初中數(shù)學(xué)篇25：變壓器、電能輸送知識(shí)點(diǎn)
理想變壓器是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)理想模型，它指的是忽視原副線圈的內(nèi)阻和各類電磁能量損失的變壓器。實(shí)際生活中，借助各類各樣的變壓器，可以便捷的把電能輸送到較遠(yuǎn)的地區(qū)，實(shí)現(xiàn)能量的優(yōu)化配置。在電能輸送過程中，為了達(dá)到可靠、保質(zhì)、經(jīng)濟(jì)的目的，變壓器起到了重要的作用。
基礎(chǔ)知識(shí)
一、變壓器
1．理想變壓器的構(gòu)造、作用、原理及特點(diǎn)
構(gòu)造：兩組線圈（原、副線圈）繞在同一個(gè)閉合鐵芯上構(gòu)成變壓器．
作用：在輸送電能的過程中改變電流．
原理：其工作原理是借助了電磁感應(yīng)現(xiàn)象．
特點(diǎn)：正由于是借助電磁感應(yīng)現(xiàn)象來工作的，所以變壓器只能在輸送交變電壓的電能過程中改變交變電流．
2．理想變壓器的理想化條件及其規(guī)律
在理想變壓器的原線圈兩端加交變電流U1后，因?yàn)殡姶鸥袘?yīng)的緣由，原、副線圈中都將形成感應(yīng)電動(dòng)勢，按照法拉第電磁感應(yīng)定理有：
，
忽視原、副線圈電阻，有U1＝E1，U2＝E2
另外，考慮到鐵心的導(dǎo)磁作用并且忽視漏磁，即覺得在任意時(shí)刻穿過原、副線圈的磁感腰線數(shù)都相等，于是又有
由此便可得理想變壓器的電流變化規(guī)律為
在此基礎(chǔ)上再忽視變壓器自身的能量損失（通常包括線圈內(nèi)能量損失和鐵芯內(nèi)能量損失這兩部份，分別亦稱為“銅損”和“鐵損”），有P1=P2而P1=I1U1P2=I2U2
于是又得理想變壓器的電壓變化規(guī)律為
由此可見：
(1)理想變壓器的理想化條件通常指的是：忽視原、副線圈電阻上的分壓，忽視原、副線圈磁路量的差異電壓電流功率基礎(chǔ)知識(shí)，忽視變壓器自身的能量耗損（實(shí)際上還忽視了變壓器原、副線圈電路的功率質(zhì)數(shù)的差異．）
(2)理想變壓器的規(guī)律實(shí)質(zhì)上就是法拉第電磁感應(yīng)定理和能的轉(zhuǎn)化與守恒定理在上述理想條件下的新的表現(xiàn)方式．
3、規(guī)律小結(jié)
(1)熟記兩個(gè)基本公式：
即對(duì)同一變壓器的任意兩個(gè)線圈，都有電流和阻值成反比。
②P入=P出，即無論有幾個(gè)副線圈在工作，變壓器的輸入功率總等于所有輸出功率之和。
(2)原副線圈中過每匝線圈通量的變化率相等．
(3)原副線圈中電流變化規(guī)律一樣，電壓的周期頻度一樣
(4)公式
中，原線圈中U1、I1代入有效值時(shí)，副線圈對(duì)應(yīng)的U2、I2也是有效值，當(dāng)原線圈中U1、I1為最大值或瞬時(shí)值時(shí)，副線圈中的U2、I2也對(duì)應(yīng)最大值或瞬時(shí)值．
(5)須要非常導(dǎo)致注意的是：
①只有當(dāng)變壓器只有一個(gè)副線圈工作時(shí)，才有：
②變壓器的輸入功率由輸出功率決定，常常用到：
，
即在輸入電流確定之后，輸入功率和原線圈電流與副線圈阻值的平方成反比，與原線圈阻值的平方成正比，與副線圈電路的內(nèi)阻值成正比。式中的R表示負(fù)載內(nèi)阻的電阻，而不是“負(fù)載”。“負(fù)載”表示副線圈所接的用家電的實(shí)際功率。實(shí)際上，R越大，負(fù)載越小；R越小，負(fù)載越大。這一點(diǎn)在審題時(shí)要非常注意。
(6)當(dāng)副線圈中有二個(gè)以上線圈同時(shí)工作時(shí)，U1∶U2∶U3=n1∶n2∶n3，但電壓不可
，此情況必須用原副線圈功率相等來求電壓．
(7)變壓器可以使輸出電流下降或增加，但不可能使輸出功率變大．如果是理想變壓器．輸出功率也不可能降低．
(8)一般說的減小輸出端負(fù)載，可理解為負(fù)載內(nèi)阻降低；同理加強(qiáng)負(fù)載內(nèi)阻可理解為減少負(fù)載．
【例1】一臺(tái)理想變壓器的輸出端僅接一個(gè)標(biāo)有“12V，6W”的燈泡，且正常發(fā)光，變壓器輸入端的電壓表示數(shù)為0.2A，則變壓器原、副線圈的阻值之比為（D）
A.7∶2B.3∶1
C.6∶3D.5∶2
解析：由于，I2＝P2／U2＝6/12＝0.5AI1＝0.2A，所以n1∶n2=I2∶I1=5∶2
【例2】如圖所示，通過降糖變壓器將220V交流電降為36V供兩燈使用，降為24V供儀器中的加熱電爐使用．假若變壓器為理想變壓器．求：
（1）若n3＝96匝，n2的阻值；
（2）先合上K1、K3，再合上K2時(shí)，各水表讀數(shù)的變化；
（3）若斷掉K3時(shí)A1讀數(shù)降低220mA，此時(shí)加熱電爐的功率；
（4）當(dāng)K1、K2、K3全部斷掉時(shí)，A2、V的讀數(shù)．
解析：
(1)變壓理的中級(jí)和兩個(gè)次級(jí)線圈統(tǒng)在同一繞在同一鐵蕊上，鐵蕊中磁路量的變化對(duì)每匝線圈都是相同的．所以線圈兩端的電流與阻值成反比．有
(2)合上K1、K3后，燈L1和加熱電爐正常工作．再合上K2，燈L2接通，U1、n1和n3的值不變．故V讀數(shù)不變．但L2接通后，變壓器的輸入、輸出功率減小．故A1、A2讀數(shù)減小．
(3)斷掉K3時(shí)，A1讀數(shù)降低200mA，表明輸入功率降低，降低值為ΔP＝ΔIU＝0.200×220＝44W，這一值即為電爐的功率．
(4)當(dāng)K1、K2、K3全部斷掉時(shí)，輸出功率為零，A2讀數(shù)為零．但變壓器的中級(jí)戰(zhàn)線圈接在電源上，它仍在工作，故V讀數(shù)為24V．
【例3】如圖所示，接于理想變壓器的四個(gè)燈泡尺寸相同，且全部正常發(fā)光，則這三個(gè)線圈的阻值比應(yīng)為（C）
A、1∶2∶3B、2∶3∶1C、3∶2∶1D、2∶1∶3
解析：
因?yàn)樗袩襞莩叽缦嗤叶颊０l(fā)光，則
式中，U為燈泡的額定電流，設(shè)I為燈炮的額定電壓，由理想變壓器的功率關(guān)系pl=p2＋p3，UlI＝U2I＋U3I＝2UI＋UI＝3UI所以U1=3U,則
，由此得n1∶n2∶n3=3∶2∶1
4、幾種常用的變壓器
(1)自耦變壓器
圖是自耦變壓器的示意圖。這些變壓器的特征是鐵芯上只繞有一個(gè)線圈。假如把整個(gè)線圈作原線圈，副線圈只取線圈的一部份，就可以增加電流；假如把線圈的一部份作原線圈，整個(gè)線圈作副線圈，就可以下降電流。
調(diào)壓變壓器就是一種自耦變壓器，它的構(gòu)造如圖所示。線圈AB繞在一個(gè)圓環(huán)型的鐵芯上。AB之間加上輸入電流U1。聯(lián)通滑動(dòng)觸頭P的位置就可以調(diào)節(jié)輸出電流U2。
(2)互感器
互感器也是一種變壓器。交流電流表和電壓表都有一定的量度范圍，不能直接檢測高電流和大電壓。用變壓器把高電流弄成低電流，或則把大電壓弄成小電壓，這個(gè)問題就可以解決了。此類變壓器稱作互感器。互感器分電流互感器和電壓互感器兩種。
a、電壓互感器
電流互感器拿來把高電流弄成低電流，它的原線圈并聯(lián)在高壓電路中，副線圈上接入交流電流表。按照電流表測得的電流U2和標(biāo)牌上標(biāo)明的變壓比(U1/U2)，可以算出高壓電路中的電流。為了工作安全，電流互感器的鐵殼和副線圈應(yīng)當(dāng)接地。
b、電流互感器
電壓互感器拿來把大電壓弄成小電壓。它的原線圈串聯(lián)在被測電路中，副線圈上接入交流電壓表。按照電壓表測得的電壓I2和標(biāo)牌上標(biāo)明的變流比(I1/I2)，可以算出被測電路中的電壓。倘若被測電路是高壓電路，為了工作安全，同樣要把電壓互感器的殼體和副線圈接地。
【例4】在變電廠里，常常要用交流水表去檢測電網(wǎng)上的弱電流，所用的器材叫電壓互感器。如下所示的四個(gè)圖中，能正確反應(yīng)其工作原理的是（）
解析：電壓互感器要把大電壓變?yōu)樾‰妷海蚨€圈的阻值少，副線圈的阻值多。檢測每相的電壓必須將原線圈串聯(lián)在火線中。選A。
二、電能輸送
1．電路中電能損失
，切不用U2/R來算，當(dāng)用此式時(shí)，U必須是降在導(dǎo)線上的電流，電流不能用輸電電流來估算．
2．遠(yuǎn)距離輸電
一定要畫出遠(yuǎn)距離輸電的示意圖來，包括發(fā)電機(jī)、兩臺(tái)變壓器、輸電纜線等效內(nèi)阻和負(fù)載阻值。并根據(jù)規(guī)范在圖中標(biāo)出相應(yīng)的數(shù)學(xué)量符號(hào)。通常設(shè)兩個(gè)變壓器的初、次級(jí)線圈的阻值分別為也應(yīng)當(dāng)采用相應(yīng)的符號(hào)來表示。
從圖中應(yīng)當(dāng)看出功率之間的關(guān)系是：
電流之間的關(guān)系是：
電壓之間的關(guān)系是：
可見其中電流之間的關(guān)系最簡單，中只要曉得一個(gè)，另兩個(gè)總和它相等。因而電壓常常是這類問題的突破口。
輸電纜線上的功率損失和電流損失也是須要非常注意的。剖析和估算時(shí)都必須用，而不能用。
非常重要的是要求會(huì)剖析輸電纜線上的功率損失，由此得出推論：
(1)降低輸電纜線功率損失的途徑是增強(qiáng)輸電電流或減小輸濁度線的橫截面積，其實(shí)選擇后者。
(2)若輸電纜線功率損失早已確定，這么下降輸電電流能減少輸電纜線截面積，進(jìn)而節(jié)省大量金屬材料和架設(shè)電纜線所需的鋼材和水泥，就能少占用農(nóng)地。
須要導(dǎo)致注意的是課本上指出：輸電纜線上的電流損失，不僅與輸電纜線的內(nèi)阻有關(guān)，還與感抗和容抗有關(guān)。當(dāng)輸電纜線路電流較高、導(dǎo)線截面積較大時(shí)，檢波導(dǎo)致的電流損失比內(nèi)阻導(dǎo)致的還要大。
【例5】有一臺(tái)電阻為lΩ的發(fā)電機(jī)，供給一個(gè)校區(qū)照明用電，如圖所示．升壓變壓器阻值比為1∶4，降糖變壓器的阻值比為4∶1，輸電纜線的總內(nèi)阻R=4Ω，全校共22個(gè)班，每班有“220V，40W”燈6盞．若保證全部電燈正常發(fā)光，則：
(1)發(fā)電機(jī)輸出功率多大？
(2)發(fā)電機(jī)電動(dòng)勢多大？
(3)輸電纜線上耗損的電功率多大？
(4)輸電效率是多少？
(5)若使用燈數(shù)減半并正常發(fā)光發(fā)電機(jī)輸出功率是否減半．
解析：題中未加特別說明，變壓器即視為理想變壓器，因?yàn)榘l(fā)電機(jī)至升壓變壓器及降脂變壓器至中學(xué)寬度離較短，毋須考慮該兩部份輸濁度線上的功率耗損．
發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢ε，一部份降在電源電阻上．即Ilr，另一部份為發(fā)電機(jī)的路端電流U1，升壓變壓器副線圈電流U2的一部份降在輸電纜線上，即I2R，其余的就是降糖變壓器原線圈電流U2，而U3應(yīng)為燈的額定電流U額，具體估算由用戶往前遞推即可．
(1)對(duì)降糖變壓器U/2I2=U3I3＝nP燈=22×6×40W=5280w,而U/2＝4U3＝880V，所以I2=nP燈/U/2=5280/880=6A,對(duì)升壓變壓器：UlIl=U2I2=I22R＋U/2I2＝62×4＋5280＝5424W，所以P出=5424W．
(2)由于U2＝U/2＋I(xiàn)2R＝880＋6×4＝904V，所以U1=?U2=?×904＝226V
又由于UlIl=U2I2，所以Il=U2I2/Ul=4I2=24A，所以ε＝U1＋I(xiàn)1r1=226＋24×1＝250V．
(3)輸電纜線上耗損的電功率PR=IR2R=144W
(4)
(5)電燈降低一半時(shí)，n/P燈=2640W，
I/2＝n/P燈/U2＝2640/880=3A．所以P/出=n/P燈十I/22R=2640＋32×4＝2676w
發(fā)電機(jī)的輸出功率降低一半還要多，因輸電纜線上的電壓降低一半，輸電纜線上電功率的損失降低到原先的1/4。
說明：對(duì)變電過程較復(fù)雜的輸配電問題，應(yīng)根據(jù)次序，分步推動(dòng)．或按“發(fā)電一一升壓——輸電纜線——降壓—一用家電”的次序，或從“用家電”倒推到“發(fā)電”一步一步進(jìn)行剖析．注意升壓變壓器到線圈中的電壓、輸電纜線上的電壓、降壓變壓器原線圈中的電壓兩者相等．
規(guī)律方法
一、解決變壓器問題的常用技巧
解題思路1電流思路.變壓器原、副線圈的電流之比為U1/U2=n1/n2;當(dāng)變壓器有多個(gè)副定子時(shí)U1/n1=U2/n2=U3/n3=……
解題思路2功率思路.理想變壓器的輸入、輸出功率為P入=P出，即P1=P2；當(dāng)變壓器有多個(gè)副定子時(shí)P1=P2+P3+……
解題思路3電壓思路.由I=P/U知，對(duì)只有一個(gè)副定子的變壓器有I1/I2=n2/n1;當(dāng)變壓器有多個(gè)副定子時(shí)n1I1=n2I2+n3I3+……
解題思路4（變壓器動(dòng)態(tài)問題）阻礙思路.
(1)電壓制約：當(dāng)變壓器原、副線圈的阻值比（n1/n2）一定時(shí)，輸出電流U2由輸入電流決定，即U2=n2U1/n1，可詳述為“原阻礙副”.
(2)電壓阻礙：當(dāng)變壓器原、副線圈的阻值比（n1/n2）一定，且輸入電流U1確定時(shí)，原線圈中的電壓I1由副線圈中的輸出電壓I2決定，即I1=n2I2/n1，可詳述為“副阻礙原”.
(3)負(fù)載阻礙：①變壓器副線圈中的功率P2由用戶負(fù)載決定，P2=P負(fù)1+P負(fù)2+…；②變壓器副線圈中的電壓I2由用戶負(fù)載及電流U2確定，I2=P2/U2；③總功率P總=P線+P2.
動(dòng)態(tài)剖析問題的思路程序可表示為：
解題思路5原理思路.變壓器原線圈中磁路量發(fā)生變化，鐵芯中ΔΦ/Δt相等；當(dāng)遇見
型變壓器時(shí)有ΔΦ1/Δt=ΔΦ2/Δt+ΔΦ3/Δt,
此式適用于交流電或電流（電壓）變化的直流電，但不適用于穩(wěn)壓或恒定電壓的情況.
【例6】如圖所示為一理想變壓器，K為單刀雙擲開關(guān)，P為滑動(dòng)變阻器的滑動(dòng)觸頭，U1為加在原線圈兩端的電流，I1為原線圈中的電壓硬度電壓電流功率基礎(chǔ)知識(shí)，則（ABD）
A．保持U1及P的位置不變，K由a合到b時(shí)，I1將減小
B．保持P的位置及U1不變，K由b合到a時(shí)，R消耗的功率降低
C．保持U1不變，K合在a處，使P上滑，I1將減小
D．保持P的位置不變，K合在a處，若U1減小，I1將減小
解析：K由a合到b時(shí)，n1減少，由
，可知，U2減小，P2=U22/R急劇減小·而P1=P2，P1=I1U1，因而I1減小，A正確．K由b合到a時(shí)，與上述情況相反，P2將減少，B正確·P上滑時(shí)，R減小，P2=U22/R減少，又P1＝P2，P1=I1U1，因而I1減少，C錯(cuò)誤．U1減小，由
，可知U2減小，I2=U2/R急劇減小，由
，可知I1也減小，D正確。
說明：處理這類問題的關(guān)鍵是要分清變量和不變量，弄清理想變壓器中各量間的聯(lián)系和阻礙關(guān)系．在理想變壓器中，U2由U1和阻值比決定；I2由U2和負(fù)載內(nèi)阻決定；I1由I2和阻值比決定．
二、遠(yuǎn)距離輸電
【例7】在遠(yuǎn)距離輸電時(shí)，要考慮盡量降低輸電纜線上的功率損失。有一個(gè)坑口電廠，輸送的電功率為P=500kW，當(dāng)使用U=5kV的電流輸電時(shí)，測得安裝在輸電纜線路起點(diǎn)和終點(diǎn)處的兩只電度表一晝夜示數(shù)相差4800度。求：⑴這時(shí)的輸電效率η和輸電纜線的總內(nèi)阻r。⑵若想使輸電效率提升到98%，又不改變輸電纜線，這么電廠應(yīng)使用多高的電流向外輸電？
解析：
(1)因?yàn)檩斔凸β蕿镻=500kW，一晝夜輸送電能E=Pt=12000度，終點(diǎn)得到的電能E/=7200度，因而效率η=60%。輸電纜線上的電壓可由I=P/U估算，為I=100A，而輸電纜線耗損功率可由Pr=I2r估算，其中Pr=4800/24=200kW，因而可求得r=20Ω。
(2)輸電纜線上耗損功率
，原先Pr=200kW，如今要求Pr/=10kW，估算可得輸電電流應(yīng)調(diào)節(jié)為U/=22.4kV。
【例8】發(fā)電機(jī)輸出功率為100kW，輸出電流是250V，用戶須要的電流是220V，輸電纜線內(nèi)阻為10Ω.若輸電纜線中因發(fā)熱而損失的功率為輸送功率的4%，試求：
(1)在輸電纜線路中設(shè)置的升、降壓變壓器原副線圈的阻值比.
(2)畫出此輸電纜線路的示意圖.
(3)用戶得到的電功率是多少？
解析：輸電纜線路的示意圖如圖所示，
輸電纜線耗損功率P線=100×4%kW=4kW，又P線=I22R線，輸電纜線電壓I2=I3=20A
原線圈中輸入電壓
這樣U2=U1n2/n1=250×20V=5000V，
U3=U2-U線=5000-20×10V=4800V，
所以
，
用戶得到的電功率P出=100×96%kW=96kW。
備考回顧：
