永磁同步電機的數學模型包括哪些內容？
一般來說，電機的數學模型包含四個方程，即電壓方程、磁通方程、轉矩方程、運動方程等??。
電壓平衡方程：涉及矢量圓和等效電路
磁鏈方程：涉及電機繞組之間的自感和互感，表達氣隙磁鏈
扭矩方程：涉及能量轉換
運動方程：與轉動慣量、阻尼系數等有關，表達電機與外部負載之間的運動關系。
由于永磁電機的轉子部分采用永磁體，因此永磁同步電機的電壓和電流僅局限于定子繞組中的電壓和電流。 所有模型中都沒有涉及轉子電壓和電流的方程。
常見的坐標系表示方法有：ABC靜止坐標系、α-β靜止坐標系、dq旋轉坐標系、xy定子磁鏈坐標系。
建模之前需要做出一些假設：
1、定子繞組為Y形接法，三相繞組對稱分布，軸線相差120°； （以下所有結論均基于三相永磁同步電機）
2、忽略磁芯飽和效應，忽略渦流和磁滯損耗；
3、永磁體磁場和電樞磁場在氣隙中均呈正弦分布；
4、穩態運行時，相繞組中的感應電動勢波形為正弦波；
5、電機長期運行不受溫度、頻率影響；
6、忽略電機的高次諧波，計算時不包括轉子上的阻尼繞組；
7. 忽略換相時的電樞反應。
1. 物理模型
永磁同步電機是一個復雜的系統，具有多種特性和規格，物理模型通常用材料的結構、形狀、尺寸和形狀來表示。
永磁電機的定子繞組在定子鐵芯周圍的定子槽中呈正弦分布。 三相a、b、c相距120度，在穩態運行期間產生穩定的旋轉磁場。
永磁電機的轉子是永磁體。 永磁體磁極的直軸d與交軸q呈90度角。 直軸d位于磁極全長磁通密度最大點，即磁極中心。 d軸和q軸固定在轉子上并隨轉子旋轉。
上圖中，a、b、c為ABC靜止參考坐標系（又稱相位變量參考坐標系）示意圖，而d、q為dq磁鏈旋轉參考坐標系（轉子參考坐標系）示意圖系統）。
2、ABC靜止坐標系（相位變量參考坐標系、相位變量模型）
三相永磁同步電機的三相繞組呈120°對稱分布，即任意一相變量都可以建模來代表其他兩相的狀態。
(1)電壓方程：
(1-1)
Rs 為定子繞組的電阻，ψa ψb ψc 分別為 abc 的三相磁鏈，ia ib ic 分別為 abc 的三相相電流。
(2) 磁聯動方程：
(1-2)
Laa、Lbb、Lcc為各相繞組的自感； （該值與轉子位置有關）
Mab、Mac、Mba、Mbc、Mca、Mcb等為繞組間的互感； （該值與轉子位置有關）
L1 是空間基本氣隙產生的電感分量，L2 是轉子位置取決于磁力鏈接產生的電感分量。
ψf 是永磁體磁鏈，
θ為轉子N極與a相軸線的夾角（轉子電角）
(3) 電磁扭矩方程：
根據機電能量轉換原理，電磁扭矩等于磁場儲能對轉子機械角位移的偏轉。
(1-3)
Pn 為電機極對數，θm 為機械角，wm 為機械角速度，we 為電氣角速度（rad/s），n 為機械速度（rpm）
(4)電機機械運動方程
(1-4)
Wm 為電機的機械角速度，J 為轉動慣量，B 為阻尼系數，TL 為負載扭矩。
3. α-β靜止坐標系
由于abc三相靜止坐標系的方程相對復雜、變量較多、耦合程度較高，因此對其進行解耦和簡化。 借助虛擬兩相靜止坐標系，將復數abc坐標系在數學上等價于兩相坐標系進行分析計算。
虛擬兩相靜態坐標系假設：虛擬電機有兩個虛擬繞組，分布在90°軸距上，正弦分布在定子槽中。 這兩個繞組分別是直軸繞組和交軸繞組感應電動勢的公式，即α、β軸（有些文獻中也稱為D軸和Q軸，請注意與旋轉坐標系的小dq不同）。
為了簡化分析過程，建立α-β靜止坐標系時，α軸與abc靜止坐標系的a相軸重合。 （在一些參考書和文獻中，α軸和a軸不重疊，存在角度θ。）
將abc靜態坐標系中各相物理量fa、fb、fc分別映射到α-β軸，得到虛擬物理量fα、fβ，分別表示時變電壓、電流、磁鏈任何雙繞組虛擬電機。 。 （fα、fβ 的時間變化取決于 fa、fb、fc 的時間變化）。
從abc三相靜止坐標系到α-β靜止坐標系的變換稱為變換，用T3s/2s表示。
ABC坐標系轉α-β坐標系
其逆變換稱為逆變換，用T2s/3s表示。 （推導過程請參考相關書籍和文獻）
坐標系變換的核心原則是電機產生的磁動勢在不同的坐標系下完全一致。
一般變換公式如下：
(1-5)
(1)電壓方程：
(1-6)
(2) 磁聯動方程：
(1-7)
(3) 扭矩方程：
abc靜止坐標系到αβ靜止坐標系的變換是在功率相等的條件下進行的，因此兩個坐標系的輸入功率相等，P1abc=P1αβ。
(1-8)
根據等效電路，電磁功率方程為：
(1-9)更新公式
Pn 是電機極對數。
(4)變換與逆變換：
電壓、電流換算：
(1-10)
電壓和電流的逆變換（反向）
(1-11)
4.dq旋轉坐標系
abc坐標系轉換到αβ坐標系后，模型參數仍然存在隨時間變化的問題。 這些參數的變化使得控制系統的設計變得復雜。 因此，1986年，Tie提出了最常用的轉子旋轉坐標系，即dq坐標。 通過將模型轉換為固定到電機轉子的旋轉參考系中的兩相模型，可以補償靜止坐標系中的時間變化。
轉子參考坐標系有兩個固定在轉子上的正交軸，包括與轉子永磁體磁極的磁軸對齊的直軸（即d軸）和與直軸正交的交軸（q軸）。軸。 通常規定d軸在轉子旋轉方向超前q軸90°。
ABC坐標系-αβ坐標系-dq坐標系之間的關系
d軸與α(A)軸之間存在空間角θ，θ的大小取決于轉子速度和起始角值。
兩相靜止αβ坐標系到旋轉dq坐標系的系統變換可以通過將αβ坐標系的物理量投影到dq坐標軸上，然后對dq軸上的各分量進行代數求和來實現。 （具體推導請參考相關書籍和文檔）
從α-β靜止坐標系到dq旋轉坐標系的變換稱為Park變換，用T2s/2r表示。 一般變換方程如下：
(1-12)
其逆變換稱為帕克逆變換，用T2r/2s表示。一般變換方程如下
(1-13)
也可以直接從abc靜止坐標系變換到dq旋轉坐標系，也稱為Park變換，用T3s/2r表示； 一般變換方程如下：
(1-14)
其逆變換稱為帕克逆變換，用T2r/3s表示。 一般變換方程如下：
(1-15)
在上式中：
(1-16)
wr 為轉子轉速，θ0 為初始值
在無中性點接地的三相星形連接電路和三角形連接電路中，存在fa+fb+fc=0，因此零分量f0消失。
經過一系列的變換和推導，dq坐標系下電機控制的數學方程總結如下：
(1)電壓方程：
(1-17)
ψf 為永磁體磁鏈，ωe 為轉子旋轉的電角速度
(2) 磁聯動方程：
(1-17)
ψf 是永磁體磁鏈。
根據磁鏈法，可以判斷d、q軸上的磁鏈分量是由各軸上的電流分量產生的。 更準確地說感應電動勢的公式，d 軸磁鏈取決于 d 軸電流 id 和永磁體的磁鏈 ψf。 ，d 軸磁鏈僅與 d 軸電流 iq 有關。
其中 Ld、Lq 為：
(1-18)
式中，L1表示空間中基本氣隙磁鏈產生的電感分量，L2表示轉子位置根據磁鏈產生的電感分量。
(3) 扭矩方程：
(1-19)
從某種意義上說，這是永磁同步電機中最重要的方程之一，特別是在電機控制方面。
從扭矩方程分析可知，電機的電磁扭矩與d軸、q軸的電流id、iq直接相關，并且與電機的四個參數（永磁體磁鏈ψf、d軸q軸電感Ld、Lq，電機極對數Pn)。
Ld-Lq反映了電機的凸極效應。定義ρ=Lq/Ld，ρ對電機性能起著重要作用，被視為原動機設計參數
扭矩方程包含兩部分，即磁體扭矩Tm和磁阻扭矩Tr。
(1-20)
(4) dq坐標系下的穩態電壓方程：去掉式1-17中的微分項
(1-21)
(5) 在穩態下，功率和扭矩方程也成立。 同時，電機的功率因數為PF=cos(φ)，φ為功率因數角，φ=γ-α，即電壓矢量超前電流矢量角度差。 γ是電壓矢量的角度，α是電流矢量的角度。
(1-22)