免費下載！
[!--downpath--]例21行星蝸桿機構的曲柄OO1受轉矩M作用而繞固定鉛直軸O轉動，并推動蝸桿O1在固定水平蝸桿O上滾動如圖所示。設曲柄OO1為均質桿，長l、重P；蝸桿O1為均質圓盤，直徑r、重Q。試求曲柄的角加速度及兩蝸桿接觸處沿切線方向的力。解：以曲柄為研究對象，曲柄作定軸轉動，列舉定軸轉動微分等式OO1MO1OaFnFtRnRtM由運動學關系，有聯立求解(1)~(4)，得O1F'nF'tTNatana1取蝸桿O1剖析，蝸桿O1作平面運動MO1OaFnFtRnRt**忽然解除約束瞬時，桿OA將繞O軸轉動，不再是靜力學問題。這時，??0，??0。須要先求出?，再確定約束力。應用定軸轉動微分等式應用剛體運動定律?OFOxFOyW=mg由前知，質心對軸z的轉動力矩定義為：質心上所有質點的質量與該質點到軸z的垂直距離的平方乘積的算術和。即對于質量連續分布的質心，上式可寫成積分方式由定義可知，轉動力矩除了與質量有關，并且與質量的分布有關；在國際單位制中，轉動力矩的單位是:kg·m2。
同一質心對不同軸的轉動力矩是不同的，而它對某定軸的轉動力矩卻是常數。因而在談及轉動力矩時，必須指明它是對哪一軸的轉動力矩。12.4質心對軸的轉動力矩1.均質細桿12.4.1簡單形狀物體的轉動力矩z1dxxxCzdxxxOl設均質細桿長l，質量為m，取微段dx,則2.均質薄圓環對于中心軸的轉動力矩設細圓環的質量為m，直徑為R。則3.均質圓板對于中心軸的轉動力矩設圓板的質量為m，直徑為R。將圓板分為無數同心的薄圓環，任一圓環的質量為dm＝r·2prdr,r＝m/pR2,于是圓板轉動力矩為12.4.1簡單形狀物體的轉動力矩在工程上常用回轉直徑來估算質心的轉動力矩，其定義為假如已知回轉直徑，則物體的轉動力矩為回轉直徑的幾何意義是：假想地將物體的質量集中到一點處，并保持物體對軸的轉動力矩不變，則該點到軸的距離就等于回轉直徑的厚度。對于幾何形狀相同的均質物體，其回轉直徑相同。12.4.2回轉直徑(慣性直徑)定律：質心對于任一軸的轉動力矩，等于質心對于通過剛體、并與該軸平行的軸的轉動力矩，加上質心的質量與兩軸寬度離平方的乘積，即證明：因14.4.3平行軸定律y,y1z1zdxmCOz＝z1x＝x1r1ryy1x1由剛體座標公式由定律可知：質心對于所有平行軸的轉動力矩，過剛體軸的轉動力矩最小。
當座標原點取在剛體C時,yC＝0,Smiyi＝0,又有Smi＝m,于是得14.4.3平行軸定律例11如圖所示，已知均質桿的質量為m，對z1軸的轉動力矩為J1，求桿對z2的轉動力矩J2。解：由，得平行軸定律(1)－(2)得zz1z2abC例12均質直角折桿規格如圖，其質量為3m，求其對軸O的轉動力矩。解：組合質心的轉動力矩例13如圖所示，質量為m的均質空心圓錐體直徑為R1，外徑為R2，求對中心軸z的轉動力矩。解：空心圓錐可看成由兩個實心圓錐體組成，外圓錐體的轉動力矩為J外理論力學動量矩定理ppt，內圓錐體的轉動力矩為J內取負值，即設m1、m2分別為外、內圓錐體的質量，則于是組合質心的轉動力矩設單位容積的質量為r，則代入前式得注意到rpl(R21－R22)＝m,則得組合質心的轉動力矩如圖所示，O為固定點，C為質點系的剛體，質點系對于固定點的動量矩為對于任一質點mi于是12.5質點系相對于剛體的動量矩定律因為rir'irCmiyy'x'z'COxzvirir'irCmiyy'x'z'COxzvi它是質點系相對于剛體的動量矩。
于是得即：質點系對任一點O的動量矩等于集中于剛體的系統動量mvC對于O點的動量矩再加上此系統對于剛體的動量矩LC(應為矢量和)。12.5質點系相對于剛體的動量矩定律質點系對于固定點O的動量矩定律可寫成令展開上式,注意右端項中ri＝rC+ri',于是上式化為上式右端是外力對剛體的主矩，于是得由于于是上式成為質點系相對于剛體的動量矩對時間的行列式，等于作用于質點系的外力對剛體的主矩。12.5質點系相對于剛體的動量矩定律例14均質圓盤質量為2m，直徑為r。細桿OA質量為m，長為l＝3r，繞軸O轉動的角速率為w、求下述三種情況下系統對軸O的動量矩：(a)圓盤與桿土體；(b)圓盤繞軸A相對桿OA以角速率w逆秒針方向轉動；(c)圓盤繞軸A相對桿OA以角速率w順秒針方向轉動。解：(a)(b)(c)由質心平面運動理論知：平面運動質心的位置可由基點的位置與質心繞基點的拐角確定。取剛體為基點，如圖所示，則質心的位置可有剛體座標和j角確定。質心的運動可分解為陪同剛體的平動和相對剛體的轉動兩部份。取如圖的動座標系，則質心繞剛體的動量矩為JC為質心過剛體且垂直于圖示平面軸的轉動力矩。
12.6質心的平面運動微分等式y'x'xyOCD設作用在質心上的外力可向質所在平面簡化為一平面力系，由剛體運動定律和相對剛體的動量矩定律得上式也可寫成12.6質心的平面運動微分等式y'x'xyOCD以上兩式稱為質心平面運動微分等式。應用時，前一式取其投影式。即12.6質心的平面運動微分等式例15一均質圓錐，質量為m，直徑為r，無初速地置于夾角為q的斜面上，不計滾動阻力，求其力偶的加速度。解：以圓錐體為研究對象。圓錐體在斜面上的運動方式，取決于接觸處的光滑程度，下邊分三種情況進行討論：(1)設接觸處完全光滑此時圓錐作平動，由剛體運動定律即得圓錐剛體的加速度CqCxyOqaCFNmg(2)設接觸處足夠粗糙此時圓錐作純滾動，列舉平面運動微分等式解得因為圓錐作純滾動，故F由純滾動條件有所以，可得這就是圓錐體在斜面上作純滾動的條件。qCxyaCOFNmg(3)設不滿足圓錐體在斜面上作純滾動的條件設圓錐體沿斜面滑動的動磨擦系數為f'，則滑動磨擦力于是圓錐體在斜面上既滾動又滑動,在這些情況下，aC≠ra例16均質圓錐體A和B質量均為m，直徑均為r。
圓錐A可繞固定軸O轉動。一繩繞在圓錐A上，繩的另一端繞在圓錐B上。求B下落時，剛體C點的加速度。磨擦不計。解：取A剖析，受力如圖。A作定軸轉動，應用定軸轉動的微分多項式有其中aAFTmgFOxFOyOAF'TmgaBCDBaC取B剖析，受力如圖。B作平面運動。應用平面運動的微分多項式有由運動學關系aD＝raA,，而由加速度合成定律有例17均質桿質量為m，長為l，在鉛直平面內一端順著水平地面，另一端順著鉛垂墻面，從圖示位置無初速地滑下。不計磨擦，求開始滑動的瞬時，地面和墻面對桿的約束反力。解：以桿AB為研究對象，剖析受力。yBqCAmgxBqCAFAFB桿作平面運動，設剛體C的加速度為aCx、aCy，角加速度為a。aaCxaCy由質心平面運動微分等式mgBqCAxy以C點為基點，則A點的加速度為再以C點為基點，則B點的加速度為aAaaBaCxaCyatBCatAC在運動開始時,w＝0,故,將上式投影到y軸上，得an＝0AC同理，，將上式投影到x軸上，得an＝0BC聯立求解(1)~(5)式，并注意到可得注：亦可由座標法求出(4)、(5)式：運動開始時，，故BqCAxyjAxCB例18如圖質量為m的均質桿AB用細繩吊住，已知兩繩與水平方向的傾角為j。
求B端繩斷掉瞬時，A端繩的張力。解：取桿剖析，構建如圖座標。有AB作平面運動，以A為基點，則jjABFT由于斷掉初瞬時,vA＝0,w＝0,故,an＝0Aan＝0CA將上式投影到x軸上，得anCAatCAatAanAajAxCBaaCxmg例19長l，質量為m的均質桿AB和BC用合頁B連接，并用合頁A固定，坐落平衡位置。今在C端作用一水平力F，求此瞬時，兩桿的角加速度。解：分別以AB和BC為研究對象，受力如圖。AB和BC分別作定軸轉動和平面運動。對AB由定軸轉動的微分等式得CBAFABFAxFBxFByaBWaABFAyBC作平面運動，取B為基點，則將以上矢量式投影到水平方向，得(4)由(1)~(4)聯立解得對BC由質心平面運動的微分等式得(2)(3)BGCaBCFWaGxaGyatGBF'ByF'BxO例20平板質量為m1，受水平力F作用而沿水平面運動，板與水平面間的動磨擦系數為f，平板上放一質量為m2的均質圓錐，它相對平板只滾動不滑動，求平板的加速度。
解：取圓錐剖析，構建如圖座標。于是得：FaCFN1F1m2gaaOaxyxyF'N1F'1FN2F2m1gFa取板剖析12動量矩定律質點和質點系的動量矩動量矩定律質心繞定軸轉動的微分等式質心對軸的轉動力矩質點系相對剛體的動量矩定律質心平面運動微分等式序言由靜力學力系簡化理論知：平面任意力系向任一簡化中心簡化可得一力和一質心，此力等于平面力系的主矢，此質心等于平面力系對簡化中心的主矩。由質心平面運動理論知：質心的平面運動可以分解為陪同基點的平動和相對基點的轉動。若將簡化中心和基點取在剛體上，則動量定律(剛體運動定律)描述了質心陪同剛體的運動的變化和外力系主矢的關系。它闡明了物體機械運動規律的一個側面。質心相對剛體的轉動的運動變化與外力系對剛體的主矩的關系將有本章的動量矩定律給出。它闡明了物體機械運動規律的另一個側面。1質點的動量矩質點Q的動量對于點O的矩，定義為質點對于點O的動量矩，是矢量。12.1質點和質點系的動量矩xyzqOmvMO(mv)Mz(mv)r質點動量mv在oxy平面內的投影(mv)xy對于點O的矩，定義為質點動量對于z軸的矩，簡稱對于z軸的動量矩，是代數目。
類似于力對點之矩和力對軸之矩的關系，質點對點O的動量矩矢在z軸上的投影，等于對z的動量矩。在國際單位制中，動量矩的單位是kg·m2/s。質點的動量矩[MO(mv)]z＝Mz(mv)質點系對某點O的動量矩等于各質點對同一點O的動量矩的矢量和。質點系的動量矩2質點系的動量矩LO=ΣMO(mv)質點系對某軸z的動量矩等于各質點對同一z軸的動量矩的代數和。LO=ΣMz(mv)質點系對某點O的動量矩矢在通過該點的z軸上的投影，等于質點系對該軸的動量矩。[LO]z=Lz3平動質心的動量矩質心平移時，可將全部質量集中于剛體，作為一個質點估算其動量矩。質心的動量矩4定軸轉動質心的動量矩令Jz＝Σmiri2稱為質心對z軸的轉動力矩,于是得即：繞定軸轉動質心對其轉軸的動量矩等于質心對轉軸的轉動力矩與轉動角速率的乘積。例1均質圓盤可繞軸O轉動，其上纏有一繩，繩上端吊一重物A。若圓盤對轉軸O的轉動力矩為J，直徑為r，角速率為w，重物A的質量為m，并設繩與原盤間無相對滑動，求系統對軸O的動量矩。解：LO的轉向沿逆秒針方向。質點系的動量矩12.2.1質點的動量矩定律設質點對固定點O的動量矩為MO(mv)，斥力F對同一點的矩為MO(F)，如圖所示。
12.2動量矩定律xyzOMO(mv)mvrMO(F)F將動量矩對時間取一次求導，得12.2.1質點的動量矩定律由于所以又由于所以xyzOMO(mv)mvrMO(F)F質點對某定點的動量矩對時間的一階求導，等于斥力對同一點的矩。將上式投影在直角座標軸上，并將對點的動量矩與對軸的動量矩的關系代入，得質點對某固定軸的動量矩對時間的一階行列式等于質點所受的力對同一軸的矩。12.2.1質點的動量矩定律例2圖示為一單擺（物理擺），擺錘質量為m，擺線長為l，如給擺錘以初位移或初速率（也稱初擾動），它就在經過O點的鉛垂平面內擺動。求此單擺在微小擺動時的運動規律。解：以擺錘為研究對象，受力如圖，構建如圖座標。在任剎那時，擺錘的速率為v，擺的偏角為j，則式中減號表示扭矩的正負號恒與角座標j的正負號相反。它表明扭力總是有使擺錘回到平衡位置的趨勢。質點的動量矩定律MyxNvmg由即這就是單擺的運動微分等式。當j很小時擺作微擺動，sinj≈j，于是上式變為此微分等式的解為其中A和a為積分常數，取決于初始條件。
可見單擺的微幅擺動為簡諧運動。擺動的周期為其實，周期只與l有關，而與初始條件無關。得設質點系內有n個質點，作用于每位質點的力分為外力Fi(e)和內力Fi(i)。由質點的動量矩定律有這樣的多項式共有n個，相乘后得因為內力總是成對出現，因而上式右端的底二項12.2.2質點系的動量矩定律上式上端為于是得12.2.2質點系的動量矩定律質點系對某固定點O的動量矩對時間的行列式，等于作用于質點系的外力對于同一點的矩的矢量和。在應用質點系的動量矩定律時，取投影式質點系對某固定軸的動量矩對時間的行列式，等于作用于質點系的外力對于同一軸的矩的代數和。12.2.2質點系的動量矩定律1.質點動量矩守恒定理假如作用在質點上的力對某定點(或定軸)之矩恒等于零，則質點對該點(或該軸)的動量矩保持不變。12.2.3動量矩守恒定律當外力對于某定點(或某定軸)的主矩等于零時，質點系對于該點(或該軸)的動量矩保持不變。2.質點系動量矩守恒定理例3轉爐運送礦石的絞盤如圖。已知鼓輪的直徑為R，質量為m1，繞O軸轉動。貨車和礦石的總質量為m2。作用在鼓輪上的質心矩為M，鼓輪對轉軸的轉動力矩為J，軌道夾角為a。
設繩質量和各處磨擦不計，求貨車的加速度a。解：以系統為研究對象，受力如圖。以順秒針為正，則由，有動量矩定律MOm2gNvm1gFOxFOyw因,于是解得若M＞m2gRsina理論力學動量矩定理ppt，則a＞0，貨車的加速度沿軌道向下。必須指出的是：為使動量矩定律中各化學量的正負號保持協調，動量矩和扭矩的正負號規定必須完全一致。動量矩定律例4水平桿AB長2a，可繞鉛垂軸z轉動，其兩端各用合頁與長為l的桿AC及BD相連，桿端各連結質量為m的小球C和D。原本兩小球用細線相連，使桿AC與BD均為鉛垂，這系統繞z軸的角速率為w0。如某時此細線扭斷，桿AC和BD各與鉛垂線成a角。不計各桿的質量，求這時系統的角速率w。解：以系統為研究對象，系統所受的外力有小球的重力和軸承處的反力，這種力對轉軸之矩都等于零。所以系統對轉軸的動量矩守恒，即其實，此時的角速率w＜w0。解：取系統為研究對象例5均質圓輪直徑為R、質量為m，圓輪對轉軸的轉動力矩為JO。圓輪在重物P推動下繞固定軸O轉動，已知重物重量為W。求重物下落的加速度。應用動量矩定律OPWvmgFOxFOyw例6水流通過固定導流莖稈步入軸套，入口和出口的流速分別為v1和v2，兩者與軸套外周邊和內周邊切線之間的傾角分別為?1和?2，水的容積流量為qV、密度為?，水流入口和出口處軸套的直徑分別為r1和r2，軸套水平放置。
求水流對軸套的驅動扭矩。解：在dt時間間隔內，水流ABCD段的水流運動到abcd時，所受的力以及她們對O軸之矩：重力——由于水輪機水平放置，重力對O軸之矩等于0；相鄰水流的壓力——忽略不計；軸套的反作用扭力——與水流對軸套的驅動扭矩大小相等，方向相反。abcdabcd應用動量矩定律Mz例7一繩越過定滑輪，其二端吊有質量為m的重物A，另一端有一質量為m的人以速率u相對細繩向下爬。若滑輪直徑為r，質量不計，但是開始時系統靜止，求人的速率。解：以系統為研究對象，受力如圖。設重物A上升的速率為v，則人的絕對速率va的大小為因為SMO(F(e))＝0，且系統初始靜止，所以LO＝0。由上可知，人與重物A具有相同的的速率，此速率等于人相對繩的速率的一半。假如開始時，人與重物A坐落同一高度，則不論人以多大的相對速率爬繩，人與重物A將一直保持相同的高度。uvave＝vmgmguAOFOxFOy設質心繞定軸z以角速率w轉動，則Lz＝Jzw。12.3質心繞定軸轉動的轉動微分等式xyzFN1FN2FnF1F2質心受有主動力和軸承約束反力，如不計磨擦，則由質點系動量矩定律得或12.3質心繞定軸轉動的轉動微分等式質心對定軸的轉動力矩與角加速度的乘積，等于作用于質心上的主動力對該軸的矩的代數和。
以上各色均稱為質心繞定軸轉動的微分等式。應用質心定軸轉動的微分等式可以解決動力學兩類問題。例6如圖所示，已知滑輪直徑為R，轉動力矩為J，推動滑輪的皮帶拉力為F1和F2。求滑輪的角加速度a。解：由質心定軸轉動的微分等式于是得由上式可見，只有當定滑輪勻速轉動（包括靜止）或雖有勻速轉動，但可忽視滑輪的轉動力矩時，越過定滑輪的皮帶拉力才是相等的。F1F2ORa定軸轉動的轉動微分等式例7圖示化學擺的質量為m，C為其力偶，擺對轉軸的轉動力矩為JO。求微小擺動的周期。解：設j角以逆秒針方向為正。當j角為正時，重力對O點之矩為負。由質心定軸轉動的微分多項式，有當微擺動時，有sinj≈j，故等式寫為此多項式通解為j0為角振幅，a為初相位。它們均由初始條件確定。擺動周期為mg這就表明，如已知某物體的質量和形心位置，并將物體懸掛于O點作微幅擺動，測出擺動周期后即可估算出此物體對于O軸的轉動力矩。例8如圖，飛輪對轉軸的轉動力矩為J，以初角速率w0繞水平軸轉動，其阻轉矩M＝－aw(a為常數)。求經過多長時間，角速率降至初角速率的一半，在此時間內共轉多少轉?解：以飛輪為研究對象，由質心定軸轉動的微分多項式，有Mw0將（1）式變換，有將上式求定積分，得定軸轉動的轉動微分多項式將(1)式改寫為即將上式求定積分，得轉過的角度為因而轉過的轉數例9如圖所示，漸開線蝸桿各繞定軸O1、O2轉動，其直徑分別為r1、r2，質量分別為m1、m2，轉動力矩分別為J1、J2，今在輪O1上作用一扭力M，求其角加速度。
解：分別以三輪為研究對象，受力如圖，由質心定軸轉動的微分多項式，有由運動學關系，得注意到，聯立求解以上三式得O1r1r2O2MFO1yFO1xFtFnm1gFO2yFO2xm2gO1O2F′tF′nMOFOxFOyW=mgOFOyFOxW=mg解除約束前：FOx=0,FOy=mg/2忽然解除約束瞬時：FOx=？,FOy=？例題10關于忽然解除約束問題**
