歷史上，古希臘數學家阿基米德是第一個計算出球的體積和表面積公式的人。
阿基米德的結果記錄在他的兩卷本《論球體和圓柱體》的第一卷中，可以簡單地表述為：
球體與其外接圓柱的體積之比和表面積之比都等于三分之二。
據說阿基米德希望將這一自豪的發現刻在他的墓碑上。
本文介紹阿基米德求球面積和球冠公式的方法。 適合中學生閱讀。
(1)直圓錐的邊面積
初中數學中，我們已經學過圓錐體的邊面積公式。
使用展開圖，我們可以看到直圓錐的邊面積等于
其中 是基圓的半徑， 是母線的長度。
此外，很容易得到直圓錐的邊面積公式。
截錐體和相關錐體的軸向橫截面
命題是直圓錐的側面積等于
其中 是上、下基圓的半徑阿基米德公式， 是母線的長度。
證明：用平行于底面的平面從大直圓錐上切下小直圓錐，得到直截圓錐。 因此，直立圓錐的側面積等于兩個直圓錐的側面積之差。
假設大、小錐體的基圓半徑分別為母線長度阿基米德公式，則有 和
由于三角形相似，我們有
所以得到
這就證明了這個命題。
(2)旋轉體側面面積
如圖所示，圓弧繞直徑旋轉，得到球冠。
我們的目標是求出這個球冠的面積
為此，首先找到特殊旋轉體的側面區域。
對于任何等分弧的弧，令分界點依次為
則有弦長相等的方程：
對稱地，圓弧的分點按順序劃分：
折線繞直徑旋轉，所得曲面的面積記為
引理 該旋轉面的面積
證明：求的面積是一些截錐體（圓錐體、圓柱體）的側面積之和。
根據上一節的命題，我們得到
單獨移交
單獨移交
由一系列相似的三角形
得到比例公式
根據組合定理，我們得到
所以
這就證明了引理。
俗話說：它們分別稱為球冠的斜邊和高。
(3)球冠面積
阿基米德利用窮舉法（古希臘數學中的一種特殊極限理論）嚴格證明了：
當面積極限等于
使用上一節中的符號，應該有
由引理，我們直接得到
這個結論可以表示為
定理1 球冠的面積等于球冠的高度、直徑和圓周率的乘積。
進一步，我們得到
定理2 球冠的面積等于以斜邊為半徑的圓的面積。
在同一討論中，給出了球體面積的公式。
定理3 球體的面積等于球體大圓面積的四倍。
(4)由球體面積計算體積
眾所周知，圓的面積公式可以由圓的周長公式得到：
圓的面積等于周長和半徑的乘積的一半，即
非常類似，球體的體積公式可以從球體的面積公式推導出來：
球體的體積等于表面積和半徑乘積的三分之一，即
利用球體的體積公式，也可以推導出面積公式。
(五)結論
阿基米德用最基本的數學知識和極限思維計算出了球冠面積的公式，令人驚嘆。
根據球面幾何學，球冠就是球面幾何學的“圓”。
因此，球冠的面積公式可以轉化為球面幾何的“圓面積公式”：
具有“半徑”的圓在具有半徑的球體上的面積是
將正弦改為雙曲正弦，即可得到雙曲幾何的圓面積公式。
阿基米德這個名字的意思是“偉大的思想家”，這是恰當的。
