譯者：李伯民、王軍、張懷勇
介紹
偉大的思想家恩格斯曾精辟地強調：“在所有的理論成就中，可能沒有什么能像17世紀下半葉微積分的發明那樣被視為人類精神的最高勝利了?！? 20 世紀最著名的物理學家之一馮·諾伊曼說：“微積分是現代語言的最高成就，其重要性怎么強調都不為過?！?span style="display:none">jMG物理好資源網(原物理ok網)
微積分的思想可以追溯到古代唐代。 從2000多年前到中世紀，東西方的人們一直在嘗試用一定的劃分策略來解決估算面積、求切線等問題。 而且，這些方法必須面臨如何劃分、劃分到什么程度的問題，即“無限小”的數量和“極限”過程的問題，這是人們后來才意識到的。 人過了很久，終究無法有所突破。 最后，牛頓和萊布尼茨兩位先驅在前人的工作基礎上形成了微分和積分的方法，但發現它們是一種對立統一的方式（這些對立統一體現在“基本定律”中"微積分學），后經伯努利兄弟和歐拉改進、擴展和推廣，上升到解剖學的高度。 由于缺乏可靠的基礎，早期的微積分很快陷入了深深的危機。 立即走上歷史舞臺的物理學大師柯西、黎曼、劉維爾和魏爾斯特拉斯挽救了危機，賦予了微積分極其嚴密和精確。 然而，隨著應用的擴展和進步，各種復雜而晦澀的問題相繼出現，造成分析領域的混亂，使微積分再次陷入危機。 物理學家這才意識到，嚴謹和準確似乎只能解決邏輯推理本身的基本問題，而邏輯推理所依賴的理論基礎才是更根本、更難解決的問題。 最后，當現代物理學天才康托爾、沃爾泰拉、貝爾和勒貝格將嚴密性和精確性與集合論和復雜的實數理論結合起來時，微積分的創建過程就結束了。
本書將在微積分的陡峭歷程中發生的重大風波和杰出人物，一一解讀在讀者面前。 然而，作者的本意不是簡單地敘述歷史，也不是講解微積分的知識和描述物理學家的傳奇故事，而是闡述微積分創造過程中的思想，厘清坎坷的過程與成功的關系。最后結果。 書中的必然銜接，不僅讓讀者領略到大師們高不可攀的成就，更讓讀者感受到他們的辛勤付出。
前言
20世紀杰出的物理學家約翰·馮·諾依曼（John von ，1903-1957）在他對微積分的闡述中寫道：微積分是現代物理學的最高成就，其重要性怎么強調都不為過。 在出現三個多世紀后的今天，微積分仍然值得我們贊美。 微積分就像一座橋梁，中學生從基礎的初等物理走向具有挑戰性的高等物理，但面臨著令人眼花繚亂的轉變，從有限到無限，從離散到連續，從庸俗的幻想到深刻的本質。 所以在英語中，這個詞后面一般都會誠意加上定代詞“the”，馮·諾依曼在上面的評價中就是這么做的。 “the”（微積分）的標題類似于“”（定理），“the”用來指代微積分是一門浩瀚、獨立和令人欽佩的學科。
與任何重要的智力探究一樣，微積分有著豐富多彩的歷史和奇異的史前史。 西西里島錫拉丘茲的阿基米德（大約公元前 287-212 年）使用了當今已知最早的方法之一來求出單個幾何圖形的面積、體積和表面積。 800多年后，美國物理學家皮埃爾·德·費馬（ de ，1601-1665）用一種特別現代的方法確定了曲線切線的斜率和曲線下面積的面積 。 他們和其他許多著名的物理學大師一起將微積分推上了歷史舞臺。
不過，這不是一本關于物理學先驅的書。 不用說，微積分對昔日物理學家的貢獻與現代藝術對過去藝術家的貢獻一樣多。 而且，像現代藝術博物館這樣的專題博物館，并不需要一個接一個地使用陳列室來展示對后世有影響的前現代藝術作品。 也就是這樣的博物館展覽可以從中期開始。 所以，為了展示微積分的創造歷史，我認為也是可以做到的。 為此，我將從兩位 17 世紀的學者艾薩克·牛頓 (Isaac ，1642-1727) 和戈特弗里德·威廉·萊布尼茨 ( ) (1646-1716) 談起，他們對微積分的誕生做出了貢獻。 萊布尼茨在 1684 年的一篇論文中首次發表了他的作品，該論文的標題中包含一個拉丁詞（一種估計系統），該詞后來被用來指代這一新興的物理學分支。 十多年后第一本教科書出版，微積分（the）的名稱在書中確定。
在接下來的六年里，其他幾位數學家首先接受了挑戰。 在這樣的先驅者中，最為杰出的人物是雅各布·伯努利（1654-1705）和約翰·伯努利（1667-1748）三兄弟，以及舉世無雙的萊昂哈德·歐拉（1707-1783）。 他們的研究成果中有數千頁涉及最高品味的物理學，擴展到包括極限、導數、積分、無限序列、無限級數以及許多其他主題。 這個范圍廣泛的主題的總標題是“分析”。
隨著復雜性的降低，關于基本邏輯的難題如潮水般涌來。 雖然微積分功能強大且實用，但它建立在不穩定的基礎上。 這讓物理學家認識到有必要根據歐幾里德幾何模型以精確和嚴格的方式重建這門學科。 如此緊迫的任務是由十九世紀解剖學家奧古斯丁-路易斯柯西（1789-1857）、格奧爾格弗里德里希伯哈德黎曼（1826-1866）、約瑟夫劉威爾（1809-1882）和卡爾維爾斯特拉斯（1815-1897）完成的。 這些數學家以前所未有的熱情工作，煞費苦心地定義了所使用的術語，并證明了迄今為止已被物理學界無可爭議地接受的結果。
然而，一些問題的解決為其他問題打開了大門——這是科學發展中經常發生的事情。 19世紀下半葉，物理學家利用這種邏輯嚴密的工具構造了大量獨特的例子，他們的理解使解剖學變得前所未有的普遍和具體。 我們借鑒了Georg （1845-1918）和后來的Vito （1860-1940）、René Bell（1874-1932）和Henri （1875）-1941）的集合論，這些趨勢在成果中可以清楚地看到到 20 世紀初，解剖學已經濃縮為概念、定義、定理和示例的寶庫，并發展成為一種獨特的思維方式，確立了自己作為物理學最高體系的地位。
我們將從這個寶庫中抽取樣本，以檢驗上述物理學家取得的成果，并以一種忠實于原文同時又能為現代讀者理解的形式來解釋它們。 我將制定解釋微積分一代發展的法則，并表彰其最杰出的天才創造者。 總之，本書是一部解開這段引人入勝的歷史的“大法”集。 為此，我只介紹幾位有代表性的物理學家的工作。 首先，我想坦白的透露一下：人物的安排是我自己的欣賞傾向決定的。 這本書包括像牛頓、柯西和魏爾斯特拉斯這樣的物理學家，他們會出現在任何類似的書中。 其他一些物理學家的選擇，比如、和Bell，更多是出于我個人的喜好。 至于其他一些物理學家，比如高斯、博爾查諾、阿貝爾，我不在考慮之列。
同樣，我討論的各個定律對所有物理學文獻的讀者來說都很熟悉，盡管它們的原始證明對于不精通物理學史的人來說可能是令人毛骨悚然的。 萊布尼茨在 1673 年幾乎無人認出的推論“萊布尼茨級數”就是如此，康托爾在 1874 年鮮為人知地首次證明了連續統的不可數性。其他定律實際上在物理學中很常見，很少出現在現代教科書中——這里我指的是處處連續、處處不可微的函數的結果，正如魏爾斯特拉斯所構造的那樣，當他在 1872 年將這一結果提交給柏林大學時，在物理學界引起了轟動。 至于我個人的選擇，我承認，很奇特。比如書上有歐拉對積分
，無非是為了突出數學家在解剖學上的灰熊。
書中的每一個成果，從牛頓余弦級數的推導，到伽馬函數的表達，再到貝爾分類法，都走在了當時研究的前沿。 總的來說，它們記錄了解剖學隨時間的演變，以及參與者在風格和內容上的變化。 這些演變之所以引人注目，是因為 1904 年勒貝格定律與 1690 年萊布尼茲定律之間的差異可以比作現代文學與日本古典英雄史詩貝奧武夫之間的差異。 不同之處。 盡管如此，我一直認為，至關重要的是每部法律都展現出值得我們關注甚至贊美的獨創性。 自然而然地，準備通過考察幾條規律來描述解剖學的特征，就像試圖通過收集幾滴雨滴來描述一場暴雨的特征，所表達的思想是不可能全面的。 為了承擔這樣的任務，作者必須采用適合個人的約束作為指導方針。
我的原則之一是避免過度完成并寫一本描述解剖學發展的綜合歷史書。 無論如何，這是一項過于雄心勃勃的任務，盡管已經出版了許多解釋微積分發展的專著。 我最喜歡的一些書在文中明確提到，或者作為參考資料包含在內。 第二個標準是排除多元微積分和復分析。 這樣做其實是一個令人遺憾的選擇，但我相信這是正確的選擇。 基于此，本書的內容被放在了一定的可控范圍內，從而增加了表達的連貫性。 這種限制也最大限度地降低了對讀者背景的要求，因為一本只討論一元實分析的書將有最廣泛的讀者理解它。
這就提出了先驗知識的問題。 我為本書的目標讀者提供了許多技術細節，因此只需要基本的物理學知識就可以理解書中的定律。 一些早期的結果需要讀者堅持閱讀不止一頁的代數運算。 至于后期的個別結果，就需要純具體的判斷能力了。 總的來說，我不會向數學上無畏的人推薦這本書。 同時，為了做到簡明扼要，我采用了比較隨意的寫法，這與同標準的教材有所不同。 我的初衷是讓那些或多或少有中文學術水平的讀者，或者那些沒有被無處不在的積分或符號所困的讀者更容易讀懂這本書。 我的目標是擁有足夠的先驗知識來理解所討論的主題，而不是更少。 如果不這樣做，內容就會變得乏味，并且難以實現我的更大目標。
所以這首先不是物理學家的傳記，也不是微積分的歷史，也不是教科書。 事實上，雖然在這本書中我有時會介紹傳記材料，有時會介紹一個主題與另一個主題之間聯系的歷史，有時會以教科書的形式介紹新的（或被遺忘已久的）概念，但我仍然想強調這一點。 然而，我最初的動機很簡單：與讀者分享從豐富的解剖學歷史中獲得的一些深受喜愛的個人成果。
與此同時，這讓我想到了最后一點。 大多數學科都有研究杰出先驅的主要專著的傳統，在他們的領域中被稱為“大師”的杰出人物。 學習文學的中學生需要閱讀作家和戲劇家莎士比亞的作品； 學習音樂的中學生需要聽作詞家巴赫的作品。 但在物理學中，這樣的傳統即使不是完全沒有，也是極為罕見的。 本書旨在改變這些情況。 但是，我不會把它寫成一部微積分史，而是要把它作為微積分壯麗圖景的展示。 為此，我收集了一些杰作，只是它們不是倫勃朗或梵高的版畫，而是歐拉或黎曼證明的定律。 這樣的畫廊似乎有一些特別之處，它的目標與任何有價值的博物館的目標相同：成為一個優秀的知識寶庫。
與任何陳列室一樣，該陳列室的藏品始終存在缺口。 也像任何陳列室一樣，這個陳列室不可能有足夠的空間來展示一個人想要展示的所有收藏品。 盡管有此限制，但當訪客離開時，他必須感謝這些天才。 同時，行走于展品間的人，將從極致的解剖體驗到物理學中最難的想象。
第一章牛頓
艾薩克·牛頓不僅是物理學的先驅，也是整個西方思想史上舉足輕重的人物。 他出生時，科學還沒有確立中世紀迷信的至高無上地位，而到他去世時，理性時代已經進入全盛時期。 這種不尋常的轉變部分歸功于他的貢獻。
作為一名物理學家高中牛頓第一定律教學反思，牛頓被認為是微積分的創始人，或者他稱之為“流注解”的東西。 微積分的起源可以追溯到 1660 年代中期，當時牛頓還是劍橋大學三一學院的學生。 在那里，牛頓致力于研究勒內·笛卡爾 (René ) (1596-1650)、約翰·沃利斯 (John ) (1616-1703) 和艾薩克·巴羅 (Isaac ) (1630-1677)，三位一體的第一位盧卡斯物理學家 這些都是先驅們的論文，很快他發現自己踏入無人涉足的領域。 在隨后的幾年里，牛頓永遠地改變了物理學的面貌，傳記作者將他的歲月描述為一段“光芒四射的活動”。 到 1669 年，巴羅本人將他的繼任者和朋友描述為“我們學院的一位同學，非常年輕……但具有非凡的天賦和能力”。
在本章中，我們將考察牛頓的一些早期成就：將單個表達式轉換為無窮級數的廣義二項式展開、求無窮級數的倒數的方法以及確定曲線求積法則下的面積的方法。 最后我們介紹一個令人驚訝的結果，一個角的余弦的級數展開。 對二項式展開的最早描述出現在他回應萊布尼茨詢問的“前書信”中，距他最初的工作已經很久了。 本章的其余材料來自牛頓 1669 年的論文，使用無限多項式方程的解剖學，通常簡稱為分析。
盡管本章僅限于討論牛頓的早期工作，但必須強調的是，牛頓的“早期工作”幾乎總是超越任何其他人的考慮工作。
廣義二項式展開
到 1665 年，牛頓發現了一種將二項式展開（他稱之為“縮減”）成級數的簡單方法。 對他來說，這些點不僅是用另一種方式重構二項式的手段，也是通往六格繆的大門。 這個二項式定律是牛頓許多物理發明的起點。
其中A、B、C、……分別代表前一項，下面我們舉例說明。 這就是著名的牛頓二項式展開，盡管這些方法實際上很新穎。
牛頓得到
牛頓將這些簡化稱為從平方根到無限小數的轉換，但他特意稱贊了這種操作的實用性。 他在 1671 年寫道： 這是形成無限級數的便捷方法，其中所有復數項。 這將消除這些困難，這些困難在最初的形式下似乎幾乎無法克服。
事實上，將物理學家從無法逾越的困境中解放出來是一項值得的努力。
牛頓通過對級數進行平方并檢查結果來“測試”像 (3) 這樣的擴展。如果我們這樣做，但限制所取項目的數量不超過 x^8，我們得到
牛頓將這樣的估計作為他普遍性的令人信服的證據。 他總結說，“雖然我們凡人的推理能力非常有限，但我們既不能表達也不能想象這些方程式的所有項，就像我們很難確切知道這些量從何而來一樣”，并且“可以使用等式的有限項。通?！敖馕觥备爬檫@樣的無限項表達式。
反序列
在描述中，個體二項式一般分為如下形式
在z的無限級數之后，牛頓進一步找到了通過z的項將x表示為級數的方法。 用現代術語來說，他正在尋找逆序列關系。 由此產生的方法對代數沒有明顯的影響，但正如我們稍后將看到的，我們專注于它是正確的。 和牛頓一樣，我們用一個特例來描述反級數的過程。
將上述公式展開并重新排列后，我們得到
下一步舍去p的2次方、3次方及更高次方項高中牛頓第一定律教學反思，再求解得到
盡管有耐心的牛頓可以（幾乎）無限期地繼續這樣的估計。 最后，牛頓很樂意回去考慮結果，尋找一些通常的表達方式。 牛頓這樣說：“讓調查留在這里，順便強調一下，當第五或第六......已知時，如果你愿意，通?？梢杂^察過程的相似性推論是隨你喜歡。”
到目前為止討論的方法（廣義二項式展開和逆序列）將成為牛頓手中的強大工具。 但在我們真正判斷大師的作品之前，還有最后一個必備條件。
《解析》中的面積計算法則
在1669年寫的《分析》一書中，牛頓承諾解釋求面積的方法，“我很早就發明了通過無限項級數估計曲線下面積的方法”。 這不是牛頓第一次提到他發明的流量數，他在 1666 年 10 月寫的一本小地圖集《流量數簡述》中也說過同樣的話。 《分析學》修訂了那本小書，揭示了成熟思想家的超人智慧。 當代學者發現了一個獨特的現象：神秘的牛頓并沒有向公眾公開這份手稿，除了少數幸運的朋友。 手稿直到 1711 年才發表，當時許多結果已經被其他人發表。 盡管如此，較早的寫作日期和杰出的作者證明這本書“可能是所有牛頓物理學論文中最令人欽佩的”。
本書以求“簡單曲線的面積”三大定律的命題開篇。 在17世紀，俄語中()的意思是求面積，所以這三個規則就是求積分的規則。
直到分析的結尾，牛頓幾乎是事后才注意到，“細心的讀者”會希望看到定律 1 的證明。 3 總是不乏關注的讀者，所以我們把他的下面的論點。
至此，他寫道：“如果我們假設 Bβ 是一個無限增加和消失的量，或者 o 為零，那么在這些情況下 v 和 y 相等，并且除以 o 的項將消失”。 他得出結論，當 o 變為零時，等式（8）中所有包含 o 的項也變為零。 同時，v等于y，即圖1-2中正方形的高BK將等于原曲線的縱坐標BD。通過這些方法，將式(8)轉化為進入
現代讀者的反應可能是，“別這么快，艾薩克！” 當牛頓用 o 作為約數時，o 肯定不等于零。 一段時間后，o 變為零。 總之，這里有一個隱患。 此后一個多世紀以來，這些零到非零的對應關系一直困擾著分析師。 這個問題將在本書前面部分詳細討論。
這是一個非常扭曲的邏輯。 從曲線下的面積積分 z 導入 y 的多項式，牛頓得出結論，這些關系也存在于相反的方向。
這樣的爭論給我們留下了一種脫節的感覺，因為它包含了很大的邏輯漏洞。 's 的編輯 Derek 恰如其分地將這種面積證明描述為“一種極其難以理解的流動幾何學方法”。 另一方面，記住這個起源很重要。 牛頓在漫長的微積分創立之初就給出了第一定律的證明。 在他的時代，證明是開創性的，但他的推論是正確的。 在他的評論中，“然而，簡而言之，分析確實展示了流程方法的整體范圍和力量”，這似乎是正確的。
不管現在的測量結果如何，當年的牛頓都非常滿意。 牛頓在《分析》中沒有給出證明的另外兩條定律如下：
規則2 由簡單曲線構成的復雜曲線的面積：如果y的值是由幾項組成的，那么它的面積等于每一項的面積之和。
Law 3 Area of?? all other ：如果y的值或者它的任何一項比上面的曲線更復雜，那么它必須被分解成更簡單的項...，然后應用上面的兩個定律，得到想要的曲線可以獲得區域。
牛頓第二定律指出有限項之和的積分等于其積分之和。 他用兩個反例來說明這個定律。 第三條規則斷言，當遇到更復雜的表達式時，必須先將其“簡化”成一個無窮級數，然后使用第一條規則對級數的每一項進行積分，然后將結果求和。 最后一條規則是一個有吸引力的提議。 相反，它是牛頓得出物理學重大成果所需的最后一個先決條件：角度余弦的無窮級數。 “分析”中的這條重要定律是本章最有趣的主題。
牛頓余弦級數推導
考慮圖 1-3 中以原點為中心且直徑等于 1 的圓的四分之一。 和以前一樣，令 AB=x，BD=y。 牛頓的第一個目標是找到圓弧寬度 αD 的表達式。
圖 1-3
牛頓的余弦和正弦級數 (1669)
對我們來說，這些推論圈出的圈子似乎深不可測。 我們現在認為余弦級數只不過是泰勒公式和微積分的一個微不足道的結果。 所以我們自然而然地認為它一直都是那么簡單。 而且，正如我們所見，牛頓費了很大的勁才到達那里。 他用積分法代替了微分法； 他從（我們認為）偶然的反余弦級數中形成了余弦級數； 同時，他需要使用他提出的復雜逆過程方案來完成所有推導。
這段歷史提醒我們，物理學并不是按照今天教科書所教授的形式發展的。 相反，它是在意想不到的驚喜中斷斷續續發展起來的。 事實上，它很有趣，因為當歷史突然變得有意義、美麗和出人意料時，它會令人著迷。 提到超出預期的話題，讓我們在該段中為Derek 的測量添加一句話。 看來牛頓并不是第一個發現余弦級數的人。 美國物理學家尼拉坎塔（，1445-1545）在公元 1545 年描述了這個系列，但將其歸于年長的大師典韋（生活在公元 1400 年左右）。 在參考文獻 4 和 5 中可以找到關于這一發現和美國物理學優良傳統的記述。當然，在牛頓活躍的時候，法國還不知道這一成就。
我們以兩點評論來結束本章。 首先，牛頓的《分析》是真正的物理學經典，任何對微積分課程感興趣的人都應該閱讀。 它提供了對歷史上最具創造力的思想家之一智力發展最早階段的一瞥。 第二，從今天的角度來看，一場轟轟烈烈的革命已經開始。 年輕的牛頓以其超越時代的專業能力和洞察力將無窮級數和流數法結合起來，將物理學前沿推向了幾個新的發展方向。 與他同時代的詹姆斯·格雷戈里（James ，1638-1675 年）評論說，過去的基本方式與建立相同聯系的新方式之比，就像“黎明的晨光與正午的太陽”一樣。 正如我們將在前面的章節中多次看到的那樣，這些對格雷戈里令人陶醉的描述是恰當的。 同時，第一個走上這條激動人心道路的人是牛頓，他不愧為“才華橫溢的人”。