永磁同步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型包括哪些內(nèi)容？
一般來說，電機(jī)的數(shù)學(xué)模型包含四個方程，即電壓方程、磁通方程、轉(zhuǎn)矩方程、運(yùn)動方程等??。
電壓平衡方程：涉及矢量圓和等效電路
磁鏈方程：涉及電機(jī)繞組之間的自感和互感，表達(dá)氣隙磁鏈
扭矩方程：涉及能量轉(zhuǎn)換
運(yùn)動方程：與轉(zhuǎn)動慣量、阻尼系數(shù)等有關(guān)，表達(dá)電機(jī)與外部負(fù)載之間的運(yùn)動關(guān)系。
由于永磁電機(jī)的轉(zhuǎn)子部分采用永磁體，因此永磁同步電機(jī)的電壓和電流僅局限于定子繞組中的電壓和電流。 所有模型中都沒有涉及轉(zhuǎn)子電壓和電流的方程。
常見的坐標(biāo)系表示方法有：ABC靜止坐標(biāo)系、α-β靜止坐標(biāo)系、dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系、xy定子磁鏈坐標(biāo)系。
建模之前需要做出一些假設(shè)：
1、定子繞組為Y形接法，三相繞組對稱分布，軸線相差120°； （以下所有結(jié)論均基于三相永磁同步電機(jī)）
2、忽略磁芯飽和效應(yīng)，忽略渦流和磁滯損耗；
3、永磁體磁場和電樞磁場在氣隙中均呈正弦分布；
4、穩(wěn)態(tài)運(yùn)行時，相繞組中的感應(yīng)電動勢波形為正弦波；
5、電機(jī)長期運(yùn)行不受溫度、頻率影響；
6、忽略電機(jī)的高次諧波，計算時不包括轉(zhuǎn)子上的阻尼繞組；
7. 忽略換相時的電樞反應(yīng)。
1. 物理模型
永磁同步電機(jī)是一個復(fù)雜的系統(tǒng)，具有多種特性和規(guī)格，物理模型通常用材料的結(jié)構(gòu)、形狀、尺寸和形狀來表示。
永磁電機(jī)的定子繞組在定子鐵芯周圍的定子槽中呈正弦分布。 三相a、b、c相距120度，在穩(wěn)態(tài)運(yùn)行期間產(chǎn)生穩(wěn)定的旋轉(zhuǎn)磁場。
永磁電機(jī)的轉(zhuǎn)子是永磁體。 永磁體磁極的直軸d與交軸q呈90度角。 直軸d位于磁極全長磁通密度最大點，即磁極中心。 d軸和q軸固定在轉(zhuǎn)子上并隨轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)。
上圖中，a、b、c為ABC靜止參考坐標(biāo)系（又稱相位變量參考坐標(biāo)系）示意圖，而d、q為dq磁鏈旋轉(zhuǎn)參考坐標(biāo)系（轉(zhuǎn)子參考坐標(biāo)系）示意圖系統(tǒng)）。
2、ABC靜止坐標(biāo)系（相位變量參考坐標(biāo)系、相位變量模型）
三相永磁同步電機(jī)的三相繞組呈120°對稱分布，即任意一相變量都可以建模來代表其他兩相的狀態(tài)。
(1)電壓方程：
(1-1)
Rs 為定子繞組的電阻，ψa ψb ψc 分別為 abc 的三相磁鏈，ia ib ic 分別為 abc 的三相相電流。
(2) 磁聯(lián)動方程：
(1-2)
Laa、Lbb、Lcc為各相繞組的自感； （該值與轉(zhuǎn)子位置有關(guān)）
Mab、Mac、Mba、Mbc、Mca、Mcb等為繞組間的互感； （該值與轉(zhuǎn)子位置有關(guān)）
L1 是空間基本氣隙產(chǎn)生的電感分量，L2 是轉(zhuǎn)子位置取決于磁力鏈接產(chǎn)生的電感分量。
ψf 是永磁體磁鏈，
θ為轉(zhuǎn)子N極與a相軸線的夾角（轉(zhuǎn)子電角）
(3) 電磁扭矩方程：
根據(jù)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換原理，電磁扭矩等于磁場儲能對轉(zhuǎn)子機(jī)械角位移的偏轉(zhuǎn)。
(1-3)
Pn 為電機(jī)極對數(shù)，θm 為機(jī)械角，wm 為機(jī)械角速度，we 為電氣角速度（rad/s），n 為機(jī)械速度（rpm）
(4)電機(jī)機(jī)械運(yùn)動方程
(1-4)
Wm 為電機(jī)的機(jī)械角速度，J 為轉(zhuǎn)動慣量，B 為阻尼系數(shù)，TL 為負(fù)載扭矩。
3. α-β靜止坐標(biāo)系
由于abc三相靜止坐標(biāo)系的方程相對復(fù)雜、變量較多、耦合程度較高，因此對其進(jìn)行解耦和簡化。 借助虛擬兩相靜止坐標(biāo)系，將復(fù)數(shù)abc坐標(biāo)系在數(shù)學(xué)上等價于兩相坐標(biāo)系進(jìn)行分析計算。
虛擬兩相靜態(tài)坐標(biāo)系假設(shè)：虛擬電機(jī)有兩個虛擬繞組，分布在90°軸距上，正弦分布在定子槽中。 這兩個繞組分別是直軸繞組和交軸繞組感應(yīng)電動勢的公式，即α、β軸（有些文獻(xiàn)中也稱為D軸和Q軸，請注意與旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的小dq不同）。
為了簡化分析過程，建立α-β靜止坐標(biāo)系時，α軸與abc靜止坐標(biāo)系的a相軸重合。 （在一些參考書和文獻(xiàn)中，α軸和a軸不重疊，存在角度θ。）
將abc靜態(tài)坐標(biāo)系中各相物理量fa、fb、fc分別映射到α-β軸，得到虛擬物理量fα、fβ，分別表示時變電壓、電流、磁鏈任何雙繞組虛擬電機(jī)。 。 （fα、fβ 的時間變化取決于 fa、fb、fc 的時間變化）。
從abc三相靜止坐標(biāo)系到α-β靜止坐標(biāo)系的變換稱為變換，用T3s/2s表示。
ABC坐標(biāo)系轉(zhuǎn)α-β坐標(biāo)系
其逆變換稱為逆變換，用T2s/3s表示。 （推導(dǎo)過程請參考相關(guān)書籍和文獻(xiàn)）
坐標(biāo)系變換的核心原則是電機(jī)產(chǎn)生的磁動勢在不同的坐標(biāo)系下完全一致。
一般變換公式如下：
(1-5)
(1)電壓方程：
(1-6)
(2) 磁聯(lián)動方程：
(1-7)
(3) 扭矩方程：
abc靜止坐標(biāo)系到αβ靜止坐標(biāo)系的變換是在功率相等的條件下進(jìn)行的，因此兩個坐標(biāo)系的輸入功率相等，P1abc=P1αβ。
(1-8)
根據(jù)等效電路，電磁功率方程為：
(1-9)更新公式
Pn 是電機(jī)極對數(shù)。
(4)變換與逆變換：
電壓、電流換算：
(1-10)
電壓和電流的逆變換（反向）
(1-11)
4.dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系
abc坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到αβ坐標(biāo)系后，模型參數(shù)仍然存在隨時間變化的問題。 這些參數(shù)的變化使得控制系統(tǒng)的設(shè)計變得復(fù)雜。 因此，1986年，Tie提出了最常用的轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，即dq坐標(biāo)。 通過將模型轉(zhuǎn)換為固定到電機(jī)轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)參考系中的兩相模型，可以補(bǔ)償靜止坐標(biāo)系中的時間變化。
轉(zhuǎn)子參考坐標(biāo)系有兩個固定在轉(zhuǎn)子上的正交軸，包括與轉(zhuǎn)子永磁體磁極的磁軸對齊的直軸（即d軸）和與直軸正交的交軸（q軸）。軸。 通常規(guī)定d軸在轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)方向超前q軸90°。
ABC坐標(biāo)系-αβ坐標(biāo)系-dq坐標(biāo)系之間的關(guān)系
d軸與α(A)軸之間存在空間角θ，θ的大小取決于轉(zhuǎn)子速度和起始角值。
兩相靜止αβ坐標(biāo)系到旋轉(zhuǎn)dq坐標(biāo)系的系統(tǒng)變換可以通過將αβ坐標(biāo)系的物理量投影到dq坐標(biāo)軸上，然后對dq軸上的各分量進(jìn)行代數(shù)求和來實現(xiàn)。 （具體推導(dǎo)請參考相關(guān)書籍和文檔）
從α-β靜止坐標(biāo)系到dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換稱為Park變換，用T2s/2r表示。 一般變換方程如下：
(1-12)
其逆變換稱為帕克逆變換，用T2r/2s表示。一般變換方程如下
(1-13)
也可以直接從abc靜止坐標(biāo)系變換到dq旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，也稱為Park變換，用T3s/2r表示； 一般變換方程如下：
(1-14)
其逆變換稱為帕克逆變換，用T2r/3s表示。 一般變換方程如下：
(1-15)
在上式中：
(1-16)
wr 為轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速，θ0 為初始值
在無中性點接地的三相星形連接電路和三角形連接電路中，存在fa+fb+fc=0，因此零分量f0消失。
經(jīng)過一系列的變換和推導(dǎo)，dq坐標(biāo)系下電機(jī)控制的數(shù)學(xué)方程總結(jié)如下：
(1)電壓方程：
(1-17)
ψf 為永磁體磁鏈，ωe 為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的電角速度
(2) 磁聯(lián)動方程：
(1-17)
ψf 是永磁體磁鏈。
根據(jù)磁鏈法，可以判斷d、q軸上的磁鏈分量是由各軸上的電流分量產(chǎn)生的。 更準(zhǔn)確地說感應(yīng)電動勢的公式，d 軸磁鏈取決于 d 軸電流 id 和永磁體的磁鏈 ψf。 ，d 軸磁鏈僅與 d 軸電流 iq 有關(guān)。
其中 Ld、Lq 為：
(1-18)
式中，L1表示空間中基本氣隙磁鏈產(chǎn)生的電感分量，L2表示轉(zhuǎn)子位置根據(jù)磁鏈產(chǎn)生的電感分量。
(3) 扭矩方程：
(1-19)
從某種意義上說，這是永磁同步電機(jī)中最重要的方程之一，特別是在電機(jī)控制方面。
從扭矩方程分析可知，電機(jī)的電磁扭矩與d軸、q軸的電流id、iq直接相關(guān)，并且與電機(jī)的四個參數(shù)（永磁體磁鏈ψf、d軸q軸電感Ld、Lq，電機(jī)極對數(shù)Pn)。
Ld-Lq反映了電機(jī)的凸極效應(yīng)。定義ρ=Lq/Ld，ρ對電機(jī)性能起著重要作用，被視為原動機(jī)設(shè)計參數(shù)
扭矩方程包含兩部分，即磁體扭矩Tm和磁阻扭矩Tr。
(1-20)
(4) dq坐標(biāo)系下的穩(wěn)態(tài)電壓方程：去掉式1-17中的微分項
(1-21)
(5) 在穩(wěn)態(tài)下，功率和扭矩方程也成立。 同時，電機(jī)的功率因數(shù)為PF=cos(φ)，φ為功率因數(shù)角，φ=γ-α，即電壓矢量超前電流矢量角度差。 γ是電壓矢量的角度，α是電流矢量的角度。
(1-22)