“所有模型都是錯(cuò)誤的，但有些模型是有用的。” — EP Box，統(tǒng)計(jì)學(xué)家
歡迎朋友們來(lái)到粒子物理的世界。 在這篇文章中，我們將探討粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型（模型）所給出的世界圖景，以及標(biāo)準(zhǔn)模型的框架和部分：我們將看到構(gòu)成世界的基本粒子，它們各自的特性以及他們?nèi)绾蜗嗷プ饔茫?經(jīng)過(guò)少量的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備，我們還將介紹基本粒子的一個(gè)重要物理量——衰變率。
在旅程正式開始之前，我們不妨回顧一下物理學(xué)的使命和標(biāo)準(zhǔn)模型。 迄今為止的任何物理模型都只是真實(shí)自然的近似，標(biāo)準(zhǔn)模型也不例外。 沒有一個(gè)模型“等于”現(xiàn)實(shí)，但我們總能找到最能解釋當(dāng)前觀察到的現(xiàn)象的物理模型。 標(biāo)準(zhǔn)模型是這些“最佳近似”中最低的模型，它在最微觀的層面上解釋了物質(zhì)的組成和相互作用。
1. 基本框架
標(biāo)準(zhǔn)模型描述的內(nèi)容分為兩部分：61種基本粒子和3種粒子間相互作用力。 我們一般可以將前者理解為構(gòu)建物質(zhì)世界的“磚”和“粘合劑”，而后者則是磚之間通過(guò)粘合劑連接組合的不同方式。 從基本粒子的磚塊和相互作用力的粘合劑中，大自然構(gòu)建了質(zhì)子、原子、分子、所有無(wú)機(jī)和有機(jī)物質(zhì)、生命、行星、恒星。 就像玩積木時(shí)，我們先用幾個(gè)小積木搭建組件，然后用幾個(gè)組件搭建更大的零件，比如手臂、輪子，最后完成整個(gè)模型的搭建。 就像編程時(shí)一樣，編寫者首先使用基本函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)一些簡(jiǎn)單的功能，然后使用這些函數(shù)來(lái)完成更復(fù)雜的功能，最后實(shí)現(xiàn)整個(gè)程序的功能。 從前向后看是通過(guò)基本粒子認(rèn)識(shí)宏觀世界的建構(gòu)視角，從后向前看是尋求基本原理的還原視角。 越靠前的對(duì)象就越“基礎(chǔ)”，因?yàn)楹竺娴膶?duì)象依賴于前面的對(duì)象來(lái)構(gòu)造。 標(biāo)準(zhǔn)模型討論了最基本的對(duì)象：基本粒子及其相互作用。
我們先來(lái)了解一下基本粒子。 根據(jù)功能不同，粒子可分為兩大類：構(gòu)成物質(zhì)的“費(fèi)米子”（）和傳遞相互作用的“玻色子”（玻色子）。 圖 1 總結(jié)了它們。
圖1 標(biāo)準(zhǔn)模型中的基本粒子[1]
費(fèi)米子分為夸克和輕子，分別對(duì)應(yīng)圖1中的紫色和綠色部分，起到“磚頭”的作用。 舉幾個(gè)我們熟悉的例子，它們都是由費(fèi)米子組成的：中子由一個(gè)上夸克（u）和兩個(gè)下夸克（d）組成，質(zhì)子由兩個(gè)上夸克和一個(gè)下夸克組成； 電子（e）由以下組成： 它本身是輕子家族的成員。 我們所知道的物質(zhì)可以還原為分子或原子，分子本身可以還原為原子，原子可以還原為質(zhì)子、中子和電子，現(xiàn)在我們知道它們也可以還原為夸克和輕子。 因此，標(biāo)準(zhǔn)模型中的費(fèi)米子從當(dāng)前還原論的角度來(lái)看是物質(zhì)的極限，我們將其視為自然界最基本的物質(zhì)成分。
進(jìn)一步看圖1中的I、II、III三列，數(shù)字的含義是：夸克和輕子都分為“三代”。 各代的物理性質(zhì)相似，唯一的區(qū)別是質(zhì)量：質(zhì)量隨著代數(shù)的增加而顯著增加。 由于質(zhì)量較大的粒子不穩(wěn)定，II、III代粒子會(huì)很快衰變成I代粒子，所以自然界常見的穩(wěn)定物質(zhì)都是由I代費(fèi)米子組成。
每個(gè)夸克又分為三種“顏色”（這里的顏色不是我們?nèi)粘Ｋf(shuō)的視覺顏色，它只是一種標(biāo)識(shí)，為了避免混淆，可以粗略地理解為粒子所附著的“數(shù)字”），其中是不同的。 除了顏色之外，色夸克具有相同的屬性。 那么為什么要引入變量“顏色”呢？ 引入顏色（術(shù)語(yǔ)是“色荷”， color ）的目的是為了解釋幾個(gè)表面是“相同的”（即，除了我們還沒有添加的新變量“色荷”）動(dòng)量守恒定律典型模型，而不違反泡利定律。排除原則。 ，其他性質(zhì)相同）為什么夸克可以一起形成強(qiáng)子。 泡利不相容原理指出兩個(gè)相同的費(fèi)米子不能處于相同的量子態(tài)。 讀者不必被術(shù)語(yǔ)所困惑。 我們可以將引入色荷的動(dòng)機(jī)簡(jiǎn)化如下：由于在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)兩個(gè)“相同”的費(fèi)米子具有相同的量子態(tài)，這與泡利不相容原理相矛盾，此時(shí)，我們要么放棄泡利不相容原理（a具有許多重要應(yīng)用的基本結(jié)論），或者認(rèn)為實(shí)驗(yàn)中“相同”的粒子并不相同——換句話說(shuō)，通過(guò)引入新的變量，原理仍然成立。 這個(gè)新變量稱為色荷。 這種“通過(guò)引入新的量來(lái)維持原有定律或原理的建立”的過(guò)程在科學(xué)史上并不少見，是科學(xué)發(fā)展的重要方法。 更為人們所熟知的能量守恒定律就是一個(gè)典型的例子。 讀者可以在《費(fèi)曼物理講座》的能量守恒部分找到類似的過(guò)程，它通過(guò)巧妙的積木隱喻來(lái)表達(dá)。
接下來(lái)我們看看傳遞相互作用力的規(guī)范玻色子（圖 1 中的紅色部分）。 規(guī)范玻色子扮演著“粘合劑”的角色，是多種力的媒介粒子。 三種相互作用（電磁力、強(qiáng)力、弱力）是通過(guò)規(guī)范玻色子的傳遞來(lái)實(shí)現(xiàn)的。 其中，電磁力是通過(guò)光子的交換來(lái)傳遞的（除了重力之外，我們?nèi)粘Ｉ钪袔缀跛械臋C(jī)械現(xiàn)象都是電磁力的表現(xiàn)）。 電磁力與重力一樣，是一種長(zhǎng)程力。 強(qiáng)力是通過(guò)膠子的交換來(lái)傳遞的。 它的射程很短，并且僅限于細(xì)胞核內(nèi)。 它克服電磁斥力并將核子結(jié)合在一起形成原子核。 是四大勢(shì)力中最強(qiáng)的。 小說(shuō)《三體》中的“水滴”飛行器的設(shè)計(jì)初衷就是用強(qiáng)度來(lái)建造，以解釋其極高的表面堅(jiān)固性。 弱力由Z玻色子和正負(fù)W玻色子傳遞。 力的范圍也極短，也僅限于原子核內(nèi)部。 它是放射性現(xiàn)象（衰變）的根源。 圖 2 從強(qiáng)到弱總結(jié)了這些基本力。 從圖2中我們可以看到，自然界中有四種基本的相互作用力，標(biāo)準(zhǔn)模型無(wú)法解釋重力。 將幾種基本力統(tǒng)一成一個(gè)更基本的模型是當(dāng)今物理理論發(fā)展的目標(biāo)之一。
圖2 標(biāo)準(zhǔn)模型中三種相互作用力與重力的強(qiáng)度關(guān)系[2]
光子是傳播電磁力的介質(zhì)粒子。 我們?cè)诟咧形锢碚n上了解到，在經(jīng)典電磁學(xué)中，固定電荷通過(guò)電場(chǎng)產(chǎn)生排斥或吸引相互作用。 移動(dòng)的電荷（電流）會(huì)激發(fā)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)會(huì)對(duì)移動(dòng)的電荷（電流）施加力。 從標(biāo)準(zhǔn)模型的角度來(lái)看，帶電基本粒子通過(guò)交換光子相互作用。 這兩種解釋兼容嗎？ 其實(shí)這里的光子是量子化的電磁波，也可以理解為光的波粒二象性的粒子性。 夸克和三種類型的輕子（電子、μ子和τ子）攜帶電荷并參與電磁相互作用。
膠子被認(rèn)為是“雙色的”：具有一種顏色和一種反色，總共八種。 這與夸克的“顏色”有關(guān)。 夸克有三種顏色，反夸克有三種反顏色。 為什么不是九種包含一種顏色和一種反色的膠子，而是八種？ 這是因?yàn)槿龑?duì)顏色及其反色的總和始終是無(wú)色的。 這一限制減少了一種類型的膠子，僅留下八個(gè)獨(dú)立的膠子。 當(dāng)帶有顏色的夸克（色荷）通過(guò)膠子傳遞強(qiáng)相互作用時(shí)，夸克的顏色也會(huì)發(fā)生變化。 相比之下，夸克也帶有電荷，但當(dāng)光子攜帶電磁相互作用時(shí)，它們的電荷不會(huì)改變。 由于輕子不攜帶色荷，因此它們不參與強(qiáng)相互作用。
Z 玻色子和正負(fù) W 玻色子傳遞弱相互作用。 我們每天接觸到的最弱的物質(zhì)是放射性。 一個(gè)典型的例子是β衰變，其中質(zhì)子通過(guò)正W玻色子變成中子、反電子和中微子。 在β衰變中，元素中的質(zhì)子數(shù)減少，中子數(shù)增加，從一種元素變?yōu)榱硪环N元素，并伴隨著反電子的發(fā)射，表明該元素具有放射性。 在標(biāo)準(zhǔn)模型中，β衰變的本質(zhì)是上夸克衰變?yōu)橄驴淇恕⒎措娮雍椭形⒆印?注意到前面提到的質(zhì)子和中子的夸克組成，這個(gè)解釋與β衰變中質(zhì)子轉(zhuǎn)化為中子是一致的。 此外，正向費(fèi)米子和反向費(fèi)米子可以通過(guò)交換Z玻色子而相互轉(zhuǎn)換。 簡(jiǎn)而言之，弱相互作用改變了費(fèi)米子的類型。 所有夸克和輕子都參與弱相互作用，第三代中微子只參與弱相互作用。
最后是希格斯玻色子（圖1中的黃色標(biāo)記），這是一種非常特殊的玻色子。 它是標(biāo)準(zhǔn)模型的“最后一塊拼圖”，直到 2012 年才在歐洲核研究組織 (CERN) [3] 得到實(shí)驗(yàn)證實(shí)，距其提出已近半個(gè)世紀(jì)。 規(guī)范玻色子和費(fèi)米子都通過(guò)與希格斯粒子相互作用而獲得質(zhì)量。 因此，希格斯玻色子也被昵稱為“上帝粒子”。 希格斯粒子的神奇之處，除了“賦予”其他基本粒子質(zhì)量外，還在于希格斯粒子具有自相互作用，這一點(diǎn)與規(guī)范玻色子完全不同。 希格斯粒子的自相互作用不屬于上述四種相互作用力中的任何一種，而是一種全新的“力”。 這也是粒子物理學(xué)家希望建造新型正負(fù)電子對(duì)撞機(jī)——希格斯工廠，進(jìn)一步研究希格斯粒子的原因之一。
細(xì)心的讀者可能會(huì)注意到，圖1中的粒子類型數(shù)量并沒有達(dá)到61種。這里提醒讀者：每個(gè)夸克有三種顏色，膠子有八種顏色； 還應(yīng)該指出的是，每個(gè)費(fèi)米子都有其反粒子，正好有 61 個(gè)基本粒子。 關(guān)于反粒子，我們還要說(shuō)一件事：它們?cè)陔娋睾痛啪厣吓c正電子粒子相反，但具有相同的其他性質(zhì)。 反粒子相遇并湮滅產(chǎn)生電磁輻射，它們也可以通過(guò)電磁輻射成對(duì)誕生。
我們對(duì)基本粒子及其相互作用的介紹到此結(jié)束。 正是這些基本粒子相互作用，形成了我們所熟悉的日常生活世界和各種自然現(xiàn)象。 它們是目前被認(rèn)為是物質(zhì)的最小結(jié)構(gòu)，并且是所有物質(zhì)的基石。
2. 衰減率的計(jì)算
在第一部分中，我們研究了粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型的整個(gè)框架。 這使得我們能夠快速建立對(duì)某個(gè)領(lǐng)域的直觀認(rèn)識(shí)，這無(wú)疑是重要且有益的。 但這樣做有一個(gè)危險(xiǎn)：它可能會(huì)誤導(dǎo)一些讀者，認(rèn)為物理學(xué)的工作就是想出各種很酷的模型來(lái)解釋宇宙，而通常在鳥瞰圖下，這個(gè)模型的解釋只是定性的。 因此，有些朋友可能無(wú)需進(jìn)一步系統(tǒng)研究，就開始構(gòu)建自己的“比較全面”的“宇宙理論”，并且能夠解釋一些現(xiàn)象。 但這是亞里士多德式的傲慢，而不是現(xiàn)代科學(xué)理論。 現(xiàn)代科學(xué)誕生于實(shí)驗(yàn)，是定量的、可證偽的。 現(xiàn)代科學(xué)的語(yǔ)言是數(shù)學(xué)。 我認(rèn)為熱愛真理從來(lái)不需要準(zhǔn)備，但尋找真理卻需要準(zhǔn)備。 在這一部分中，我們將一起進(jìn)行這樣的準(zhǔn)備，希望讀者能夠認(rèn)識(shí)到現(xiàn)代科學(xué)理論的數(shù)量特征。
我們對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模型理論的框架有了一個(gè)概述，但為了檢驗(yàn)該理論，我們必須將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論預(yù)期進(jìn)行比較。 探測(cè)基本粒子的實(shí)驗(yàn)中的原始信息幾乎總是來(lái)自三種現(xiàn)象：散射、衰變和束縛態(tài)（兩個(gè)或多個(gè)粒子的復(fù)合物）。 這里我們簡(jiǎn)單介紹一下如何使用標(biāo)準(zhǔn)模型來(lái)預(yù)測(cè)衰變現(xiàn)象。 [4]
為了預(yù)測(cè)一種現(xiàn)象，我們必須首先明確我們要計(jì)算或測(cè)量的物理量。 對(duì)于衰變，我們關(guān)心的是粒子的壽命。 粒子的衰變過(guò)程可以用以下公式描述：
(1)
N(t)表示某一時(shí)刻t的粒子數(shù)。 方程（1）描述了在dt時(shí)間dN內(nèi)減少的粒子數(shù)量，并且還定義了衰減率Г：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)粒子衰減的概率。 那么平均粒子壽命 τ 可以定義為衰變率 Γ 的倒數(shù)：
(2)
為了得到我們關(guān)心的粒子壽命τ，我們只需要計(jì)算衰變率γ即可。 下面給出計(jì)算衰減率的方法，這是費(fèi)米黃金法則的相對(duì)論版本[5]：
(3)
利用這個(gè)公式可以計(jì)算出我們想要的物理量Γ。如果你不想理解式(3)的物理意義，我們的旅程可以到這里結(jié)束
。 由于看上去有點(diǎn)復(fù)雜，本節(jié)將嘗試解釋一下公式的組成以及各部分的作用。 公式的推導(dǎo)超出了本節(jié)的范圍； 我們把它留給正式的粒子物理課程。 以下部分假設(shè)讀者至少具有高中數(shù)學(xué)能力，并且最好了解矩陣運(yùn)算（下面只會(huì)使用矩陣來(lái)簡(jiǎn)化表達(dá)式，所以即使你不理解它們，也可以將相應(yīng)的表達(dá)式視為簡(jiǎn)寫符號(hào)）和積分運(yùn)算（用到的地方很少，不會(huì)也不妨礙一般理解）。
公式（3）依賴于兩個(gè)對(duì)象：幅度M和相位空間（公式中沒有很多M，它指定了可能的衰減空間）。 相空間的物理圖像是什么樣的？ 在實(shí)驗(yàn)上，我們可以控制初始粒子的能量和動(dòng)量（即下面介紹的四個(gè)能量動(dòng)量向量），但是量子力學(xué)告訴我們最終狀態(tài)出現(xiàn)了哪些粒子以及這些粒子的能量和動(dòng)量是可能性。 相空間是最終粒子的能量和動(dòng)量所能承受的范圍，或者說(shuō)它們所形成的空間。 振幅M的平方模|M|2代表產(chǎn)生某些特定終態(tài)粒子的概率密度。 相同初態(tài)和不同終態(tài)的物理過(guò)程的幅值M不同，意味著不同終態(tài)的概率密度不同。 然后概率密度在相空間上積分以獲得特定物理過(guò)程的概率。 費(fèi)米黃金法則（3）表達(dá)了由振幅M表示的特定衰變過(guò)程的概率。
我們首先分析相空間部分，然后使用費(fèi)曼法則來(lái)確定振幅M。為了理解定義相空間的方程，我們需要簡(jiǎn)要回顧一下相對(duì)論的一些方面。 為了理解費(fèi)曼規(guī)則，我們需要理解費(fèi)曼圖。
(1)了解相空間的局限性
狹義相對(duì)論中有洛倫茲變換：
(4)
在
(5)
不了解狹義相對(duì)論的讀者可以在任何介紹現(xiàn)代物理的教科書中找到相關(guān)材料（例如，老師可能跳過(guò)了高中物理課本中選修3-4的相對(duì)論部分）。 相信我，最初熟悉它并不困難。
方程（4）是洛倫茲變換的常見形式。 我們將使用一些符號(hào)來(lái)使其更加對(duì)稱和簡(jiǎn)潔。 先令：
(6)
則洛倫茲變換可寫為：
(7)
其中 β=v/c。 現(xiàn)在引入矩陣Λ：
(8)
如果約定Λ加上上標(biāo)和下標(biāo)表示一個(gè)矩陣元素，上標(biāo)表示行，下標(biāo)表示列，則洛倫茲變換寫為：
(9)
現(xiàn)在，我們繼續(xù)約定“愛因斯坦求和規(guī)則”：將重復(fù)的上標(biāo)和下標(biāo)視為從0到3的和，則洛倫茲變換進(jìn)一步縮寫為：
(10)
上面我們從公式（4）-（10）知道了洛倫茲變換。 如果通過(guò)應(yīng)用洛倫茲變換規(guī)則將具有四個(gè)分量的矢量從一個(gè)慣性系變換到另一個(gè)慣性系，我們將其稱為“四矢量”。 洛倫茲變換 (10) 是四個(gè)時(shí)間和位置向量的示例。
下面進(jìn)一步介紹幾何中“線元”的概念。 我們希望“線元素”具有對(duì)于特定變換不變的特性[6]。例如，我們希望歐幾里得幾何中的線元素相對(duì)于伽利略變換保持不變[7]，所以我們定義線元素
。 很容易驗(yàn)證dl2滿足伽利略變換下不變性的要求。 現(xiàn)在考慮 Min 幾何中的線元素，它需要相對(duì)于洛倫茲變換保持不變。定義
。 容易驗(yàn)證ds2滿足洛倫茲變換下不變的要求。 由此我們可以定義不變量（相對(duì)于洛倫茲變換的不變量）：
(11)
如果引入矩陣g：
(12)
用gμv表示矩陣g的μ行、v列元素，則：
(13)
上式中的第二個(gè)等號(hào)利用了愛因斯坦求和規(guī)則的約定。我們稱之為
(14)
是協(xié)變四向量（μ在下標(biāo)），對(duì)應(yīng)的xμ稱為逆變四向量（μ在上標(biāo)）。 那么 I 最簡(jiǎn)潔的表達(dá)就是：
(15)
利用式(15)定義的“線元”和式(10)定義的“四向量”，對(duì)于兩個(gè)四向量aμ和bμ，我們定義標(biāo)量積：
(16)
還有：
(17)
那么標(biāo)量積運(yùn)算為：
(18)
(19)
上式中的粗體字母代表三維空間向量。 請(qǐng)讀者注意，我們從式（4）到式（19）得到的結(jié)論是a2是式（16）定義下的洛倫茲變換不變量，例如振幅的平方模|M|2。
接下來(lái)，我們將四個(gè)向量的標(biāo)量積應(yīng)用于能量和動(dòng)量。
為了便于后續(xù)處理，定義了一個(gè)新概念“原速度”η，即靜止系統(tǒng)的位移除以運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的持續(xù)時(shí)間：
(20)
其中，粗體的eta和x是三維的，
（21）
原始速度 η 可以被視為四向量 ημ（最后三個(gè)分量）的一部分[8]：
（22）
有了原始速度和相應(yīng)的四個(gè)向量，我們就可以定義動(dòng)量的四向量形式。 首先將相對(duì)論下的三維動(dòng)量定義為質(zhì)量乘以原始速度：
（23）
（24）
因此，四個(gè)動(dòng)量向量定義為：
(25)
它的第一個(gè)組成部分是：
(26)
我們繼續(xù)在相對(duì)論的情況下定義能量：
(27)
這樣，式（25）中的四個(gè)向量就可以用相對(duì)論下的能量和動(dòng)量符號(hào)來(lái)表示，稱為能量動(dòng)量四向量：
(28)
它的“平方”，即標(biāo)量積：
(29)
我們?cè)俅螐?qiáng)調(diào)，這是洛倫茲變換下的不變量（這正是我們?cè)冢?8）和（19）中發(fā)現(xiàn)的）并且完全源自我們的定義。 上面提到的公式（4）-（29）都是為了理解標(biāo)量積不是普通的平方，而是根據(jù)公式（29）計(jì)算的，“僅此而已”。立即我們可以在費(fèi)米黃金中看到它的身影規(guī)則（3）（經(jīng)過(guò)這么長(zhǎng)時(shí)間的準(zhǔn)備
）。
在我們回到方程（3）之前，讀者可能會(huì)對(duì)上面提到的一些“不自然”的定義感到困惑。 我覺得有必要做一些解釋，以便于理解。 （作者小心思：考慮到讀者讀完很多數(shù)學(xué)公式后可能會(huì)想睡覺，此時(shí)插入一個(gè)敘述、例子或類比，有提神醒腦的作用，讓我們?yōu)橄乱徊阶龊脺?zhǔn)備。每次我看到教科書的作者花時(shí)間添加一個(gè)笑話或例子，我會(huì)感謝他/她讓我放松了心情，不知道讀者是否也會(huì)感謝我。
。 ）
讓我們看一個(gè)來(lái)自力學(xué)的例子[9]。 想象一下兩個(gè)相同物體之間發(fā)生輕微爆炸。 對(duì)稱性告訴我們，一個(gè)將以速度 v 向左移動(dòng)，另一個(gè)將以速度 v 向右移動(dòng)。現(xiàn)在使用兩個(gè)具有相同質(zhì)量的物體（材料和其他屬性可能不同），我們發(fā)現(xiàn)它們的速率仍然是平等的。 也就是說(shuō)，我們可以通過(guò)測(cè)量?jī)蓚€(gè)物體的速度來(lái)判斷它們的質(zhì)量是否相等，從而用“實(shí)驗(yàn)中兩個(gè)物體的速度相等”來(lái)定義兩個(gè)物體的“質(zhì)量相同”。 現(xiàn)在實(shí)驗(yàn)中，一定尺寸的鉛塊與一定尺寸的鋁塊的速度相等，同樣的鉛塊也與一定尺寸的金塊具有相同的速度。 問(wèn)：鋁塊和金塊的速度相同嗎？ 實(shí)驗(yàn)表明它們是平等的。 因此根據(jù)定義，鉛和金的質(zhì)量相等。 這條定律是“如果兩個(gè)物體與第三個(gè)物體具有相同的質(zhì)量動(dòng)量守恒定律典型模型，則這兩個(gè)物體具有相同的質(zhì)量”。 讀者可能會(huì)認(rèn)為這太明顯了，不能被視為規(guī)律，但這就是我們通過(guò)“偶然”選擇相同質(zhì)量的定義而得到的。 直觀的“顯而易見”并不能替代合理的推理和實(shí)驗(yàn)。 這里，正是為了推導(dǎo)“同質(zhì)量的傳遞性”，我們選擇了定義[10]。 用費(fèi)曼的話說(shuō)，“看似只是一個(gè)定義，實(shí)際上卻包含著一定的規(guī)律。” 就本文的主題而言，可以理解，正是為了得出式（29）的重要結(jié)論，我們才選擇這樣的定義。 一個(gè)有趣的題外話：數(shù)學(xué)中有一個(gè)類似的思維過(guò)程：選擇不同強(qiáng)度的公理集，以得出數(shù)學(xué)家感興趣的不同結(jié)論[11]。 正如此處所定義的那樣，以便得出必要的結(jié)論。
現(xiàn)在終于到了回到費(fèi)米黃金法則 (3) 本身的時(shí)候了。 注意等式 (3) 中的兩個(gè) delta 函數(shù)：
(30)
(31)
δ函數(shù)的定義：當(dāng)且僅當(dāng)自變量值為0時(shí)，函數(shù)值為1，否則函數(shù)值為0。兩個(gè)δ函數(shù)從兩點(diǎn)定義相空間：
另外，式（3）還有一個(gè)θ函數(shù)（當(dāng)自變量x0時(shí)該函數(shù)值為1），這就提出了第三個(gè)限制：
通過(guò)上述分析，我們推導(dǎo)出相空間的約束條件。
(2) 振幅M的計(jì)算方法——費(fèi)曼法則
下面對(duì)費(fèi)米黃金法則的式(3)中的振幅M進(jìn)行說(shuō)明。 首先介紹一下費(fèi)曼圖，例如：
它描述了費(fèi)曼圖，其中電子 (e) 進(jìn)入，與光子 (γ) 相互作用，然后離開。 時(shí)間從左向右向前推進(jìn)。 這種相互作用的“角”是費(fèi)曼圖的基本結(jié)構(gòu)。 復(fù)雜的過(guò)程是由這樣的頂角組合組成的，例如：
倒箭頭代表反粒子。 畫面開頭和結(jié)尾的線條稱為內(nèi)線，代表“虛擬粒子”。 您也可以將它們稱為“傳播者”，因?yàn)樗鼈冋趥鬏斀换ァ?上圖所示的物理過(guò)程是正電子和反電子相互作用產(chǎn)生“虛光子”，進(jìn)一步生成一對(duì)正電子和反電子，其中反電子發(fā)射出光子。 實(shí)驗(yàn)只能觀察到外部線條（從左側(cè)進(jìn)入、從右側(cè)退出的線條），代表粒子的初始狀態(tài)和最終狀態(tài)。 換句話說(shuō)，外線是物理過(guò)程的初始狀態(tài)和最終狀態(tài)，內(nèi)線是初始狀態(tài)和最終狀態(tài)之間的相互作用“機(jī)制”。 上圖是從兩個(gè)物體的初始狀態(tài)到三個(gè)物體的最終狀態(tài)的物理過(guò)程。 此外，費(fèi)曼圖中還可能出現(xiàn)一些閉“環(huán)”圖。 例如上面的物理過(guò)程可以經(jīng)過(guò)如下圖的三角環(huán)圖這樣的中間過(guò)程：
圓引入了新的動(dòng)量，原則上可以從負(fù)無(wú)窮大變?yōu)檎裏o(wú)窮大。 利用三角圓圖每個(gè)“頂點(diǎn)”的動(dòng)量守恒可以得出這個(gè)結(jié)論。 有興趣的讀者可以嘗試一下。
現(xiàn)在我們了解了費(fèi)曼圖，讓我們看看費(fèi)曼規(guī)則。 為了簡(jiǎn)單地討論費(fèi)曼規(guī)則并避免涉及自旋（這是質(zhì)量、電荷和色荷等基本粒子的屬性之一，它會(huì)使描述費(fèi)曼規(guī)則變得復(fù)雜），我們使用 David Si 提出的一個(gè)玩具模型作為目的。
想象一個(gè)由三個(gè)不同質(zhì)量的粒子 A、B 和 C 組成的世界。 它們是自己的反粒子，因此下面的費(fèi)曼圖中不需要箭頭。 這是一個(gè)基本的頂角：
它描述了粒子 A 與兩個(gè)粒子 B 和 C 的相互作用。
在上面定義的交互框架下，我們獲取某個(gè)物理過(guò)程的幅值M的一般方法是：
1、標(biāo)出外側(cè)動(dòng)量pi和內(nèi)側(cè)動(dòng)量qj，例如
圖中僅示出了外部的線條，虛線內(nèi)部代表了由基本頂角組成的各種相互作用機(jī)制。
2.對(duì)于每個(gè)頂角，寫一個(gè)因子“-ig”，g是耦合常數(shù)，代表A、B、C之間相互作用的強(qiáng)度。
3. 對(duì)于每個(gè)內(nèi)部傳播器，寫一個(gè)因子
qj 和 mj 分別是虛擬粒子的四個(gè)動(dòng)量和質(zhì)量。 請(qǐng)注意，虛擬粒子不滿足方程（29），否則內(nèi)傳播器公式的分母將為零。
4. 對(duì)于每個(gè)頂角，編寫一個(gè) delta 函數(shù)：
ki 表示進(jìn)入頂角的動(dòng)量（即上面標(biāo)記的 pi 或 qj）。 如果要離開，則需要一個(gè)負(fù)值來(lái)確保建立動(dòng)量保護(hù)方程（33）。
5.為每個(gè)周期圖中引入的附加動(dòng)量QJ寫一個(gè)因素：
我們需要整合從負(fù)小度到正無(wú)窮大的環(huán)圖中引入的自由動(dòng)量QJ，因?yàn)閯?dòng)量保護(hù)不能在環(huán)圖中對(duì)自由動(dòng)量的任何限制。
結(jié)合上面步驟2-5中獲得的結(jié)果，并將它們乘以虛擬數(shù)I給出了振幅M。具有編程經(jīng)驗(yàn)的讀者可以將上述規(guī)則類似于程序中的功能。 在操作期間，只要調(diào)用“ 規(guī)則”函數(shù)并輸入所需的參數(shù)，就可以獲得所需的輸出值M。 實(shí)際上，我們已經(jīng)有一個(gè)完整的程序，該程序具有內(nèi)置標(biāo)準(zhǔn)模型的所有規(guī)則。 您只需要輸入特定的物理過(guò)程（初始狀態(tài)和最終狀態(tài)粒子），該程序?qū)⑤敵鲋匾奈锢砹浚缦鄳?yīng)過(guò)程的振幅，甚至衰減率。
在考慮循環(huán)圖的計(jì)算過(guò)程中，我們遇到了一些不同的（數(shù)學(xué)上無(wú)限）積分。 要解決此問(wèn)題，需要“重新歸一化”。 該技術(shù)相對(duì)復(fù)雜，并且是粒子物理學(xué)研究生研究的一部分，因此無(wú)需進(jìn)一步詳細(xì)說(shuō)明。 我們認(rèn)為，上述定義，規(guī)則和數(shù)學(xué)操作足以讓讀者意識(shí)到粒子物理的標(biāo)準(zhǔn)模型是一種準(zhǔn)確的物理模型，不僅具有物理圖像，而且還具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義和計(jì)算。探索物理科學(xué)的“一些數(shù)學(xué)準(zhǔn)備”
。
總而言之，我們了解相空間的局限性以及如何找到振幅M，因此對(duì)Fermi （3）有了更深入的了解，而費(fèi)米黃金公式（3）一開始似乎不可能開始。 從現(xiàn)在開始，我們可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)預(yù)測(cè)和測(cè)試粒子衰減。 我們的旅程也結(jié)束了。 如果本文可以使您對(duì)標(biāo)準(zhǔn)模型有一點(diǎn)了解，對(duì)粒子物理產(chǎn)生一點(diǎn)興趣或發(fā)現(xiàn)一些有趣的物理場(chǎng)所，那么您看到的物理模型不僅是練習(xí)中的長(zhǎng)期模型。 董事會(huì)和小滑塊，然后實(shí)現(xiàn)了本文的目的。
[1]圖片來(lái)自互聯(lián)網(wǎng)。
