidth',1.5);?grid?on;
????xlim([-1?1]);?ylim([-0.5?120]);
????xlabel('Time');?ylabel('Amplitude');
????title('Made?by?J?Pan')
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????plot(FreqRange,SINC,'LineWidth',1.5);?grid?on;?
????xlim([-200*pi/i?200*pi/i])；ylim([-0.5?1.5]);?
????xlabel('Frequency');?ylabel('Amplitude');
????title('Made?by?J?Pan')
????drawnow;???
end

假設(shè)這個(gè)信號(hào)也有愛美之心，以瘦為榮，天天不喝水，以至于最后變成一道閃電，比如說，會(huì)發(fā)生什么？ ——我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)信號(hào)變細(xì)到一定程度時(shí)，就變成狄拉克函數(shù)：

但很滿意

它的頻譜也顯得很簡單，呈一條直線。

這個(gè)推論有什么意義？ - delta 函數(shù)包含所有頻率的權(quán)重。這有什么用？好處多多，這是天生理想的實(shí)驗(yàn)功能！只需一個(gè)函數(shù)就可以爆發(fā)出系統(tǒng)所有頻率分量的響應(yīng)。這個(gè)怎么樣？是不是很刺激？也就是說，當(dāng)輸入是狄拉克δ函數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)包含了系統(tǒng)的所有信息，也就是說，系統(tǒng)的理想沖激響應(yīng)可以代表系統(tǒng)本身——我們用一個(gè)小錘子，記錄下來，才能得到系統(tǒng)的模型。

2、什么是卷積？

最后回到題外話，頻域到底在說什么？為什么線性系統(tǒng)應(yīng)用如此廣泛？查了很多資料，發(fā)現(xiàn)有個(gè)反例很好，被廣泛引用，所以時(shí)誠不知道原作者是誰。那么我們也以這個(gè)例子（版權(quán)歸原作者所有）為基礎(chǔ)進(jìn)行延伸和擴(kuò)展。

據(jù)說有一個(gè)七品知縣，喜歡用板子來懲戒這些流氓，但有一個(gè)習(xí)俗：如果沒有犯下大罪，只打一次，放回去供認(rèn)民如子。

有一個(gè)無賴，想出人頭地，卻無望出人頭地。他心想：得不到好名，也能得個(gè)壞名。怎么獲得知名度？炒作！如何炒作？尋找名人！時(shí)不時(shí)的，只能注冊(cè)個(gè)微博，隨便找個(gè)有名的流量明星才能打開——那時(shí)候是做不到的，又沒有微博，自然而然就想到了他的老大縣長.

于是大白天，流氓就站在縣衙門前撒尿。后果可想而知。這是公然蔑視法庭，無視法律。嗯，被板子撞了之后，挺胸回去了。躺了三天，哎！我頭上什么都沒有！流氓在這件事情上還是很堅(jiān)決的，第二天還是照樣干，不管長官的好意，衙門的體面。第一天，第四天……每天晚上他去縣衙拿板子，回去的時(shí)候還是喜氣洋洋，堅(jiān)持了一個(gè)月！這無賴的名聲，早已像衙門門口的惡臭一樣傳遍了天下！

縣令捂著耳朵，呆呆地看著案子上的木槌，皺著眉頭想了一個(gè)問題：這三十大板怎么不行？ ……想當(dāng)年，我?guī)煾甘且驗(yàn)閵W數(shù)加分，才上金榜的。明天，我將建立一個(gè)物理模型來解決這個(gè)問題，并挽回一點(diǎn)面子：

——人（系統(tǒng)！）撞板（震動(dòng)！）后會(huì)出現(xiàn)什么樣的表現(xiàn)（輸出！）？

——廢話，疼！

——如何量化？

——看看有多疼。像這種無賴的體格，每晚打個(gè)巴掌都做不了什么，連個(gè)哼哼都沒有，你還聽到他幸災(zāi)樂禍的聲音；皺著眉頭，咬著牙，他不會(huì)咕噥；被打二十下，臉頰就痛得扭曲，發(fā)出豬一樣的咕嚕聲。被打三十下，他會(huì)像驢一樣嚎叫，流鼻涕，流淚求你饒他一命；打四十板，便失禁，幾乎不能打噴嚏；最多打五十板，他連哼都不會(huì)——死啦！

知府右手托著臉頰，若有所悟，緊繃的眉頭漸漸松開：

-哇哦！為什么那種無賴連拿三兩塊大板都不喊命，一口氣打了三十塊大板？

——是啊，一次挨打的時(shí)間間隔（Δτ=24小時(shí)）太長了，所以盜賊承受的痛苦就像三天一次一樣劇烈動(dòng)量定理怎么理解，沒有疊加，而且還是一個(gè)常量；如果縮短敲板的時(shí)間間隔（建議Δτ=0.5秒），那么他的疼痛程度就會(huì)快速疊加；當(dāng)流氓挨了三十大板（t=30），危難程度已經(jīng)達(dá)到他能喊的極限了，他會(huì)得到最好的懲罰療效動(dòng)量定理怎么理解，再打也表示你的好意。

——我還是不太明白，為什么在時(shí)間間隔很小的情況下，抑郁程度會(huì)疊加？

- 這與人類（線性時(shí)不變系統(tǒng)）對(duì)電路板（脈沖、輸入、刺激）的反應(yīng)有關(guān)。有哪些回應(yīng)？人接觸板后，腫脹感會(huì)在三天內(nèi)逐漸消失（減弱）（假設(shè)因人而異），不能突然消失。這樣，只要打板的時(shí)間間隔小，每塊板造成的水腫就來不及完全消退，對(duì)最終疼痛程度的貢獻(xiàn)也不同。一般來說：

t大板引起的疼痛程度=Σ(第τ大板引起的疼痛*衰減系數(shù))

請(qǐng)看右圖：

先考慮打兩塊板時(shí)會(huì)發(fā)生什么：表示打板時(shí)的背痛反應(yīng)，表示持續(xù)時(shí)間。剛收到最新的板子的時(shí)候，反應(yīng)是瞬間的，那之前的板子呢？答案是，所以兩塊板的總背痛定義為每塊板的響應(yīng)除以持續(xù)時(shí)間：

事實(shí)上，兩塊板不可能完全一樣。明天是兵甲上場，今天是兵乙上場，兩種沖動(dòng)根本不是一個(gè)檔次的。我應(yīng)該怎么辦？它需要固定以考慮激勵(lì)的大?。?span style="display:none">Asq物理好資源網(wǎng)(原物理ok網(wǎng))

萬一碰到強(qiáng)勢(shì)的軍人心情不好怎么辦？等等，現(xiàn)在這個(gè)可憐的流氓只能乞求上帝：

當(dāng)時(shí)，有

如果將積分時(shí)間延長到負(fù)半軸，

這就是頻域公式，本質(zhì)上是指系統(tǒng)（人）在持續(xù)激勵(lì)（板）下得到的結(jié)果（痛）。翻譯一個(gè)學(xué)術(shù)觀點(diǎn)：頻域?qū)⑹怯^測(cè)時(shí)刻系統(tǒng)響應(yīng)后過去所有連續(xù)信號(hào)的加權(quán)疊加。在現(xiàn)實(shí)生活中，我們要解決大量的此類問題，這就是為什么頻域如此普遍、如此重要的原因。

3、什么是卷積定律？

后來講到狄拉克函數(shù)和頻域，為什么要放在一起呢？這可以用頻域定律來解釋。

信號(hào)與系統(tǒng)或手動(dòng)控制研究的內(nèi)容是輸入、輸出與系統(tǒng)之間的關(guān)系。

在第一部分，我們說過狄拉克函數(shù)（即單位沖激函數(shù)）的傅里葉變換跨越了整個(gè)卷積，因此可以作為理想的測(cè)試信號(hào)來確定系統(tǒng)在各種頻率下的響應(yīng) 在也就是說，可以用單位脈沖響應(yīng)來完整表征系統(tǒng)的響應(yīng)特性。

在第二部分的情況下，擊打板子可以看作是一種沖擊或脈沖信號(hào)，可以在頻域中估計(jì)系統(tǒng)的響應(yīng)。

其中，是激勵(lì)信號(hào)，是脈沖響應(yīng)。

那些是在頻域中觀察到的，如果我們切換到時(shí)域呢？假設(shè)激勵(lì)信號(hào)的傅里葉變換為，脈沖響應(yīng)的傅里葉變換為，輸入表示輸入的權(quán)重，系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)表示每個(gè)權(quán)重的響應(yīng)，那么兩者相加不進(jìn)行輸入這些部分是否經(jīng)過篩選？ ——乘積是否代表系統(tǒng)在不同頻率下的響應(yīng)？

等等，我們剛剛說了什么？我們先看頻域，感覺系統(tǒng)的輸出是輸入的頻域和單位沖激響應(yīng)；然后切換到時(shí)域，感覺系統(tǒng)的輸出是輸入傅里葉變換和單位脈沖福利變換的乘積。我們?cè)诳赐患拢瑸槭裁唇Y(jié)果不同——它們是同一件事嗎？

你猜對(duì)了，這兩個(gè)東西真的是一回事，這就是頻域定律：函數(shù)頻域的傅里葉變換就是函數(shù)傅里葉變換的乘積。具體分為頻域與頻域規(guī)律和時(shí)域與頻域規(guī)律。頻域和頻域規(guī)律是指頻域中的頻域?qū)?yīng)時(shí)域中的乘積；有正比關(guān)系。

還記得我們說過頻域和時(shí)域之間存在某種對(duì)稱性嗎？頻域相加與時(shí)域頻域相加或頻域相加與信噪比是對(duì)稱的。有了這個(gè)工具，我們?cè)谔幚韱栴}的時(shí)候就可以隨意轉(zhuǎn)換，域也方便在那個(gè)域中進(jìn)行估計(jì)。 .

-超過-

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狄拉克函數(shù)從何而來？卷積定理又是什么？

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