初中數學篇25：變壓器、電能輸送知識點
理想變壓器是小學數學中的一個理想模型，它指的是忽視原副線圈的內阻和各類電磁能量損失的變壓器。實際生活中，借助各類各樣的變壓器，可以便捷的把電能輸送到較遠的地區，實現能量的優化配置。在電能輸送過程中，為了達到可靠、保質、經濟的目的，變壓器起到了重要的作用。
基礎知識
一、變壓器
1．理想變壓器的構造、作用、原理及特點
構造：兩組線圈（原、副線圈）繞在同一個閉合鐵芯上構成變壓器．
作用：在輸送電能的過程中改變電流．
原理：其工作原理是借助了電磁感應現象．
特點：正由于是借助電磁感應現象來工作的，所以變壓器只能在輸送交變電壓的電能過程中改變交變電流．
2．理想變壓器的理想化條件及其規律
在理想變壓器的原線圈兩端加交變電流U1后，因為電磁感應的緣由，原、副線圈中都將形成感應電動勢，按照法拉第電磁感應定理有：
，
忽視原、副線圈電阻，有U1＝E1，U2＝E2
另外，考慮到鐵心的導磁作用并且忽視漏磁，即覺得在任意時刻穿過原、副線圈的磁感腰線數都相等，于是又有
由此便可得理想變壓器的電流變化規律為
在此基礎上再忽視變壓器自身的能量損失（通常包括線圈內能量損失和鐵芯內能量損失這兩部份，分別亦稱為“銅損”和“鐵損”），有P1=P2而P1=I1U1P2=I2U2
于是又得理想變壓器的電壓變化規律為
由此可見：
(1)理想變壓器的理想化條件通常指的是：忽視原、副線圈電阻上的分壓，忽視原、副線圈磁路量的差異電壓電流功率基礎知識，忽視變壓器自身的能量耗損（實際上還忽視了變壓器原、副線圈電路的功率質數的差異．）
(2)理想變壓器的規律實質上就是法拉第電磁感應定理和能的轉化與守恒定理在上述理想條件下的新的表現方式．
3、規律小結
(1)熟記兩個基本公式：
即對同一變壓器的任意兩個線圈，都有電流和阻值成反比。
②P入=P出，即無論有幾個副線圈在工作，變壓器的輸入功率總等于所有輸出功率之和。
(2)原副線圈中過每匝線圈通量的變化率相等．
(3)原副線圈中電流變化規律一樣，電壓的周期頻度一樣
(4)公式
中，原線圈中U1、I1代入有效值時，副線圈對應的U2、I2也是有效值，當原線圈中U1、I1為最大值或瞬時值時，副線圈中的U2、I2也對應最大值或瞬時值．
(5)須要非常導致注意的是：
①只有當變壓器只有一個副線圈工作時，才有：
②變壓器的輸入功率由輸出功率決定，常常用到：
，
即在輸入電流確定之后，輸入功率和原線圈電流與副線圈阻值的平方成反比，與原線圈阻值的平方成正比，與副線圈電路的內阻值成正比。式中的R表示負載內阻的電阻，而不是“負載”?！柏撦d”表示副線圈所接的用家電的實際功率。實際上，R越大，負載越??；R越小，負載越大。這一點在審題時要非常注意。
(6)當副線圈中有二個以上線圈同時工作時，U1∶U2∶U3=n1∶n2∶n3，但電壓不可
，此情況必須用原副線圈功率相等來求電壓．
(7)變壓器可以使輸出電流下降或增加，但不可能使輸出功率變大．如果是理想變壓器．輸出功率也不可能降低．
(8)一般說的減小輸出端負載，可理解為負載內阻降低；同理加強負載內阻可理解為減少負載．
【例1】一臺理想變壓器的輸出端僅接一個標有“12V，6W”的燈泡，且正常發光，變壓器輸入端的電壓表示數為0.2A，則變壓器原、副線圈的阻值之比為（D）
A.7∶2B.3∶1
C.6∶3D.5∶2
解析：由于，I2＝P2／U2＝6/12＝0.5AI1＝0.2A，所以n1∶n2=I2∶I1=5∶2
【例2】如圖所示，通過降糖變壓器將220V交流電降為36V供兩燈使用，降為24V供儀器中的加熱電爐使用．假若變壓器為理想變壓器．求：
（1）若n3＝96匝，n2的阻值；
（2）先合上K1、K3，再合上K2時，各水表讀數的變化；
（3）若斷掉K3時A1讀數降低220mA，此時加熱電爐的功率；
（4）當K1、K2、K3全部斷掉時，A2、V的讀數．
解析：
(1)變壓理的中級和兩個次級線圈統在同一繞在同一鐵蕊上，鐵蕊中磁路量的變化對每匝線圈都是相同的．所以線圈兩端的電流與阻值成反比．有
(2)合上K1、K3后，燈L1和加熱電爐正常工作．再合上K2，燈L2接通，U1、n1和n3的值不變．故V讀數不變．但L2接通后，變壓器的輸入、輸出功率減小．故A1、A2讀數減小．
(3)斷掉K3時，A1讀數降低200mA，表明輸入功率降低，降低值為ΔP＝ΔIU＝0.200×220＝44W，這一值即為電爐的功率．
(4)當K1、K2、K3全部斷掉時，輸出功率為零，A2讀數為零．但變壓器的中級戰線圈接在電源上，它仍在工作，故V讀數為24V．
【例3】如圖所示，接于理想變壓器的四個燈泡尺寸相同，且全部正常發光，則這三個線圈的阻值比應為（C）
A、1∶2∶3B、2∶3∶1C、3∶2∶1D、2∶1∶3
解析：
因為所有燈泡尺寸相同．且都正常發光，則
式中，U為燈泡的額定電流，設I為燈炮的額定電壓，由理想變壓器的功率關系pl=p2＋p3，UlI＝U2I＋U3I＝2UI＋UI＝3UI所以U1=3U,則
，由此得n1∶n2∶n3=3∶2∶1
4、幾種常用的變壓器
(1)自耦變壓器
圖是自耦變壓器的示意圖。這些變壓器的特征是鐵芯上只繞有一個線圈。假如把整個線圈作原線圈，副線圈只取線圈的一部份，就可以增加電流；假如把線圈的一部份作原線圈，整個線圈作副線圈，就可以下降電流。
調壓變壓器就是一種自耦變壓器，它的構造如圖所示。線圈AB繞在一個圓環型的鐵芯上。AB之間加上輸入電流U1。聯通滑動觸頭P的位置就可以調節輸出電流U2。
(2)互感器
互感器也是一種變壓器。交流電流表和電壓表都有一定的量度范圍，不能直接檢測高電流和大電壓。用變壓器把高電流弄成低電流，或則把大電壓弄成小電壓，這個問題就可以解決了。此類變壓器稱作互感器。互感器分電流互感器和電壓互感器兩種。
a、電壓互感器
電流互感器拿來把高電流弄成低電流，它的原線圈并聯在高壓電路中，副線圈上接入交流電流表。按照電流表測得的電流U2和標牌上標明的變壓比(U1/U2)，可以算出高壓電路中的電流。為了工作安全，電流互感器的鐵殼和副線圈應當接地。
b、電流互感器
電壓互感器拿來把大電壓弄成小電壓。它的原線圈串聯在被測電路中，副線圈上接入交流電壓表。按照電壓表測得的電壓I2和標牌上標明的變流比(I1/I2)，可以算出被測電路中的電壓。倘若被測電路是高壓電路，為了工作安全，同樣要把電壓互感器的殼體和副線圈接地。
【例4】在變電廠里，常常要用交流水表去檢測電網上的弱電流，所用的器材叫電壓互感器。如下所示的四個圖中，能正確反應其工作原理的是（）
解析：電壓互感器要把大電壓變為小電壓，因而原線圈的阻值少，副線圈的阻值多。檢測每相的電壓必須將原線圈串聯在火線中。選A。
二、電能輸送
1．電路中電能損失
，切不用U2/R來算，當用此式時，U必須是降在導線上的電流，電流不能用輸電電流來估算．
2．遠距離輸電
一定要畫出遠距離輸電的示意圖來，包括發電機、兩臺變壓器、輸電纜線等效內阻和負載阻值。并根據規范在圖中標出相應的數學量符號。通常設兩個變壓器的初、次級線圈的阻值分別為也應當采用相應的符號來表示。
從圖中應當看出功率之間的關系是：
電流之間的關系是：
電壓之間的關系是：
可見其中電流之間的關系最簡單，中只要曉得一個，另兩個總和它相等。因而電壓常常是這類問題的突破口。
輸電纜線上的功率損失和電流損失也是須要非常注意的。剖析和估算時都必須用，而不能用。
非常重要的是要求會剖析輸電纜線上的功率損失，由此得出推論：
(1)降低輸電纜線功率損失的途徑是增強輸電電流或減小輸濁度線的橫截面積，其實選擇后者。
(2)若輸電纜線功率損失早已確定，這么下降輸電電流能減少輸電纜線截面積，進而節省大量金屬材料和架設電纜線所需的鋼材和水泥，就能少占用農地。
須要導致注意的是課本上指出：輸電纜線上的電流損失，不僅與輸電纜線的內阻有關，還與感抗和容抗有關。當輸電纜線路電流較高、導線截面積較大時，檢波導致的電流損失比內阻導致的還要大。
【例5】有一臺電阻為lΩ的發電機，供給一個校區照明用電，如圖所示．升壓變壓器阻值比為1∶4，降糖變壓器的阻值比為4∶1，輸電纜線的總內阻R=4Ω，全校共22個班，每班有“220V，40W”燈6盞．若保證全部電燈正常發光，則：
(1)發電機輸出功率多大？
(2)發電機電動勢多大？
(3)輸電纜線上耗損的電功率多大？
(4)輸電效率是多少？
(5)若使用燈數減半并正常發光發電機輸出功率是否減半．
解析：題中未加特別說明，變壓器即視為理想變壓器，因為發電機至升壓變壓器及降脂變壓器至中學寬度離較短，毋須考慮該兩部份輸濁度線上的功率耗損．
發電機的電動勢ε，一部份降在電源電阻上．即Ilr，另一部份為發電機的路端電流U1，升壓變壓器副線圈電流U2的一部份降在輸電纜線上，即I2R，其余的就是降糖變壓器原線圈電流U2，而U3應為燈的額定電流U額，具體估算由用戶往前遞推即可．
(1)對降糖變壓器U/2I2=U3I3＝nP燈=22×6×40W=5280w,而U/2＝4U3＝880V，所以I2=nP燈/U/2=5280/880=6A,對升壓變壓器：UlIl=U2I2=I22R＋U/2I2＝62×4＋5280＝5424W，所以P出=5424W．
(2)由于U2＝U/2＋I2R＝880＋6×4＝904V，所以U1=?U2=?×904＝226V
又由于UlIl=U2I2，所以Il=U2I2/Ul=4I2=24A，所以ε＝U1＋I1r1=226＋24×1＝250V．
(3)輸電纜線上耗損的電功率PR=IR2R=144W
(4)
(5)電燈降低一半時，n/P燈=2640W，
I/2＝n/P燈/U2＝2640/880=3A．所以P/出=n/P燈十I/22R=2640＋32×4＝2676w
發電機的輸出功率降低一半還要多，因輸電纜線上的電壓降低一半，輸電纜線上電功率的損失降低到原先的1/4。
說明：對變電過程較復雜的輸配電問題，應根據次序，分步推動．或按“發電一一升壓——輸電纜線——降壓—一用家電”的次序，或從“用家電”倒推到“發電”一步一步進行剖析．注意升壓變壓器到線圈中的電壓、輸電纜線上的電壓、降壓變壓器原線圈中的電壓兩者相等．
規律方法
一、解決變壓器問題的常用技巧
解題思路1電流思路.變壓器原、副線圈的電流之比為U1/U2=n1/n2;當變壓器有多個副定子時U1/n1=U2/n2=U3/n3=……
解題思路2功率思路.理想變壓器的輸入、輸出功率為P入=P出，即P1=P2；當變壓器有多個副定子時P1=P2+P3+……
解題思路3電壓思路.由I=P/U知，對只有一個副定子的變壓器有I1/I2=n2/n1;當變壓器有多個副定子時n1I1=n2I2+n3I3+……
解題思路4（變壓器動態問題）阻礙思路.
(1)電壓制約：當變壓器原、副線圈的阻值比（n1/n2）一定時，輸出電流U2由輸入電流決定，即U2=n2U1/n1，可詳述為“原阻礙副”.
(2)電壓阻礙：當變壓器原、副線圈的阻值比（n1/n2）一定，且輸入電流U1確定時，原線圈中的電壓I1由副線圈中的輸出電壓I2決定，即I1=n2I2/n1，可詳述為“副阻礙原”.
(3)負載阻礙：①變壓器副線圈中的功率P2由用戶負載決定，P2=P負1+P負2+…；②變壓器副線圈中的電壓I2由用戶負載及電流U2確定，I2=P2/U2；③總功率P總=P線+P2.
動態剖析問題的思路程序可表示為：
解題思路5原理思路.變壓器原線圈中磁路量發生變化，鐵芯中ΔΦ/Δt相等；當遇見
型變壓器時有ΔΦ1/Δt=ΔΦ2/Δt+ΔΦ3/Δt,
此式適用于交流電或電流（電壓）變化的直流電，但不適用于穩壓或恒定電壓的情況.
【例6】如圖所示為一理想變壓器，K為單刀雙擲開關，P為滑動變阻器的滑動觸頭，U1為加在原線圈兩端的電流，I1為原線圈中的電壓硬度電壓電流功率基礎知識，則（ABD）
A．保持U1及P的位置不變，K由a合到b時，I1將減小
B．保持P的位置及U1不變，K由b合到a時，R消耗的功率降低
C．保持U1不變，K合在a處，使P上滑，I1將減小
D．保持P的位置不變，K合在a處，若U1減小，I1將減小
解析：K由a合到b時，n1減少，由
，可知，U2減小，P2=U22/R急劇減小·而P1=P2，P1=I1U1，因而I1減小，A正確．K由b合到a時，與上述情況相反，P2將減少，B正確·P上滑時，R減小，P2=U22/R減少，又P1＝P2，P1=I1U1，因而I1減少，C錯誤．U1減小，由
，可知U2減小，I2=U2/R急劇減小，由
，可知I1也減小，D正確。
說明：處理這類問題的關鍵是要分清變量和不變量，弄清理想變壓器中各量間的聯系和阻礙關系．在理想變壓器中，U2由U1和阻值比決定；I2由U2和負載內阻決定；I1由I2和阻值比決定．
二、遠距離輸電
【例7】在遠距離輸電時，要考慮盡量降低輸電纜線上的功率損失。有一個坑口電廠，輸送的電功率為P=500kW，當使用U=5kV的電流輸電時，測得安裝在輸電纜線路起點和終點處的兩只電度表一晝夜示數相差4800度。求：⑴這時的輸電效率η和輸電纜線的總內阻r。⑵若想使輸電效率提升到98%，又不改變輸電纜線，這么電廠應使用多高的電流向外輸電？
解析：
(1)因為輸送功率為P=500kW，一晝夜輸送電能E=Pt=12000度，終點得到的電能E/=7200度，因而效率η=60%。輸電纜線上的電壓可由I=P/U估算，為I=100A，而輸電纜線耗損功率可由Pr=I2r估算，其中Pr=4800/24=200kW，因而可求得r=20Ω。
(2)輸電纜線上耗損功率
，原先Pr=200kW，如今要求Pr/=10kW，估算可得輸電電流應調節為U/=22.4kV。
【例8】發電機輸出功率為100kW，輸出電流是250V，用戶須要的電流是220V，輸電纜線內阻為10Ω.若輸電纜線中因發熱而損失的功率為輸送功率的4%，試求：
(1)在輸電纜線路中設置的升、降壓變壓器原副線圈的阻值比.
(2)畫出此輸電纜線路的示意圖.
(3)用戶得到的電功率是多少？
解析：輸電纜線路的示意圖如圖所示，
輸電纜線耗損功率P線=100×4%kW=4kW，又P線=I22R線，輸電纜線電壓I2=I3=20A
原線圈中輸入電壓
這樣U2=U1n2/n1=250×20V=5000V，
U3=U2-U線=5000-20×10V=4800V，
所以
，
用戶得到的電功率P出=100×96%kW=96kW。
備考回顧：
