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[!--downpath--]題主是高中數學系的學生，所以極限和導數應該理解什么，也許中值定理的證明還沒有學過或者只知道有這個公式，那么我們直接從閉區間上連續函數的性質入手，避免使用極限定義等看起來很復雜的工具。（雖然這會導致不那么嚴格的證明，但它更容易理解）。
0. 預備定理：閉區間內連續函數的性質
為了證明 規則，我們只需要在閉區間上使用連續函數的一個屬性：如果 [fleft（ x right）] 在區間 [left[
{a，b} right]] 上是連續的，則 [fleft（ x right）] 必須具有最大值 [M] 和最小值 [
m] 在區間 [left[ {a，b} right]] 上。
這種性質在高中應該是未經證實和明顯的。讓我們進入正題，首先，我們需要證明羅爾定理。
1. 羅爾中值定理
設函數 [fleft（ x right）] 在閉區間 [left[ {a，b} right]] 上是連續的，并且可在開區間 [left（ {a，b} right）] 和 [fleft（ a right） = fleft（ b right）] 上推導，則至少有一個點 [習 in left（
{a，b} right）] 使得 [f'left（ 習 right） = 0]。
證明：
由于 [fleft（ x right）] 在閉區間 [left[ {a，b} right]] 上是連續的，因此 [M = {f_{max }}]
和 [m = {f_{min }}] 存在。如果 [M = m]，那么結論是顯而易見的，所以看看 m]“>[M > m] 的情況。因為 [fleft（ a right） = fleft（ b right）] 和 m]“>[
M > m]，所以至少有一個值不是 [fleft（ a right）
]，所以你不妨設置[fleft（ 習 right） = M]，其中[習 in left（ {a，b} right）]。
因為 [fleft（ x right
）] 在 [x = 習 ] 處可推導，存在并相等的左導數和右導數，即：[f'left（ 習 right） = {lim }{Delta x to {0^ + }} frac{{fleft（ {習 + Delta x} right） - fleft（ 習 right）}}{{Delta x}} = {lim }{Delta x to {0^ - }} frac{{fleft（ {習 + Delta x} right）
- fleft（ 習 right）}}{{Delta x}}]
由于 [fleft（ 習 right）] 是
最大值 [fleft（ {習 + Delta x} right） - fleft（ 習 right） le 0] 是常數。因此，持有人數是有限制的[ {lim }{Delta x to {0^ + }} frac{{fleft（ {習 + Delta x} right） - fleft（ 習 right）}}{{Delta x}} le 0] ， [ {lim }{Delta x to {0^ - }} frac{{fleft（ {習 + Delta x} right）
- fleft（ 習 right）}}{{Delta x}} ge 0]
綜上所述，[f'left（ 習 right） = {lim }{Delta x to {0^ + }} frac{{fleft（ {習 + Delta x} right） - fleft（ 習 right）}}{{Delta x}} = {lim }{Delta x to {0^ - }} frac{{fleft（ {習 +.） Delta x} right）
- fleft（ 習 right）}}{{Delta x}} = 0]
羅爾定理完成。
2. 柯西中值定理如果函數 [fleft（ x right）] 和 [gleft（ x right）] 滿足閉區間 [left[ {a，b} right]
] 上的連續數，則開區間 [left（ {a，b} right）]
是可推導的，對于任何點 [x in left（ {a，b} right）] 滿足 [g'left（ x right） ne 0] 。然后至少有一點 [習 in left（ {a，b} right）] 使以下方程成立：[frac{{fleft（ b right） - fleft（ a right）}}{{gleft（ b right） - gleft（ a right）}} = frac{{f'left（ 習 right）}}
{{g'left（ 習 right）}}]
證明：作為助手 [ left（ x right） = fleft（ x right） - frac{{fleft（ b right） - fleft（ a right）}}{{gleft（ b right）
- gleft（ a right）}
} cdot gleft（ x right）]。顯然有 [ left（ a right） = left（ b right） = frac{{fleft（ a right）gleft（ b right） - fleft（ b right）gleft（ a right）
}}{{gleft（ b right）
- gleft（ a right）}}] 并且滿足使用羅爾中值定理的其他條件洛必達法則的證明過程，因此，使用羅爾定理，我們得到：有一個點 [習 in left（ {a，b} right）] 使得 [ 'left（ 習 right） = f'left（ 習 right） - frac{{fleft（ b right） - fleft（ a right）
}}{{gleft（ b right） - g
left（ a right）}}}g' 左（ 習 右） = 0]即 [frac{{fleft（ b right） - fleft（ a right）}}{{gleft（ b right） - gleft（ a right）}}
= frac{{f'left（ 習 right）}}
{{g'left（ 習 right）}}]。
柯西的中位數定理得到了證明。
3. 洛皮達定律
終于，洛皮達法則的證明已經到來。下面證明了一種情況，另一種情況類似。使用 規則有 3 個條件，需要注意：
在區間 [left（ {a，b} right）]， [fleft（ x right）] 和 [gleft（ x right）] 上
都是可導數和 [g'left（ x right） ne 0] ;并且有 [ {lim }{x to {a^ + }} fleft（ x right） = {lim }{x to {a^ + }} gleft（ x right） = 0] ;和 [ {lim }{x to {a^ + }} frac{{f'left（ x right）}}{{g'left（ x right）}} = L]。然后 [{lim }{x to {a^ + }} frac{{fleft（ x right）}}{{gleft（ x right）}} = {lim }{x
to {a^ + }} frac{{f'left（ x right）}}{
{g'left（ x right）}} = L]。
證明：
由于該函數在開區間內是可推導的，并且存在單側極限，因此我們可以添加定義 [fleft（ a right） = gleft（ a right） = 0]，使得這兩個函數在 [x = a] 處是連續的。
取任意 [x in left（ {a，b} right）]，
則這兩個函數滿足在區間 [left[ {a，x} right]] 上使用 中值定理的條件，因此有一個 [習 in left（ {a，x} right）]，例如：[frac{{fleft（ x right） - fleft（ a right）}}{{gleft（ x right） - gleft（ a right）}} = frac{{f'left（ 習 right）}}
{{g'left（ 習 right）}}]
同時，由于我們添加了一個定義 [fleft（ a right） = gleft（ a right） = 0] 的函數，所以有[frac{{fleft（ x right）}}{{gleft（ x right）}} = frac{{f'left（ 習 right）}}
{{g'left（ 習 right）}}]
接下來的證明需要用到極限定義，但是比較復雜難懂，讓我們直觀感受一下（非嚴謹證明，不要吧）：
因為[習 in left（ {a，x} right）]，在[x to] 的過程中
{a^ + }]， [習 ] 也從右側接近 A，其活動范圍會越來越小，最后落到長度無限接近 0 的區間。因此，我們可以得到：[ {lim }{x to {a^ + }} frac{{fleft（ x right）}}{{gleft（ x right）}} = {lim }{習 to {a^ + }} frac{{f'left（ 習 right）}}
{{g'left（ 習 right）}}]
最后洛必達法則的證明過程，得到了洛皮達定律的一種形式，類似于其他可以證明的形式，如果受試者有興趣，可以自己探索。
