《物理競賽初學微積分（導數積分）--ppt講義.ppt》由會員分享，可在線閱讀。 “請到163圖書館搜索。
1. 微積分初階導論 微積分初階 函數求導和微分函數求導和微分函數的不定積分和定積分 函數的不定積分和定積分 1 函數、導數和微分函數、導數和微分 1. 變量和常量和函數 1.變量、常量和函數 變量： 變量：在一定過程中取值并在一定過程中連續變化的量。 數量。 ：常數：在一定過程中取值并在一定過程中保持不變的量。 數量。 功能： 作用：變量變量y按照一定的關系與變量x按照一定的關系變化，則稱為變化，y稱為x的函數的函數，x稱為x 的函數。 變量，稱為自變量，y稱為因變量，稱為因變量，寫法：寫法：y=f(x) 例：例：y=3x2+2x, y=5sinx, y=ax, y
2. =e2x 復合函數： 復合函數：如果 y 是一個函數 y=f(z)，它是 z 的函數，并且 z 是一個函數 z=g(x)，它也是 x 的函數，那么它是則稱 y 是 x 的復合函數，記為： y=(x)=fg(x) 的復合函數 例： 例： y=sin(ax2+bx+c)， y=esin(2x +3) 2. 函數的求導 2. 函數的求導 xyxyy=f(x)xx+x 假設一個函數 令函數 y=f(x) 的增量為 x在x處，對應的函數有一個增量，對應的函數有一個增量y，然后是比率，然后是比率）（）（調用的函數稱為函數y=f(x)之間的平均變化率x 和 x+x 。
3、im) （函數 y=f(x) 在 x 處的行列式定義為： 處的行列式定義為： 示例：查找函數 示例：查找函數 y=x2 在 x=1 和 x= 處的值3處的行列式的值。 解： 解： 你有) () () (所以當x=1, 當, y=2, 當, 當x=3, , y== f(x)xx+xPQ 行列式的幾何意義： 行列式的幾何意義：由圖可知，由圖可知，y/x是通過P、Q兩點的割線的斜率，當兩點割線的斜率，當x0時，割線就廢棄了，割線變成了經過點P的切線，因為有點的切線，所以行列式和行列式y=f (x) 代表曲線
4.該線代表曲線在x處的切線斜率的斜率。 函數函數y=f(x)在某處的行列式的值表示在某處的行列式的值，表示該點切線的斜率，即函數的斜率該點的切線，也是函數 y=f(x) 與 x 在該點的變化率。 變化率。 基本函數求導公式 基本函數求導公式 21)1()()1()()11(,)1()()11(,)1()()(ln)()(ln)ln( )( )(秒)(sin)()(sin)()(,0)(
5、常數行列式的基本運算規則：行列式的基本運算規則： (set (set u=u(x), v=v(x)) then if 的反函數和反函數的個數，則 For if it是時間常數), (), () () () () () (,) (,) (;) () (102個例子 例1：求：求行列式 y=x3lnx 的行列式解) ln (例2 求y=sinx/x的行列式解cos的二階行列式和高階行列式的行列式解 前述函數的求導是 前述函數的求導是對 y
6、對于x的一階導數，如果對1取一階導數，如果一階導數的行列式y再對x求導，則為二階行列式：導數是二階行列式:)（同樣，二階導數也是一樣，二階導數是三階導數，三階導數是三階導數，而三階導數是四階導數等。導數的行列式是四階導數等。例如求 y=x3+3x2 3 的二階行列式的二階行列式. 函數的極值 3. 函數的極值 如果函數 y= f(x) 在某一點，則函數值在某一點 x1 的函數值 f(x1) 較大或小于相鄰點的函數值，則稱該值大或小，則稱x1為極值點，極值點，f(x1)
7. 其中一個函數是該函數的極值。 圖中的極值。 圖中，x1和x3為最大值點，即最大值點，x2為最小值點，即最小值點，f(x1)和f(x3)為最大值，即最大值點value ，f(x2) 是最小值。 是最小值。極值點處的切線一定是水平的，所以極值點極值點處的切線一定是水平的，所以極值點的判斷條件為：判斷條件為：f(x )=0 最大值點 最大值點的條件為： 最大值點的條件為： f(x)=0， f(x)0 的最小值點的條件為：最小值點為：f(x)=0, f(x) ) 0 求函數的例子 求函數的極值點 y=4x3-3x2+5 以及極值點和極值的極值點值解： 因為解： 因為 y=12x2-6x 讓 y=0 得到
8. x1=0、x2=1/2 是兩個極值點。 這是它的兩個極值點。而y=24x-6，有y(x1)=-60，y(x2)=60，所以x1=0就是最大值點物理高階競賽公式，對應的最大值就是最大值點，對應的極值 最大值為y1=5x2=1/2為最小值點，對應的最小值為最小值點，對應的最小值為y2=19/4 4.函數微分4函數微分示例求函數示例求函數y=5x+sinx的微分的微分)cos()sin()(55函數函數y對自變量的行列式對自變量的行列式變量x)(dx可以看成是自變量，看成自變量x趨于零的小增量，自變量x趨于零的小增量
9、小增量稱為自變量的微分稱為自變量的微分； 以及相應的遺囑； 而對應的dy則看成函數y的一個小增量，稱為小增量，稱為函數的微分。 功能區分。 是：是：） (22 不定積分 不定積分 1.原函數 1.原函數 在上一節中，我學習了求函數。在上一節中，我學習了求函數 y=f(x) 的行列式. , 現在如果已知函數-函數 F(x) 的行列式是 f(x), 則要求原函數原函數 F(x) 例如導致 (x3)=3x2 , 所以 x3 是3x2的原函數的原函數(sinx)=cosx，sinx是cosx的原函數函數F(x)=F(x)+c，c
10. 對于任意常數，對于任意常數，函數 f(x) 存在任意多個原函數： 存在任意多個原函數： F(x)+c 2. 不定積分 2. 不定積分的定義： 定義：函數f(x)的所有原函數的所有原函數F(x)+c稱為f(x)的不定積分。 積分的性質:)()()()(這說明不定積分是導數的逆運算。這說明不定積分是導數的逆運算。不定積分公式： 不定積分公式：
11. 不定積分算法： 不定積分算法： dxxkf)()()()(.,)()(.21 用于正則計數 3. 如果你能找到函數 u=u (x) , make, make) () (和積分和積分) () (比較容易找到，則：比較容易找到，然后:) () () (例1求xdx1解：make 解：make u= 1+x，由微分得到： 由微分得到：du=dx，有：，有：例2求dxbax）sin（解：階解：階u=ax+
12、b、從微分得到： 從微分得到：du=adx、have:、have:) cos() sin(111 示例 解法示例 3： 作解：使 u=x2+1、從微分得到： 從微分：du= 2xdx，have：，have：/）（示例示例4求）cos（33解：順序解：使u=e3x，微分得到：微分得到：du=，have：，have：） sin() cos( 3 定積分和定積分函數 設函數 y=f(x) 在閉區間 a 和 b 上連續，連接區間
13、繼續，將區間a和b均分為n等分，每個新村之間的間隔相等，每個新村之間的間隔為x，在每個新村中選取一個點，在每個新村中選取一個點xi 在該導出函數的值點處導出值 f(xi)(i=1,2,3,n)=f(x)f(xi)x。 : 定義 :)()(lim10 是函數 f(x) 在區間 a 和 b 上的定積分。f(x) 是被積函數，函數 a、b 分別是積分下限和上限limit。分別為積分的下限和上限。定積分的幾何意義： 定積分的幾何意義：abxyy=f(x)f(xi)x 從圖中可以看出，f(xi )x 是圖中的 1
14、圖中一個新村就是一個新村之間的面積，所以定積分：之間的面積物理高階競賽公式，所以定積分:)（說明區間代表區間a，b，上面，上面，曲線曲線下方 y=f(x) 面積 下方面積 注：注：定積分的值可以是正數，也可以是負數，所以這不是一般意義上的，定積分的值可以是正數且為負，所以這不是一般意義上的面積。定義下的面積。主要性質： 定積分的主要性質： dxxf)()(.)()()()(.)()(.) ()(.4321 定積分估計（牛頓-萊布尼茨公式） 定積分估計（牛頓-萊布尼茨公式） 如果不定積分 如果不定積分 c
15.)()(那么定積分就是定積分)()()()(從這里可以看出：求一個函數的定積分，一般是先求它的不定積分積分（原函數不定積分（原函數F(x)），然后求），再求F(b)-F(a)例1求解：令解：令u=x2+1 、微分得到：微分得到：du=2xdx、have:、have:)ln(ln)ln()ln(ln例2求302/解：作解：使u=cosx、得到微分：得到微分：du= - sinx)(/=x2y=4-x2AB例3 從曲線中求曲線y=x2和曲線與曲線y=4-x2圍成的面積。所圍成的面積。解：先求兩者的交點曲線解：先求兩條曲線的交點A、B的x坐標為坐標： 從定積分的幾何意義來看：)()()(