“所有模型都是錯誤的，但有些模型是有用的?！? — EP Box，統計學家
歡迎朋友們來到粒子物理的世界。 在這篇文章中，我們將探討粒子物理標準模型（模型）所給出的世界圖景，以及標準模型的框架和部分：我們將看到構成世界的基本粒子，它們各自的特性以及他們如何相互作用； 經過少量的數學準備，我們還將介紹基本粒子的一個重要物理量——衰變率。
在旅程正式開始之前，我們不妨回顧一下物理學的使命和標準模型。 迄今為止的任何物理模型都只是真實自然的近似，標準模型也不例外。 沒有一個模型“等于”現實，但我們總能找到最能解釋當前觀察到的現象的物理模型。 標準模型是這些“最佳近似”中最低的模型，它在最微觀的層面上解釋了物質的組成和相互作用。
1. 基本框架
標準模型描述的內容分為兩部分：61種基本粒子和3種粒子間相互作用力。 我們一般可以將前者理解為構建物質世界的“磚”和“粘合劑”，而后者則是磚之間通過粘合劑連接組合的不同方式。 從基本粒子的磚塊和相互作用力的粘合劑中，大自然構建了質子、原子、分子、所有無機和有機物質、生命、行星、恒星。 就像玩積木時，我們先用幾個小積木搭建組件，然后用幾個組件搭建更大的零件，比如手臂、輪子，最后完成整個模型的搭建。 就像編程時一樣，編寫者首先使用基本函數來實現一些簡單的功能，然后使用這些函數來完成更復雜的功能，最后實現整個程序的功能。 從前向后看是通過基本粒子認識宏觀世界的建構視角，從后向前看是尋求基本原理的還原視角。 越靠前的對象就越“基礎”，因為后面的對象依賴于前面的對象來構造。 標準模型討論了最基本的對象：基本粒子及其相互作用。
我們先來了解一下基本粒子。 根據功能不同，粒子可分為兩大類：構成物質的“費米子”（）和傳遞相互作用的“玻色子”（玻色子）。 圖 1 總結了它們。
圖1 標準模型中的基本粒子[1]
費米子分為夸克和輕子，分別對應圖1中的紫色和綠色部分，起到“磚頭”的作用。 舉幾個我們熟悉的例子，它們都是由費米子組成的：中子由一個上夸克（u）和兩個下夸克（d）組成，質子由兩個上夸克和一個下夸克組成； 電子（e）由以下組成： 它本身是輕子家族的成員。 我們所知道的物質可以還原為分子或原子，分子本身可以還原為原子，原子可以還原為質子、中子和電子，現在我們知道它們也可以還原為夸克和輕子。 因此，標準模型中的費米子從當前還原論的角度來看是物質的極限，我們將其視為自然界最基本的物質成分。
進一步看圖1中的I、II、III三列，數字的含義是：夸克和輕子都分為“三代”。 各代的物理性質相似，唯一的區別是質量：質量隨著代數的增加而顯著增加。 由于質量較大的粒子不穩定，II、III代粒子會很快衰變成I代粒子，所以自然界常見的穩定物質都是由I代費米子組成。
每個夸克又分為三種“顏色”（這里的顏色不是我們日常所說的視覺顏色，它只是一種標識，為了避免混淆，可以粗略地理解為粒子所附著的“數字”），其中是不同的。 除了顏色之外，色夸克具有相同的屬性。 那么為什么要引入變量“顏色”呢？ 引入顏色（術語是“色荷”， color ）的目的是為了解釋幾個表面是“相同的”（即，除了我們還沒有添加的新變量“色荷”）動量守恒定律典型模型，而不違反泡利定律。排除原則。 ，其他性質相同）為什么夸克可以一起形成強子。 泡利不相容原理指出兩個相同的費米子不能處于相同的量子態。 讀者不必被術語所困惑。 我們可以將引入色荷的動機簡化如下：由于在實驗中發現兩個“相同”的費米子具有相同的量子態，這與泡利不相容原理相矛盾，此時，我們要么放棄泡利不相容原理（a具有許多重要應用的基本結論），或者認為實驗中“相同”的粒子并不相同——換句話說，通過引入新的變量，原理仍然成立。 這個新變量稱為色荷。 這種“通過引入新的量來維持原有定律或原理的建立”的過程在科學史上并不少見，是科學發展的重要方法。 更為人們所熟知的能量守恒定律就是一個典型的例子。 讀者可以在《費曼物理講座》的能量守恒部分找到類似的過程，它通過巧妙的積木隱喻來表達。
接下來我們看看傳遞相互作用力的規范玻色子（圖 1 中的紅色部分）。 規范玻色子扮演著“粘合劑”的角色，是多種力的媒介粒子。 三種相互作用（電磁力、強力、弱力）是通過規范玻色子的傳遞來實現的。 其中，電磁力是通過光子的交換來傳遞的（除了重力之外，我們日常生活中幾乎所有的機械現象都是電磁力的表現）。 電磁力與重力一樣，是一種長程力。 強力是通過膠子的交換來傳遞的。 它的射程很短，并且僅限于細胞核內。 它克服電磁斥力并將核子結合在一起形成原子核。 是四大勢力中最強的。 小說《三體》中的“水滴”飛行器的設計初衷就是用強度來建造，以解釋其極高的表面堅固性。 弱力由Z玻色子和正負W玻色子傳遞。 力的范圍也極短，也僅限于原子核內部。 它是放射性現象（衰變）的根源。 圖 2 從強到弱總結了這些基本力。 從圖2中我們可以看到，自然界中有四種基本的相互作用力，標準模型無法解釋重力。 將幾種基本力統一成一個更基本的模型是當今物理理論發展的目標之一。
圖2 標準模型中三種相互作用力與重力的強度關系[2]
光子是傳播電磁力的介質粒子。 我們在高中物理課上了解到，在經典電磁學中，固定電荷通過電場產生排斥或吸引相互作用。 移動的電荷（電流）會激發磁場，磁場會對移動的電荷（電流）施加力。 從標準模型的角度來看，帶電基本粒子通過交換光子相互作用。 這兩種解釋兼容嗎？ 其實這里的光子是量子化的電磁波，也可以理解為光的波粒二象性的粒子性。 夸克和三種類型的輕子（電子、μ子和τ子）攜帶電荷并參與電磁相互作用。
膠子被認為是“雙色的”：具有一種顏色和一種反色，總共八種。 這與夸克的“顏色”有關。 夸克有三種顏色，反夸克有三種反顏色。 為什么不是九種包含一種顏色和一種反色的膠子，而是八種？ 這是因為三對顏色及其反色的總和始終是無色的。 這一限制減少了一種類型的膠子，僅留下八個獨立的膠子。 當帶有顏色的夸克（色荷）通過膠子傳遞強相互作用時，夸克的顏色也會發生變化。 相比之下，夸克也帶有電荷，但當光子攜帶電磁相互作用時，它們的電荷不會改變。 由于輕子不攜帶色荷，因此它們不參與強相互作用。
Z 玻色子和正負 W 玻色子傳遞弱相互作用。 我們每天接觸到的最弱的物質是放射性。 一個典型的例子是β衰變，其中質子通過正W玻色子變成中子、反電子和中微子。 在β衰變中，元素中的質子數減少，中子數增加，從一種元素變為另一種元素，并伴隨著反電子的發射，表明該元素具有放射性。 在標準模型中，β衰變的本質是上夸克衰變為下夸克、反電子和中微子。 注意到前面提到的質子和中子的夸克組成，這個解釋與β衰變中質子轉化為中子是一致的。 此外，正向費米子和反向費米子可以通過交換Z玻色子而相互轉換。 簡而言之，弱相互作用改變了費米子的類型。 所有夸克和輕子都參與弱相互作用，第三代中微子只參與弱相互作用。
最后是希格斯玻色子（圖1中的黃色標記），這是一種非常特殊的玻色子。 它是標準模型的“最后一塊拼圖”，直到 2012 年才在歐洲核研究組織 (CERN) [3] 得到實驗證實，距其提出已近半個世紀。 規范玻色子和費米子都通過與希格斯粒子相互作用而獲得質量。 因此，希格斯玻色子也被昵稱為“上帝粒子”。 希格斯粒子的神奇之處，除了“賦予”其他基本粒子質量外，還在于希格斯粒子具有自相互作用，這一點與規范玻色子完全不同。 希格斯粒子的自相互作用不屬于上述四種相互作用力中的任何一種，而是一種全新的“力”。 這也是粒子物理學家希望建造新型正負電子對撞機——希格斯工廠，進一步研究希格斯粒子的原因之一。
細心的讀者可能會注意到，圖1中的粒子類型數量并沒有達到61種。這里提醒讀者：每個夸克有三種顏色，膠子有八種顏色； 還應該指出的是，每個費米子都有其反粒子，正好有 61 個基本粒子。 關于反粒子，我們還要說一件事：它們在電矩和磁矩上與正電子粒子相反，但具有相同的其他性質。 反粒子相遇并湮滅產生電磁輻射，它們也可以通過電磁輻射成對誕生。
我們對基本粒子及其相互作用的介紹到此結束。 正是這些基本粒子相互作用，形成了我們所熟悉的日常生活世界和各種自然現象。 它們是目前被認為是物質的最小結構，并且是所有物質的基石。
2. 衰減率的計算
在第一部分中，我們研究了粒子物理標準模型的整個框架。 這使得我們能夠快速建立對某個領域的直觀認識，這無疑是重要且有益的。 但這樣做有一個危險：它可能會誤導一些讀者，認為物理學的工作就是想出各種很酷的模型來解釋宇宙，而通常在鳥瞰圖下，這個模型的解釋只是定性的。 因此，有些朋友可能無需進一步系統研究，就開始構建自己的“比較全面”的“宇宙理論”，并且能夠解釋一些現象。 但這是亞里士多德式的傲慢，而不是現代科學理論。 現代科學誕生于實驗，是定量的、可證偽的。 現代科學的語言是數學。 我認為熱愛真理從來不需要準備，但尋找真理卻需要準備。 在這一部分中，我們將一起進行這樣的準備，希望讀者能夠認識到現代科學理論的數量特征。
我們對標準模型理論的框架有了一個概述，但為了檢驗該理論，我們必須將實驗數據與理論預期進行比較。 探測基本粒子的實驗中的原始信息幾乎總是來自三種現象：散射、衰變和束縛態（兩個或多個粒子的復合物）。 這里我們簡單介紹一下如何使用標準模型來預測衰變現象。 [4]
為了預測一種現象，我們必須首先明確我們要計算或測量的物理量。 對于衰變，我們關心的是粒子的壽命。 粒子的衰變過程可以用以下公式描述：
(1)
N(t)表示某一時刻t的粒子數。 方程（1）描述了在dt時間dN內減少的粒子數量，并且還定義了衰減率Г：單位時間內粒子衰減的概率。 那么平均粒子壽命 τ 可以定義為衰變率 Γ 的倒數：
(2)
為了得到我們關心的粒子壽命τ，我們只需要計算衰變率γ即可。 下面給出計算衰減率的方法，這是費米黃金法則的相對論版本[5]：
(3)
利用這個公式可以計算出我們想要的物理量Γ。如果你不想理解式(3)的物理意義，我們的旅程可以到這里結束
。 由于看上去有點復雜，本節將嘗試解釋一下公式的組成以及各部分的作用。 公式的推導超出了本節的范圍； 我們把它留給正式的粒子物理課程。 以下部分假設讀者至少具有高中數學能力，并且最好了解矩陣運算（下面只會使用矩陣來簡化表達式，所以即使你不理解它們，也可以將相應的表達式視為簡寫符號）和積分運算（用到的地方很少，不會也不妨礙一般理解）。
公式（3）依賴于兩個對象：幅度M和相位空間（公式中沒有很多M，它指定了可能的衰減空間）。 相空間的物理圖像是什么樣的？ 在實驗上，我們可以控制初始粒子的能量和動量（即下面介紹的四個能量動量向量），但是量子力學告訴我們最終狀態出現了哪些粒子以及這些粒子的能量和動量是可能性。 相空間是最終粒子的能量和動量所能承受的范圍，或者說它們所形成的空間。 振幅M的平方模|M|2代表產生某些特定終態粒子的概率密度。 相同初態和不同終態的物理過程的幅值M不同，意味著不同終態的概率密度不同。 然后概率密度在相空間上積分以獲得特定物理過程的概率。 費米黃金法則（3）表達了由振幅M表示的特定衰變過程的概率。
我們首先分析相空間部分，然后使用費曼法則來確定振幅M。為了理解定義相空間的方程，我們需要簡要回顧一下相對論的一些方面。 為了理解費曼規則，我們需要理解費曼圖。
(1)了解相空間的局限性
狹義相對論中有洛倫茲變換：
(4)
在
(5)
不了解狹義相對論的讀者可以在任何介紹現代物理的教科書中找到相關材料（例如，老師可能跳過了高中物理課本中選修3-4的相對論部分）。 相信我，最初熟悉它并不困難。
方程（4）是洛倫茲變換的常見形式。 我們將使用一些符號來使其更加對稱和簡潔。 先令：
(6)
則洛倫茲變換可寫為：
(7)
其中 β=v/c。 現在引入矩陣Λ：
(8)
如果約定Λ加上上標和下標表示一個矩陣元素，上標表示行，下標表示列，則洛倫茲變換寫為：
(9)
現在，我們繼續約定“愛因斯坦求和規則”：將重復的上標和下標視為從0到3的和，則洛倫茲變換進一步縮寫為：
(10)
上面我們從公式（4）-（10）知道了洛倫茲變換。 如果通過應用洛倫茲變換規則將具有四個分量的矢量從一個慣性系變換到另一個慣性系，我們將其稱為“四矢量”。 洛倫茲變換 (10) 是四個時間和位置向量的示例。
下面進一步介紹幾何中“線元”的概念。 我們希望“線元素”具有對于特定變換不變的特性[6]。例如，我們希望歐幾里得幾何中的線元素相對于伽利略變換保持不變[7]，所以我們定義線元素
。 很容易驗證dl2滿足伽利略變換下不變性的要求。 現在考慮 Min 幾何中的線元素，它需要相對于洛倫茲變換保持不變。定義
。 容易驗證ds2滿足洛倫茲變換下不變的要求。 由此我們可以定義不變量（相對于洛倫茲變換的不變量）：
(11)
如果引入矩陣g：
(12)
用gμv表示矩陣g的μ行、v列元素，則：
(13)
上式中的第二個等號利用了愛因斯坦求和規則的約定。我們稱之為
(14)
是協變四向量（μ在下標），對應的xμ稱為逆變四向量（μ在上標）。 那么 I 最簡潔的表達就是：
(15)
利用式(15)定義的“線元”和式(10)定義的“四向量”，對于兩個四向量aμ和bμ，我們定義標量積：
(16)
還有：
(17)
那么標量積運算為：
(18)
(19)
上式中的粗體字母代表三維空間向量。 請讀者注意，我們從式（4）到式（19）得到的結論是a2是式（16）定義下的洛倫茲變換不變量，例如振幅的平方模|M|2。
接下來，我們將四個向量的標量積應用于能量和動量。
為了便于后續處理，定義了一個新概念“原速度”η，即靜止系統的位移除以運動系統的持續時間：
(20)
其中，粗體的eta和x是三維的，
（21）
原始速度 η 可以被視為四向量 ημ（最后三個分量）的一部分[8]：
（22）
有了原始速度和相應的四個向量，我們就可以定義動量的四向量形式。 首先將相對論下的三維動量定義為質量乘以原始速度：
（23）
（24）
因此，四個動量向量定義為：
(25)
它的第一個組成部分是：
(26)
我們繼續在相對論的情況下定義能量：
(27)
這樣，式（25）中的四個向量就可以用相對論下的能量和動量符號來表示，稱為能量動量四向量：
(28)
它的“平方”，即標量積：
(29)
我們再次強調，這是洛倫茲變換下的不變量（這正是我們在（18）和（19）中發現的）并且完全源自我們的定義。 上面提到的公式（4）-（29）都是為了理解標量積不是普通的平方，而是根據公式（29）計算的，“僅此而已”。立即我們可以在費米黃金中看到它的身影規則（3）（經過這么長時間的準備
）。
在我們回到方程（3）之前，讀者可能會對上面提到的一些“不自然”的定義感到困惑。 我覺得有必要做一些解釋，以便于理解。 （作者小心思：考慮到讀者讀完很多數學公式后可能會想睡覺，此時插入一個敘述、例子或類比，有提神醒腦的作用，讓我們為下一步做好準備。每次我看到教科書的作者花時間添加一個笑話或例子，我會感謝他/她讓我放松了心情，不知道讀者是否也會感謝我。
。 ）
讓我們看一個來自力學的例子[9]。 想象一下兩個相同物體之間發生輕微爆炸。 對稱性告訴我們，一個將以速度 v 向左移動，另一個將以速度 v 向右移動?，F在使用兩個具有相同質量的物體（材料和其他屬性可能不同），我們發現它們的速率仍然是平等的。 也就是說，我們可以通過測量兩個物體的速度來判斷它們的質量是否相等，從而用“實驗中兩個物體的速度相等”來定義兩個物體的“質量相同”。 現在實驗中，一定尺寸的鉛塊與一定尺寸的鋁塊的速度相等，同樣的鉛塊也與一定尺寸的金塊具有相同的速度。 問：鋁塊和金塊的速度相同嗎？ 實驗表明它們是平等的。 因此根據定義，鉛和金的質量相等。 這條定律是“如果兩個物體與第三個物體具有相同的質量動量守恒定律典型模型，則這兩個物體具有相同的質量”。 讀者可能會認為這太明顯了，不能被視為規律，但這就是我們通過“偶然”選擇相同質量的定義而得到的。 直觀的“顯而易見”并不能替代合理的推理和實驗。 這里，正是為了推導“同質量的傳遞性”，我們選擇了定義[10]。 用費曼的話說，“看似只是一個定義，實際上卻包含著一定的規律?！?就本文的主題而言，可以理解，正是為了得出式（29）的重要結論，我們才選擇這樣的定義。 一個有趣的題外話：數學中有一個類似的思維過程：選擇不同強度的公理集，以得出數學家感興趣的不同結論[11]。 正如此處所定義的那樣，以便得出必要的結論。
現在終于到了回到費米黃金法則 (3) 本身的時候了。 注意等式 (3) 中的兩個 delta 函數：
(30)
(31)
δ函數的定義：當且僅當自變量值為0時，函數值為1，否則函數值為0。兩個δ函數從兩點定義相空間：
另外，式（3）還有一個θ函數（當自變量x0時該函數值為1），這就提出了第三個限制：
通過上述分析，我們推導出相空間的約束條件。
(2) 振幅M的計算方法——費曼法則
下面對費米黃金法則的式(3)中的振幅M進行說明。 首先介紹一下費曼圖，例如：
它描述了費曼圖，其中電子 (e) 進入，與光子 (γ) 相互作用，然后離開。 時間從左向右向前推進。 這種相互作用的“角”是費曼圖的基本結構。 復雜的過程是由這樣的頂角組合組成的，例如：
倒箭頭代表反粒子。 畫面開頭和結尾的線條稱為內線，代表“虛擬粒子”。 您也可以將它們稱為“傳播者”，因為它們正在傳輸交互。 上圖所示的物理過程是正電子和反電子相互作用產生“虛光子”，進一步生成一對正電子和反電子，其中反電子發射出光子。 實驗只能觀察到外部線條（從左側進入、從右側退出的線條），代表粒子的初始狀態和最終狀態。 換句話說，外線是物理過程的初始狀態和最終狀態，內線是初始狀態和最終狀態之間的相互作用“機制”。 上圖是從兩個物體的初始狀態到三個物體的最終狀態的物理過程。 此外，費曼圖中還可能出現一些閉“環”圖。 例如上面的物理過程可以經過如下圖的三角環圖這樣的中間過程：
圓引入了新的動量，原則上可以從負無窮大變為正無窮大。 利用三角圓圖每個“頂點”的動量守恒可以得出這個結論。 有興趣的讀者可以嘗試一下。
現在我們了解了費曼圖，讓我們看看費曼規則。 為了簡單地討論費曼規則并避免涉及自旋（這是質量、電荷和色荷等基本粒子的屬性之一，它會使描述費曼規則變得復雜），我們使用 David Si 提出的一個玩具模型作為目的。
想象一個由三個不同質量的粒子 A、B 和 C 組成的世界。 它們是自己的反粒子，因此下面的費曼圖中不需要箭頭。 這是一個基本的頂角：
它描述了粒子 A 與兩個粒子 B 和 C 的相互作用。
在上面定義的交互框架下，我們獲取某個物理過程的幅值M的一般方法是：
1、標出外側動量pi和內側動量qj，例如
圖中僅示出了外部的線條，虛線內部代表了由基本頂角組成的各種相互作用機制。
2.對于每個頂角，寫一個因子“-ig”，g是耦合常數，代表A、B、C之間相互作用的強度。
3. 對于每個內部傳播器，寫一個因子
qj 和 mj 分別是虛擬粒子的四個動量和質量。 請注意，虛擬粒子不滿足方程（29），否則內傳播器公式的分母將為零。
4. 對于每個頂角，編寫一個 delta 函數：
ki 表示進入頂角的動量（即上面標記的 pi 或 qj）。 如果要離開，則需要一個負值來確保建立動量保護方程（33）。
5.為每個周期圖中引入的附加動量QJ寫一個因素：
我們需要整合從負小度到正無窮大的環圖中引入的自由動量QJ，因為動量保護不能在環圖中對自由動量的任何限制。
結合上面步驟2-5中獲得的結果，并將它們乘以虛擬數I給出了振幅M。具有編程經驗的讀者可以將上述規則類似于程序中的功能。 在操作期間，只要調用“ 規則”函數并輸入所需的參數，就可以獲得所需的輸出值M。 實際上，我們已經有一個完整的程序，該程序具有內置標準模型的所有規則。 您只需要輸入特定的物理過程（初始狀態和最終狀態粒子），該程序將輸出重要的物理量，例如相應過程的振幅，甚至衰減率。
在考慮循環圖的計算過程中，我們遇到了一些不同的（數學上無限）積分。 要解決此問題，需要“重新歸一化”。 該技術相對復雜，并且是粒子物理學研究生研究的一部分，因此無需進一步詳細說明。 我們認為，上述定義，規則和數學操作足以讓讀者意識到粒子物理的標準模型是一種準確的物理模型，不僅具有物理圖像，而且還具有嚴格的數學定義和計算。探索物理科學的“一些數學準備”
。
總而言之，我們了解相空間的局限性以及如何找到振幅M，因此對Fermi （3）有了更深入的了解，而費米黃金公式（3）一開始似乎不可能開始。 從現在開始，我們可以通過實驗預測和測試粒子衰減。 我們的旅程也結束了。 如果本文可以使您對標準模型有一點了解，對粒子物理產生一點興趣或發現一些有趣的物理場所，那么您看到的物理模型不僅是練習中的長期模型。 董事會和小滑塊，然后實現了本文的目的。
[1]圖片來自互聯網。
