第 1 講 控制多項式
在經典熱力學的范疇內，任何流體運動的規律都是基于以下三個基本定理：（1）質量守恒定律； (2) 動量定律； (3)能量守恒定律。 這三個基本定理可以用一組物理方程以積分/微分的方式描述。 估算流體熱（CFD，Fliud）的核心任務是用數值離散的方式求解這個方程，從而得到湍流在離散時間/空間點的數值解。
1. 保守控制多項式的積分法和微分法
連續方程
動量多項式
能量多項式
為了使方程閉合，還應補充流體的狀態多項式。對于完全二氧化碳有
在考慮到控制體積形狀的任意性后，微分方程可以從積分多項式導出。 里面的積分多項式是在控制體空間固定的特殊情況下得到的歐拉型積分多項式。 歐拉積分多項式直觀地反映了質量和動量的守恒關系，也稱為守恒積分多項式。 將高斯定律直接應用于保守積分多項式，并考慮到控制體形狀的任意性而得到的微分多項式稱為保守微分方程。
2.-(NS)方程和歐拉多項式
在直角坐標系下，NS多項式的壓縮方式為
在
若忽略NS多項式中的粘性和熱傳導動量定理方程怎么解，則可得歐拉多項式：
3. 非守恒歐拉多項式
其中 A、B 和 C 是對應于通量項 F、G 和 H 的矩陣，并且
4.保守控制多項式與非保守控制多項式的區別
首先，保守類型的 NS/Euler 多項式可以寫成守恒形式，便于數值研究和編程。
其次，從理論上講動量定理方程怎么解，保守多項式和非保守多項式是等價的，而基于保守多項式和非保守多項式的數值解通常是不等價的。 基于保守多項式的數值解可以直接用于估計具有不連續性（如沖擊波）的湍流，而無需對不連續性進行任何特殊處理。 這些基于保守多項式的數值方法是一種沖擊捕捉方法。 然而，基于非保守多項式的數值方法通常不能正確估計具有激波不連續性的湍流。 為了處理不連續流動，基于非保守多項式的數值方法必須與沖擊波組裝方法結合使用。
激波組裝法是將激波從湍流中分離出來，并以其為邊界。 這種方法的優點是可以準確估計沖擊波的位置，缺點是極其復雜。
激波捕捉方法很簡單，估計的激波不是理想的不連續點，而是幾個網格長度的大梯度結構，可以利用有限差分、有限元等高精度數值方法來計算準確地捕捉到了沖擊波，因此沖擊波捕捉法得到了廣泛的應用。
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