夏天外出就餐時，蒼蠅常常不請自來。 打蒼蠅是一項技術活，因為蒼蠅的飛行軌跡非常奇怪，人類僅憑雙手很難找到目標。
那么問題來了，蒼蠅為什么會飛來飛去呢？
你可能不知道，像這樣飛來飛去的蒼蠅實際上利用了強大的數(shù)學原理，使它們的飛行軌跡難以捉摸，避免被擊中。 這種數(shù)學原理稱為萊維飛行。 Lévy航班航線圖如下：
萊維飛行是一種分形，這意味著無論放大多少倍，它看起來仍然與原始圖案相似。 更重要的是，萊維的飛行是隨機游走，這意味著它的軌跡無法準確預測，就像蒼蠅的步伐一樣幽靈般。 顯然，萊維飛行可以幫助蒼蠅避開捕食者和人類試圖將它們的小腦袋敲扁的情況。
2008年，東京大學生物學家團隊發(fā)現(xiàn)家蠅（Musca）的飛行路線屬于Lévy飛行。 不僅是家蠅，家里常見的果蠅也是“Lévy Flyer”。 例如，果蠅 ( ) 經(jīng)常沿直線飛行并快速 90 度轉彎。 他們的飛行軌跡是正列維飛行圖——
我們在中學時就知道一些微小的粒子具有布朗運動。
雖然布朗運動也是隨機游走，但列維飛行與布朗運動不同。 布朗運動有一個特點，就是每一步的步長都集中在一個區(qū)域內(nèi)，圖上就是一條鐘形曲線——
利維飛行的情況并非如此。 由于它是一個以長程跳躍為特征的具有馬爾可夫性質(zhì)的隨機過程，因此當|X|→無窮大時，它具有長尾漸近形式。
也就是說，對于Lévy飛行，粒子在某些區(qū)域偶爾會發(fā)生長距離跳躍，噪聲驅動方程、分數(shù)階方程和跳躍距離都可以作為Lévy分布的CTRW理論。
在連續(xù)時間隨機游走框架中，如果將等待時間分布取為泊松分布
跳躍距離分布取Lévy分布，其長尾漸近形式為
變換等待時間分布 ω(t)
以及跳躍距離分布λ(x)的變換形式
將概率分布函數(shù)p(x,t)滿足的方程代入-空間，可得
在
通過逆變換，可以得到概率分布函數(shù)p(x,t)的特征函數(shù)以及p(k,t)的表達式
上式是中心對稱Levy分布的特征函數(shù)。 利用Fox函數(shù)，粒子在坐標空間中的概率分布函數(shù)可以寫為
由上式，我們可以得到冪律形式的漸進式
因此，其空間分布的二次距離是發(fā)散的。
可見，萊維飛行在很多不同領域都能“得心應手”、“適用”。
例如，當水從水龍頭中滴落時，兩滴水之間的時間差是萊維飛行； 健康心臟兩次跳動之間的差距，甚至股市的走勢，都是萊維飛行。 人類旅行的分布、地震行為的某些方面，甚至等離子體的碰撞動力學都可以在微觀層面上使用。
比如下圖是西班牙某股票價格與西班牙股指的關系——
在注意到萊維飛行在出了名的不可預測的股票市場中的應用空間后，金融科學家開始利用萊維飛行來研究金融市場。 最后，你可能想問，列維飛行和布朗運動有什么區(qū)別，它們有什么用？ 萊維飛行和布朗運動步長的不同性質(zhì)直接導致萊維飛行比布朗運動更有效率。 當行走相同步數(shù)或距離時，Lévy飛行位移比布朗運動大得多，可以探索更大的空間。
布朗運動（左）和列維飛行（右）的效率比較。 顯然，萊維飛行覆蓋的區(qū)域更大，距離和步數(shù)更少，這對于需要在未知領域捕獵的生物至關重要。 果然，發(fā)現(xiàn)萊維飛行的法國數(shù)學家、 （B.）的導師保羅·萊維（Paul Lévy）是第一個發(fā)現(xiàn)生命的許多隨機運動屬于萊維飛行的人，而不是像分子那樣的布朗運動。
例如，當鯊魚等海洋掠食者知道附近有食物時，它們就會使用布朗運動。 因為布朗運動有助于椎間盤打開并清除一小部分隱藏的食物。 但當食物不足、需要開辟新領地時，海洋捕食者就會放棄布朗運動，而采用李維飛行策略。
2008年，英國和美國的一個研究小組在《》上發(fā)表了一項研究。 他們給大西洋和太平洋的 55 種不同的海洋捕食者（包括絲鯊、旗魚、藍馬林魚、黃鰭金槍魚、海龜和企鵝）佩戴了追蹤器，以追蹤它們在 5,800 天的活動。
在對它們的動作進行了 1200 萬次分析后，研究人員發(fā)現(xiàn)，當食物匱乏時，大多數(shù)海洋掠食者更喜歡利維特式的動作。 更有趣的是，磷蝦等獵物的分布也符合萊維飛行的特點。
不僅如此，變形蟲、浮游生物、白蟻、熊蜂、大型陸生食草動物、鳥類、靈長類動物、原住民在土壤中覓食時所采取的路線也有類似的模式。 李維斯的飛行似乎是一種生物資源。 在稀缺環(huán)境中生存的共同規(guī)則。
黑眉信天翁（黑-）的Lévy飛行模式圖其實，對于流浪動物來說，找到下一頓飯不僅取決于運氣，還取決于高等數(shù)學。 在幾乎不了解獵物分布的情況下，萊維飛行的效率遠高于布朗運動，這可能就是它們在碰碰運氣時都會切換到萊維飛行模式的原因。 因此，后來生物學家提出了萊維飛行覓食假說（Lévy's），用來概括動物聽天由命時的撒嬌動作。 不要以為人類的行為能夠逃脫萊維飛行的控制。 在這個世界上布朗運動是什么運動，大多數(shù)國家大多數(shù)人的生活軌跡都是布朗運動。 雖然沒有辦法擺脫世界瞬息萬變所帶來的隨機性，但至少在某些時間段內(nèi)，有目標、有方向、有速度，長距離直線移動是可能的。 那么，可以說，少數(shù)成功精英的運動軌跡就是李維運動。 當然布朗運動是什么運動，我們的購物軌跡也屬于Lévy航班。
回想剛剛過去的雙十一，購物者在購物時的隨機選擇，意味著我們最終的產(chǎn)品無法準確預測，而是具有巨大的偶然性、大規(guī)模的搜索和折線。 急轉直下讓我們獲得了更多的信息和視野，獲得了更多的選擇。 這時候，你是不是想問，從我們手中出來的白色人民幣是否也具有萊維飛揚的特征呢？ 1997 年，程序員 Hank Eskin 想知道所有的錢都去哪兒了，所以他建立了一個名為 的網(wǎng)站。 在上述網(wǎng)站中輸入鈔票上的序列號和當?shù)剜]政編碼，即可追蹤鈔票的動向。
一些愛好者甚至制作了該網(wǎng)站的郵票，貼在鈔票上（紅色），以鼓勵大家使用該網(wǎng)站。 用戶通過在網(wǎng)站上輸入當?shù)剜]政編碼、紙幣序列號等信息，即可追蹤手中美元的生活史。 同時，這條法律也被認為適用于流行病的傳播。 德國柏林洪堡大學的物理學家德克和他的同事在研究傳染病時注意到了這個網(wǎng)站。 他們認為傳染病的傳播途徑與紙幣類似，因此調(diào)用該網(wǎng)站的數(shù)據(jù)進行分析。
在分析了46萬張鈔票的軌跡后，他們證實了自己的懷疑：傳染病的傳播和鈔票的傳播一樣，符合萊維的飛行特征。 他們在2006年發(fā)表了這項研究，這一發(fā)現(xiàn)與當時的主流流行病學理論相反（主流流行病學理論認為每個人都有相同的感染概率），但萊維飛行卻能夠預測疾病的傳播（比如SARS）比傳統(tǒng)理論更好。 所以現(xiàn)在很多疫情機型都在應用Lévy飛行。
沒想到逛街的小偷和滿天飛的蒼蠅是一樣的。
我明白了，撿起硬幣需要布朗運動，扔硬幣需要利維飛行。