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[!--downpath--]偏微分方程在理論和數學物理中發揮著巨大的作用。 這一切都始于19世紀，當時通過觀察和分析良好的實驗結果建立了光的波動理論。 在這里，偏微分方程第一次作為基本物理現實的自然表達出現。 麥克斯韋、法拉第和赫茲開啟了理論物理學發展的新時代。 麥克斯韋是這場物理學革命的絕對領導者。 麥克斯韋在他的微分方程中表達了當時關于光和電磁現象的所有思考。 麥克斯韋證明電場和磁場實際上是因變量，重新定義了以前關于電場和磁場的概念。
我們可以這樣說：在麥克斯韋之前，物理現實（就其被認為代表自然界的事件而言）被視為一個質點，其變化完全由運動組成，受微分方程的控制。 繼麥克斯韋之后，物理現實被視為由機械上不可解且受偏微分方程控制的連續場表示。 現實概念的這種變化是自牛頓以來物理學中最深刻、最富有成效的變化。 - A。 愛因斯坦紀念麥克斯韋誕辰100周年的演講。 1931 年出版。
面對法拉第的實驗結果以及安德烈·馬里-安培等其他早期著名物理學家的理論，麥克斯韋對電場和磁場方程的數學形式感到困惑，并以非凡的洞察力解釋了他的方程。 一些修改。 今天，麥克斯韋的理論可以用四個方程來概括。 但他的公式采用了 20 個聯立方程的形式，包含 20 個變量。 其方程的尺寸部分（X、Y 和 Z 方向）必須單獨列出。 他還使用了一些違反直覺的變量。
這里，E、B和J分別是描述電場強度、磁通密度和電流密度的矢量場，ρ描述電荷密度，D是電位移，H代表磁場強度，t是時間。
麥克斯韋的第一個方程是：
對任意體積 V 進行積分，我們得到：
但根據高斯定理，我們得到：
這里，q是體積V中包含的凈電荷。S是體積V周圍的表面。麥克斯韋的第一個方程表示。 通過封閉體積表面的總電位移等于該體積內的總電荷。
麥克斯韋第二方程為：
對任意體積 V 進行積分，我們得到：
利用高斯散度定理將體積積分轉化為表面積分，可得：
麥克斯韋第二方程指出，通過任何閉合表面 S 的總向外磁感應通量 B 等于 0。
麥克斯韋第三方程為：
根據斯托克定理，將左側的面積分轉化為線積分，可得：
麥克斯韋第三方程標記。 閉合路徑周圍的電動勢 (emf e = ∫c E.dI) 等于連接到該路徑的磁通量的負變化率（因為磁通量 Φ = ∫s B.dS）。
麥克斯韋第四方程為：
計算以曲線C為界的曲面S上的曲面積分，可得：
利用斯托克定理將上式中LHS上的面積分轉化為線積分，可得：
麥克斯韋第四方程指出麥克斯韋四個方程組的物理意義，閉合路徑周圍的磁力等于通過限制該路徑的任何表面的傳導電流和位移電流。
然后將一般方程應用于通過非導電場傳播的磁擾動的情況，并且它表明唯一可以如此傳播的擾動是那些橫向于傳播方向的擾動，其速度為 v，這是從韋伯的方程中發現的實驗 ，表示電磁單元中包含的靜電單元的數量。 這個速度非常接近光速，我們似乎有充分的理由得出這樣的結論：光本身（包括輻射熱和其他輻射，如果有的話）是一種以波的形式通過電磁場傳播的電磁擾動。 ——詹姆斯·克拉克·麥克斯韋，《電磁場的動態理論》（1864），簡介。
麥克斯韋方程與漢密爾頓方程非常相似，因為它們描述了相關量隨時間的變化率，以及在任何給定時間的值。 在麥克斯韋方程組中，這些量是電場和磁場。 然而，麥克斯韋方程組和哈密頓方程組之間有一個重要的區別。 麥克斯韋方程組是場方程，而漢密爾頓方程組是粒子方程，這意味著在麥克斯韋命題中，需要無限個參數來描述系統的狀態麥克斯韋四個方程組的物理意義，而對于漢密爾頓命題來說，需要有限個參數（三點坐標）。
麥克斯韋電磁方程描述了電荷和電流如何產生電場和磁場、它們如何傳播以及它們如何相互影響。 這些方程不僅對于幫助制定和解釋理論和數學物理的許多領域很重要，而且與洛倫茲力一起量化了我們在日常生活中經歷的大多數物理過程。
麥克斯韋方程組可以被認為是量子力學和現代物理學的基本支柱之一，因為它很好地解釋了光的傳播不需要介質的事實。 19世紀，理論物理學家意識到麥克斯韋方程組有解，其中電場和磁場可以在不帶電荷的情況下同時存在。 解決方案是每秒移動米的振蕩行波。 后來的一些實驗表明，光本身以完全相同的速度移動。 這不是巧合，它們是同一件事。 顯然，光不是某種神奇的實體，我們可以通過操縱電荷來創造它。 這導致了無線電（無線電波是光的低能量形式）、激光和同步加速器等人造光源的誕生。 麥克斯韋的電磁學理論源于能量可以通過電磁波從一個地方轉移到另一個地方的想法，事實證明它在物理學界具有驚人的吸引力和極其發人深省。
詹姆斯·克拉克·麥克斯韋 (James Clerk ) 雕像于 2008 年在愛丁堡喬治街豎立。
