提高你的思維水平
介紹
為什么必須超過一定的速度才能飛出地球呢？如果你以比較低的速度，比如1公里/秒，慢慢飛，難道還飛不出地球嗎？
我們上高中的時候，都學過三種宇宙速度：第一宇宙速度等于每秒7.9公里，第二宇宙速度等于每秒11.2公里，第三宇宙速度等于每秒16.7公里。
三種宇宙速度
中國近期發射的火星探測器“天問一號”，讓很多人重新回顧這些概念。
天問一號是藝術家對它的印象圖，天問一號將結合使用軌道器和著陸器/探測車來研究這顆紅色星球。
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但我很驚訝地發現，很多人對這些概念很困惑。典型的問題是：為什么必須超過一定的速度才能飛出地球？如果你以相對較低的速度緩慢飛行，比如1公里/秒，難道飛不出地球嗎？你會先正常上升，然后在某個高度突然被拉下來嗎？
這種設想當然是荒唐的。如果你能保持大于零的速度，那你當然可以飛出地球，飛多遠就飛多遠。速度等于位移除以時間，所以如果速度是一個常數，那么當時間趨于無窮大時，位移也會趨于無窮大。這就是速度的定義。
但真正的問題是，你如何保持速度？地球不斷對你施加引力，所以如果你想保持恒定的速度，你必須有一個反作用力來抵消引力。這需要能量第一宇宙速度，對于火箭來說，這意味著燃料。
現在重點來了：在太空飛行中，燃料極其珍貴，比在地面上開車的燃料珍貴得多。當你在地面上耗盡燃料時，你可以停下來，找個地方加油，然后繼續開車。但在太空中，你無法加油。如果你在燃料耗盡之前沒有到達目的地，你就會被地球或其他星球拉回來，你所有的努力都將付諸東流。
你可能會問：為什么不帶額外的燃料呢？
嗯，這是太空旅行和地面旅行的另一個本質區別。汽車的驅動力是輪胎與地面的摩擦力，但在太空中你無處施力，你只能通過向后噴射物質來推動火箭向前。
這就導致了一個問題：你想要達到的速度越高，需要攜帶的燃料就越多，但這些額外的燃料本身又需要更多的燃料來推動，從而形成惡性循環。結果，單位質量燃料的效率大大降低。
對此的定量描述稱為齊奧爾科夫斯基公式：
齊奧爾科夫斯基公式
這個公式的意思是，火箭能達到的最大速度 vm 等于向后彈射的物質速度 vr 乘以質量比的自然對數。這個質量比指的是火箭滿載燃料時的最大質量 mmax 與火箭耗盡燃料時的最小質量 mmin 之間的比值。公式中之所以有負號，是因為向后彈射的速度與火箭向前的速度相反。別忘了速度是個矢量，實際使用時，只要把所有數值代入絕對值即可。
比如一枚火箭的噴射速度為4公里/秒，質量比為e，也就是自然對數的底數，約等于2.718，那么它能達到的最大速度就是4公里/秒；如果噴射速度不變，質量比增大到e的平方，也就是7.39，那么它能達到的最大速度就是8公里/秒。
這個公式是航天之父俄國科學家齊奧爾科夫斯基（1857-1935）于1903年提出的，所以叫齊奧爾科夫斯基公式，是導彈、衛星、太空探索等一切現代航天技術的基礎，如果想知道這個公式的推導，可以參考我之前的文章（）。
齊奧爾科夫斯基
這個公式帶來了好消息和壞消息。好消息是太空旅行是可能的。壞消息是增加燃料的邊際效益越來越低，因為對數函數增長非常緩慢。即使你把地球上的燃料全部燒光，速度也不會增加多少。
自然對數函數
所以航天不能靠攜帶更多燃料來解決問題，在航天任務中，燃料總是處于緊張狀態，總是剛夠需要或者留一點備用。
了解了這個背景，我們就能明白航天的基本問題是：當你的燃料耗盡時，你需要處于什么狀態才能達到目標？只有這樣，我們才能決定出發時要帶多少燃料。
所以三種宇宙速度的意義就是，在不消耗燃料的情況下，達到這些速度就可以達到一定的目標。第一宇宙速度的目標是繞地球一圈，不落地。第二宇宙速度的目標是飛出地球，到達距離地球任意距離。第三宇宙速度的目標是飛出太陽系。
另外值得說明的一點是，人們經常問：氣球和飛機難道不能永遠停留在地面上嗎？它們的速度不是低于第一宇宙速度嗎？
熱氣球
這是因為氣球和飛機屬于航空，而不是太空旅行。當我們談論宇宙速度時，我們關心的是太空旅行。
在大氣層中，你會感受到空氣的浮力和阻力，以及通過機翼和旋翼等空氣動力學方法產生的升力。但這些都屬于航空的范疇，沒有空氣就沒有魔法。氣球確實可以繞地球飛行而不會墜落，但它能飛出大氣層嗎？
航空航天關心的是真空中發生的事情。因此，在計算宇宙速度時，我們忽略了所有這些與空氣有關的力，只考慮重力。
上面我們解釋了三種宇宙速度不是什么，希望解決了大多數人的困惑。接下來我們定量地推導一下它們是什么。推導的方法有很多種，這里我們給出每種宇宙速度最簡單的一種。
我們把第一、第二、第三宇宙速度分別寫成v1、v2、v3。需要注意的是，這三個宇宙速度都是以地球為參考系的。前兩個你可能沒注意到，但這個參考系在推導第三宇宙速度時非常重要。
第一宇宙速度又稱軌道速度，它問的是：在地球表面附近，一個物體要以多大的速度才能繞地球做一圈而不落到地面？
答案是：地球對物體的引力恰好等于圓周運動的向心力。前者等于GMEm/R2，后者等于mv12/R，所以
其中G為引力常數，約等于6.67×10-11N·m2/kg2；ME為地球質量，約等于5.96×10-11N·m2/kg2；R為地球半徑，約等于6.37×108m。順便提一下，迄今為止最精確的引力常數測量結果，是由中國科學院羅俊院士團隊于2018年獲得的。
中山大學網站對羅俊院士的介紹
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簡化上述方程，我們得到
代入這些值，我們得到 v1 = 7.9 公里/秒。
第二宇宙速度又稱逃逸速度，它問的是：在地球表面附近，一個物體要達到多大的速度，才能飛到距離地球無限遠的地方？
答案是：從能量轉換的角度看，飛離行星是一個動能轉化為勢能的過程。如果初始動能不夠，距離一定時速度就會降為零。如果初始動能足夠，距離無限遠時速度仍可以大于零。
兩種情況的臨界狀態都是在無窮遠處，動能和勢能都為零，總機械能為零。由于機械能守恒，在地面附近，動能加上勢能也等于零，即動能等于勢能的負值。前者等于mv22/2，后者等于GMEm/R，所以
簡化后，我們得到
可以看出，第二宇宙速度恰好是第一宇宙速度的2倍的平方根。代入數值，我們得到v2 = 11.2 km/s。
你可能會疑惑，為什么是2的平方根呢？答案是：2來自于引力對距離的依賴性，也就是1/R2的指數2。不過這需要比較高深的理論知識，這里就不介紹了。
值得注意的是，第一宇宙速度與第二宇宙速度的方向性是不一樣的。第一宇宙速度的方向一定是圓周運動的切線方向，而第二宇宙速度則沒有具體的方向，因為在它的推導中，速度的平方很重要，速度的方向跟它無關。如果你有第二宇宙速度，只要你不故意撞向地球，那么你必然會飛離地球無限遠。
前兩個宇宙速度的推導很簡單，第三個宇宙速度稍微復雜一些，超出了高中知識的范圍。它問的是：在地球表面，一個物體要達到多快的速度才能飛離太陽無限遠？
第三宇宙速度之所以復雜，是因為之前的引力源只有一個地球，而這里涉及兩個引力源，太陽和地球。所以一個簡單明了的推導方式就是先假設地球不存在，看看需要多快的速度才能飛出太陽系。
這個問題的答案其實就是我們剛才給出的，也就是第二宇宙速度。不過，我們需要把引力來源從地球換到太陽，把距離從地球半徑換成太陽到地球的距離。太陽的質量MS約等于1.99 × ，太陽到地球的距離RSE約等于1.5 × 1011m。
將這些值代入第二宇宙速度公式，我們得到 42.1 公里/秒，我們將其記為 v2S。這個速度意味著，如果地球不存在，而地球所在位置有一個相對于太陽速度為 42.1 公里/秒的物體，它就能飛出太陽系。
現在讓我們問一問，地球的存在將會帶來什么樣的修正？
首先，地球繞太陽旋轉的速度約為29.8公里/秒。實際上，這個速度是地球繞太陽的第一宇宙速度，我們可以記為v1S。因此，v2S 一定等于2乘以v1S的平方根。
地球公轉可以給我們提供一個便利：如果火箭發射的方向和地球公轉速度一致，那么在太陽的參考系中，火箭從一開始就從地球借了29.8公里/秒的速度。這是一個巨大的好處。因此，火箭在自身燃料的作用下真正需要達到的相對于地球的速度是
v2S-v1S=12.3公里/秒。
我們可以將該速度記錄為Δv。
其實，對于第一、第二宇宙速度，我們也可以借用地球自轉的速度，但地球自轉的最大速度只有0.465公里/秒，發生在赤道處，比第一、第二宇宙速度小得多，所以借力的作用不是很大。
即使如此，我們還是希望把火箭發射到盡可能靠近赤道的地方。中國的文昌發射基地比之前的太原、酒泉、西昌發射基地距離赤道更近，這是一個進步。所以長征五號等重型火箭都是從文昌發射的。
中國航天發射中心
我們再考慮一下第三宇宙速度，剛才我們得到的Δv=12.3km/s是不是第三宇宙速度呢？不是。因為這意味著如果地球沒有引力，只提供公轉速度，那么你只需要達到相對于地球12.3km/s的速度，就可以飛出太陽系了。
但實際上第一宇宙速度，地球是有引力的，為了克服地球引力，火箭需要耗費巨大的能量。多大的能量呢？其實就是上面推導出來的第二宇宙速度v2對應的動能。
可以看出，火箭飛出太陽系所需的能量等于兩部分的總和：一部分是對應于Δv=12.3公里/秒的動能，另一部分是對應于v2=11.2公里/秒的動能。動能與速度的平方成正比，因此第三宇宙速度為
代入這些數值，我們得到 v3 = 16.7 公里/秒。
現在我們明白了為什么第三宇宙速度的推導不是高中課程了。確實走了不少彎路，但只要頭腦清醒網校頭條，都是可以理解的。
我們總結一下，如果你的初速度在某個范圍內，結果會怎樣？
三種宇宙速度
如果你達不到第一宇宙速度，你就會落回地面。
如果你達到第一宇宙速度，你就會繞地球做圓圈運動。
如果你的速度超過第一宇宙速度，但低于第二宇宙速度，那么你將沿著橢圓軌道繞地球運行。速度越大，橢圓越平坦，遠地點越遠。
如果達到第二宇宙速度，但低于第三宇宙速度，就會擺脫地球引力，但會被太陽捕獲，繞太陽做橢圓運動。中國的天問一號火星探測器目前就處于這種狀態。
地球至火星的霍曼轉移軌道
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如果你達到第三宇宙速度，你最終會飛出太陽系。
有趣的是，有人提出了所謂的“第四宇宙速度”，也就是飛出銀河系所需的速度，大概是每秒110到120公里。不過這個速度已經超出了人類目前能夠達到的水平，飛出銀河系也遠遠超出了我們目前的能力，所以這個概念還沒有實用價值。
2020年4月，中美科學家繪制了迄今為止最精確的銀河系結構圖（）
有人提出了第五、第六甚至第七宇宙速度，這些速度代表著飛出“本星系群”、“本超星系團”和已知宇宙所需的速度，這些速度甚至更大，遠遠超出了人類的能力范圍，因此僅具有推測意義。
最后，我們可以回到問題的出發點，再重新思考一下。火箭的燃料一定是有限的嗎？我們能一邊飛行一邊收集星際物質作為燃料嗎？如果這條路徑可行，就不會受到任何宇宙速度的限制。我們又回到了最初的畫面：如果你能持續保持一定的速度，那么你想飛多遠，就能飛多遠。
這樣的概念確實存在，比如星際沖壓發動機就是美國物理學家W.巴薩德在1960年提出的，其基本思路是從前端收集星際物質中的氫原子，在火箭內部發生核聚變，然后從后端高速噴出。
星際沖壓發動機
雖然星際物質非常稀薄，但只要收集速度足夠快，噴射速度足夠快，理論上是可以實現的。這個引擎當然離我們目前的能力還很遠，因為我們甚至還沒有開發出受控核聚變的基本技術，但它至少為我們提供了一種思路。它讓星際旅行不再是耗盡燃料的一次性交易，而是一項長期交易。
回顧我們整個討論，經歷了一個“否定之否定”。很多人之所以困惑，是因為處在第一層級，分不清航空和航天，無法理解宇宙速度面臨什么問題。當你理解了這一點，你就進入了第二層級，可以定量推導出三種宇宙速度。
然后你再超越你現有的思維，回去設計一個太空加油的方法，看上去你回到了第一層，其實你至少是第五層了，這才是真正的大師，科學就是在這種否定之否定中前進的，關鍵是你必須把問題看清楚，然后才能找到超越的方法。
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