《物理競(jìng)賽初學(xué)微積分（導(dǎo)數(shù)積分）--ppt講義.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀。 “請(qǐng)到163圖書館搜索。
1. 微積分初階導(dǎo)論 微積分初階 函數(shù)求導(dǎo)和微分函數(shù)求導(dǎo)和微分函數(shù)的不定積分和定積分 函數(shù)的不定積分和定積分 1 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和微分函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和微分 1. 變量和常量和函數(shù) 1.變量、常量和函數(shù) 變量： 變量：在一定過(guò)程中取值并在一定過(guò)程中連續(xù)變化的量。 數(shù)量。 ：常數(shù)：在一定過(guò)程中取值并在一定過(guò)程中保持不變的量。 數(shù)量。 功能： 作用：變量變量y按照一定的關(guān)系與變量x按照一定的關(guān)系變化，則稱為變化，y稱為x的函數(shù)的函數(shù)，x稱為x 的函數(shù)。 變量，稱為自變量，y稱為因變量，稱為因變量，寫法：寫法：y=f(x) 例：例：y=3x2+2x, y=5sinx, y=ax, y
2. =e2x 復(fù)合函數(shù)： 復(fù)合函數(shù)：如果 y 是一個(gè)函數(shù) y=f(z)，它是 z 的函數(shù)，并且 z 是一個(gè)函數(shù) z=g(x)，它也是 x 的函數(shù)，那么它是則稱 y 是 x 的復(fù)合函數(shù)，記為： y=(x)=fg(x) 的復(fù)合函數(shù) 例： 例： y=sin(ax2+bx+c)， y=esin(2x +3) 2. 函數(shù)的求導(dǎo) 2. 函數(shù)的求導(dǎo) xyxyy=f(x)xx+x 假設(shè)一個(gè)函數(shù) 令函數(shù) y=f(x) 的增量為 x在x處，對(duì)應(yīng)的函數(shù)有一個(gè)增量，對(duì)應(yīng)的函數(shù)有一個(gè)增量y，然后是比率，然后是比率）（）（調(diào)用的函數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)之間的平均變化率x 和 x+x 。
3、im) （函數(shù) y=f(x) 在 x 處的行列式定義為： 處的行列式定義為： 示例：查找函數(shù) 示例：查找函數(shù) y=x2 在 x=1 和 x= 處的值3處的行列式的值。 解： 解： 你有) () () (所以當(dāng)x=1, 當(dāng), y=2, 當(dāng), 當(dāng)x=3, , y== f(x)xx+xPQ 行列式的幾何意義： 行列式的幾何意義：由圖可知，由圖可知，y/x是通過(guò)P、Q兩點(diǎn)的割線的斜率，當(dāng)兩點(diǎn)割線的斜率，當(dāng)x0時(shí)，割線就廢棄了，割線變成了經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的切線，因?yàn)橛悬c(diǎn)的切線，所以行列式和行列式y(tǒng)=f (x) 代表曲線
4.該線代表曲線在x處的切線斜率的斜率。 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在某處的行列式的值表示在某處的行列式的值，表示該點(diǎn)切線的斜率，即函數(shù)的斜率該點(diǎn)的切線，也是函數(shù) y=f(x) 與 x 在該點(diǎn)的變化率。 變化率。 基本函數(shù)求導(dǎo)公式 基本函數(shù)求導(dǎo)公式 21)1()()1()()11(,)1()()11(,)1()()(ln)()(ln)ln( )( )(秒)(sin)()(sin)()(,0)(
5、常數(shù)行列式的基本運(yùn)算規(guī)則：行列式的基本運(yùn)算規(guī)則： (set (set u=u(x), v=v(x)) then if 的反函數(shù)和反函數(shù)的個(gè)數(shù)，則 For if it是時(shí)間常數(shù)), (), () () () () () (,) (,) (;) () (102個(gè)例子 例1：求：求行列式 y=x3lnx 的行列式解) ln (例2 求y=sinx/x的行列式解cos的二階行列式和高階行列式的行列式解 前述函數(shù)的求導(dǎo)是 前述函數(shù)的求導(dǎo)是對(duì) y
6、對(duì)于x的一階導(dǎo)數(shù)，如果對(duì)1取一階導(dǎo)數(shù)，如果一階導(dǎo)數(shù)的行列式y(tǒng)再對(duì)x求導(dǎo)，則為二階行列式：導(dǎo)數(shù)是二階行列式:)（同樣，二階導(dǎo)數(shù)也是一樣，二階導(dǎo)數(shù)是三階導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)是三階導(dǎo)數(shù)，而三階導(dǎo)數(shù)是四階導(dǎo)數(shù)等。導(dǎo)數(shù)的行列式是四階導(dǎo)數(shù)等。例如求 y=x3+3x2 3 的二階行列式的二階行列式. 函數(shù)的極值 3. 函數(shù)的極值 如果函數(shù) y= f(x) 在某一點(diǎn)，則函數(shù)值在某一點(diǎn) x1 的函數(shù)值 f(x1) 較大或小于相鄰點(diǎn)的函數(shù)值，則稱該值大或小，則稱x1為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)，f(x1)
7. 其中一個(gè)函數(shù)是該函數(shù)的極值。 圖中的極值。 圖中，x1和x3為最大值點(diǎn)，即最大值點(diǎn)，x2為最小值點(diǎn)，即最小值點(diǎn)，f(x1)和f(x3)為最大值，即最大值點(diǎn)value ，f(x2) 是最小值。 是最小值。極值點(diǎn)處的切線一定是水平的，所以極值點(diǎn)極值點(diǎn)處的切線一定是水平的，所以極值點(diǎn)的判斷條件為：判斷條件為：f(x )=0 最大值點(diǎn) 最大值點(diǎn)的條件為： 最大值點(diǎn)的條件為： f(x)=0， f(x)0 的最小值點(diǎn)的條件為：最小值點(diǎn)為：f(x)=0, f(x) ) 0 求函數(shù)的例子 求函數(shù)的極值點(diǎn) y=4x3-3x2+5 以及極值點(diǎn)和極值的極值點(diǎn)值解： 因?yàn)榻猓?因?yàn)?y=12x2-6x 讓 y=0 得到
8. x1=0、x2=1/2 是兩個(gè)極值點(diǎn)。 這是它的兩個(gè)極值點(diǎn)。而y=24x-6，有y(x1)=-60，y(x2)=60，所以x1=0就是最大值點(diǎn)物理高階競(jìng)賽公式，對(duì)應(yīng)的最大值就是最大值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的極值 最大值為y1=5x2=1/2為最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為y2=19/4 4.函數(shù)微分4函數(shù)微分示例求函數(shù)示例求函數(shù)y=5x+sinx的微分的微分)cos()sin()(55函數(shù)函數(shù)y對(duì)自變量的行列式對(duì)自變量的行列式變量x)(dx可以看成是自變量，看成自變量x趨于零的小增量，自變量x趨于零的小增量
9、小增量稱為自變量的微分稱為自變量的微分； 以及相應(yīng)的遺囑； 而對(duì)應(yīng)的dy則看成函數(shù)y的一個(gè)小增量，稱為小增量，稱為函數(shù)的微分。 功能區(qū)分。 是：是：） (22 不定積分 不定積分 1.原函數(shù) 1.原函數(shù) 在上一節(jié)中，我學(xué)習(xí)了求函數(shù)。在上一節(jié)中，我學(xué)習(xí)了求函數(shù) y=f(x) 的行列式. , 現(xiàn)在如果已知函數(shù)-函數(shù) F(x) 的行列式是 f(x), 則要求原函數(shù)原函數(shù) F(x) 例如導(dǎo)致 (x3)=3x2 , 所以 x3 是3x2的原函數(shù)的原函數(shù)(sinx)=cosx，sinx是cosx的原函數(shù)函數(shù)F(x)=F(x)+c，c
10. 對(duì)于任意常數(shù)，對(duì)于任意常數(shù)，函數(shù) f(x) 存在任意多個(gè)原函數(shù)： 存在任意多個(gè)原函數(shù)： F(x)+c 2. 不定積分 2. 不定積分的定義： 定義：函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)的所有原函數(shù)F(x)+c稱為f(x)的不定積分。 積分的性質(zhì):)()()()(這說(shuō)明不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。這說(shuō)明不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。不定積分公式： 不定積分公式：
11. 不定積分算法： 不定積分算法： dxxkf)()()()(.,)()(.21 用于正則計(jì)數(shù) 3. 如果你能找到函數(shù) u=u (x) , make, make) () (和積分和積分) () (比較容易找到，則：比較容易找到，然后:) () () (例1求xdx1解：make 解：make u= 1+x，由微分得到： 由微分得到：du=dx，有：，有：例2求dxbax）sin（解：階解：階u=ax+
12、b、從微分得到： 從微分得到：du=adx、have:、have:) cos() sin(111 示例 解法示例 3： 作解：使 u=x2+1、從微分得到： 從微分：du= 2xdx，have：，have：/）（示例示例4求）cos（33解：順序解：使u=e3x，微分得到：微分得到：du=，have：，have：） sin() cos( 3 定積分和定積分函數(shù) 設(shè)函數(shù) y=f(x) 在閉區(qū)間 a 和 b 上連續(xù)，連接區(qū)間
13、繼續(xù)，將區(qū)間a和b均分為n等分，每個(gè)新村之間的間隔相等，每個(gè)新村之間的間隔為x，在每個(gè)新村中選取一個(gè)點(diǎn)，在每個(gè)新村中選取一個(gè)點(diǎn)xi 在該導(dǎo)出函數(shù)的值點(diǎn)處導(dǎo)出值 f(xi)(i=1,2,3,n)=f(x)f(xi)x。 : 定義 :)()(lim10 是函數(shù) f(x) 在區(qū)間 a 和 b 上的定積分。f(x) 是被積函數(shù)，函數(shù) a、b 分別是積分下限和上限limit。分別為積分的下限和上限。定積分的幾何意義： 定積分的幾何意義：abxyy=f(x)f(xi)x 從圖中可以看出，f(xi )x 是圖中的 1
14、圖中一個(gè)新村就是一個(gè)新村之間的面積，所以定積分：之間的面積物理高階競(jìng)賽公式，所以定積分:)（說(shuō)明區(qū)間代表區(qū)間a，b，上面，上面，曲線曲線下方 y=f(x) 面積 下方面積 注：注：定積分的值可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)，所以這不是一般意義上的，定積分的值可以是正數(shù)且為負(fù)，所以這不是一般意義上的面積。定義下的面積。主要性質(zhì)： 定積分的主要性質(zhì)： dxxf)()(.)()()()(.)()(.) ()(.4321 定積分估計(jì)（牛頓-萊布尼茨公式） 定積分估計(jì)（牛頓-萊布尼茨公式） 如果不定積分 如果不定積分 c
15.)()(那么定積分就是定積分)()()()(從這里可以看出：求一個(gè)函數(shù)的定積分，一般是先求它的不定積分積分（原函數(shù)不定積分（原函數(shù)F(x)），然后求），再求F(b)-F(a)例1求解：令解：令u=x2+1 、微分得到：微分得到：du=2xdx、have:、have:)ln(ln)ln()ln(ln例2求302/解：作解：使u=cosx、得到微分：得到微分：du= - sinx)(/=x2y=4-x2AB例3 從曲線中求曲線y=x2和曲線與曲線y=4-x2圍成的面積。所圍成的面積。解：先求兩者的交點(diǎn)曲線解：先求兩條曲線的交點(diǎn)A、B的x坐標(biāo)為坐標(biāo)： 從定積分的幾何意義來(lái)看：)()()(