5-3 1. 繞定軸旋轉的剛體的角動量質心上的質量元，繞定軸做圓周運動的角動量為： 2. 旋轉定理 M = 角加速度質點與質點所受扭矩2成反比。內扭力質心任意兩點之間的相互斥力大小相等、方向相反，且在同一條直線上。 兩個力的力臂相等，所以兩個力的力矩大小相等，方向相反。 因此，兩個內力的合力為3。在剛體的情況下，質心被視為由許多質點組成。 對于質點i，假設其質量旋轉定律：當質心繞固定軸旋轉時，質心的角加速度與其角加速度相同 合成的外力矩與轉動的力成反比質心的時刻。 說明： 1）外力矩與旋轉力矩的合成是相對于同一轉軸； 2）旋轉定理的地位等同于粒子動力學中的牛頓第二定理，是解決質心在定軸上旋轉問題的基本多項式。 3. 旋轉力矩 3. 旋轉力矩 1. 定義質心。 旋轉力矩等于每個質點在質心上的質量與每個質點到旋轉軸的距離的平方的乘積之和。 2、說明?轉動力矩為標量；?轉動力矩為加性；?單位：kgm3。 如果質量是連續分布的，則在估計旋轉扭矩時。 軸扭矩。 示例 2. 求質量為 m、半徑為 R 的均勻環的旋轉力矩。軸垂直于環的平面并通過圓心。 mRdm 中均勻圓盤的旋轉力矩。 軸線垂直于圓盤平面并通過圓盤中心。
解：取一個直徑為r，寬度為dr的細環，可知轉動力矩與l無關。 因此，實心圓錐對其軸的旋轉力矩也為 mRdr4，這是影響質心旋轉力矩的原因。 質心的總質量：具有相同形狀、大小和旋轉軸的均勻質心。 總質量越大，轉動力矩越大； ? The of mass 質量分布 質量分布：具有相同形狀、大小和旋轉軸的質心，質量分布離軸越遠，旋轉力矩越大； ? 轉軸位置：質心相同，轉軸位置不同，轉動力矩不同。 4. Axis 4. Axis 兩軸平行，距離為L/2。 可見，如果mLMLL中任意軸與剛體軸平行，距離為d，質心轉動矩為J，則存在平行軸定律： 1) 轉動通過剛體的軸力矩最小； 2) 平行軸定律可用于估計質心的旋轉力矩。 將上述推導推廣 *垂直軸定律 對于板的中心，如果構造坐標系Oxyz，其中z軸垂直于板且Oxy平面在板內，則剛體的旋轉力矩板的軸心等于 x 軸和 y 軸的旋轉力矩 薄環或薄圓柱盤或圓錐的旋轉力矩之和 3. 角動量定律和旋轉定律具有固定軸的剛體基于質心角動量定律：當旋轉軸給定時，作用在質心上的力沖量矩等于旋轉軸角動量的增量重心。 5. 剛體定軸旋轉的旋轉定理的應用 5. 剛體定軸旋轉的旋轉定理的應用 題目類型 1. 給定旋轉力矩和轉矩，求角加速度； 2.知道旋轉力矩和角加速度，求扭矩； 3. 給定扭矩和角加速度，求旋轉扭矩。
解題步驟 1.確定研究對象； 2.受力分析； 3、選擇參考系和坐標系； 4.列出運動多項式； 5. 求解多項式； 6. 必要時討論。 注意以下幾點： 1.扭矩和旋轉力矩必須指同一根旋轉軸； 2、應選擇轉軸的正方向，以便于確定已知扭矩或角加速度、角速率的正負； 3.當系統既有旋轉物體又有平面物體時，旋轉物體根據旋轉定理構造多項式，平面物體根據牛頓定理構造多項式。 示例 1. 質量為 M 和半徑為 R 的定滑輪（作為一個均勻的圓盤）纏繞著一根細繩。 繩子的一端固定在滑輪的一側，另一端掛著一個質量為m的物體向下垂。 忽略軸處的摩擦力，求物體m從靜止下降到高度h的速度和此時滑輪的角速度。 一種均勻的細直桿，由 mghah 制成剛體的角動量定理公式，其兩端有固定的光滑水平軸，因此可以在垂直平面內旋轉。 初始桿靜止在水平位置，求其在該條紋角處的角加速度和角速度。 解：桿條條紋是加速過程，外扭是重力對O的扭轉。取上面質量元dm，當桿在套角時，重扭矩為： 則求角速率例3 . 如圖所示，質量為 m、直徑為 R 的均質圓盤繞其中心在水平臺上旋轉。 設圓盤與工作臺之間的摩擦系數為μ，圓盤以角速率ω轉動多長時間才能靜止？ 解：以圓盤為研究對象，它受到重力、工作臺的支撐力和摩擦力的作用，前兩個力對中心軸的力矩為零。
取圓盤上任意一個直徑為r，長度為dr的薄環，整個環所受的摩擦力矩等于環上粒子所受摩擦力矩的總和。 由于環上各質點上摩擦力矩的力臂相等剛體的角動量定理公式，力矩方向相同，若取ω方向為正方向，則整個環上的力矩為M在整個圓盤上 四、剛體定軸轉動角動量守恒原理 若質心上的總外扭力為零，即M=0=常向量 角動量守恒原理：當作用在質心上的總外扭力為零，或不在合力作用下，質心的角動量保持不變。 討論： 有兩種情況：如果轉矩發生變化，質心角速度也隨轉矩變化，但兩者的乘積不變。 當轉矩變大時，角速度變小； 當旋轉扭矩變小時，角速率變大。 潛水員朱可夫斯基凳子花樣滑冰運動員的旋轉性能慣性導航儀（陀螺儀）角動量守恒的應用角動量守恒定理動量守恒定理自然界中的動量守恒定理能量守恒定理角動量守恒定理電荷守恒， of mass, of mass, of , etc. 例1. 如圖所示，質量為m的炮彈以水平速度射入懸在頂端的長棒上端，而通過后速度降低 3/4。 , 求殼通過桿后的角速度。 已知桿的長度為l，以質量為例 2、如圖，在同一點懸掛單擺和等長的勻速直桿，桿的質量為m等于單擺的擺。 開始時，直桿自然下垂，單擺的擺桿被拉到高度h，使其從靜止狀態下垂，并在垂直位置與直桿彈性碰撞。 求碰撞后直桿上端到達的高度h。 設碰撞后直桿的角速度為v'，擺的速度為v'。 從角動量守恒，彈性碰撞時機械能也守恒：