1六．動量矩定律的應用應用動量矩定律，通常可以處理下述一些問題：（對單軸傳動系統尤為便捷）1．已知質點系的轉動運動，求系統所受的外力或外轉矩。2．已知質點系所受的外轉矩是常轉矩或時間的函數，求質心的角加速度或角速率的改變。3．已知質點所遭到的外力主矩或外扭力在某軸上的投影代數和等于零，應用動量矩守恒定律求角速率或角位移。七．應用舉例[例1]均質圓錐，直徑為r，重量為Q，置圓錐于墻角。初始角速率?0，墻壁、地面與圓錐接觸處的動滑動磨擦系數均為f'，滾阻不計，求使圓錐停止轉動所須要的時間。解：選定圓錐為研究對象。(注意只是一個質心)受力剖析如圖示。運動剖析：剛體C不動，質心繞剛體轉動。按照質心平面運動微分等式???補充等式：?將?式代入?、?兩式，有將上述結果代入?式，有解得：???補充等式：?[例2]兩根質量各為8kg的均質細桿固連成T字型，可繞通過O點的水平軸轉動，當OA處于水平位置時,T形桿具有角速率?=4rad/s。求該瞬時軸承O的反力。解：選T字型桿為研究對象。受力剖析如圖示。由定軸轉動微分等式依據剛體運動微分等式，得[例3]均質圓錐體A和B的重量均為P，直徑均為r，一繩纏在繞固定軸O轉動的圓錐A上，繩的另一端繞在圓錐B上，繩重不計且不可伸長，不計軸O處磨擦。
求：?圓錐B下落時剛體的加速度。?若在圓錐體A上作用一逆秒針轉向的力矩M，試問在哪些條件下圓錐B的剛體將上升。選圓錐B為研究對象??運動學關系：??解：選圓錐A為研究對象由?、?式得：代入?、?式得：由動量矩定律：?補充運動學關系式：代入?式，得當M>2Pr時，，圓錐B的剛體將上升。再取系統為研究對象研究質心平面運動的動力學問題，一定要完善補充等式，找出剛體運動與質心轉動之間的聯系。應用動量矩定律列多項式時,要非常注意正負號的規定的一致性。*§11–1動量矩§11–2動量矩定律§11–3質心定軸轉動微分等式§11–4質心對軸的轉動力矩§11–5質點系相對于剛體的動量矩定律·剛體平面運動微分等式習題課第11章動量矩定律質點質點系動量定律：動量的改變—?外力（外力系主矢）若當剛體為固定軸上一點時，vC=0，則其動量恒等于零，剛體無運動，但是質點系確受外力的作用。動量矩定律構建了質點和質點系相對于某固定點（固定軸）的動量矩的改變與外力對同一點（軸）之矩三者之間的關系。§11-1動量矩一．質點的動量矩質點對點O的動量矩：矢量質點對軸z的動量矩：代數目剛體運動定律：剛體的運動—?外力（外力系主矢）質點對點O的動量矩與對軸z的動量矩之間的關系：正負號規定與力對軸矩的規定相同對著軸看：順秒針為負逆秒針為正二．質點系的動量矩質系對點O動量矩：質系對軸z動量矩：kg·ｍ2/s。
動量矩測度物體在任剎那時繞固定點(軸)轉動的強弱。3．平面運動質心平面運動質心對垂直于質量對稱平面的固定軸的動量矩，等于質心陪同剛體作平動時剛體的動量對該軸的動量矩與繞剛體軸作轉動時的動量矩之和。質心動量矩估算：1．平動質心平動質心對固定點（軸）的動量矩等于質心剛體的動量對該點（軸）的動量矩。2．定軸轉動質心定軸轉動質心對轉軸的動量矩等于質心對該軸轉動力矩與角速率的乘積。解：[例1]滑輪A：m1，R1動量矩定理求角加速度，R1=2R2，I1滑輪B：m2，R2，I2；物體C：m3求系統對O軸的動量矩。§11-2動量矩定律一．質點的動量矩定律兩側叉乘矢徑,有一側可寫成質點對任一固定點的動量矩對時間的行列式，等于作用在質點上的力對同一點之矩。這就是質點對固定點的動量矩定律。故：將上式在通過固定點O的三個直角座標軸上投影，得上式稱質點對固定軸的動量矩定律，俗稱為質點動量矩定律的投影方式。即質點對任一固定軸的動量矩對時間的行列式，等于作用在質點上的力對同一軸之矩。稱為質點的動量矩守恒。若則常矢量運動剖析：。由動量矩定律即微幅擺動時，并令動量矩定理求角加速度，則解微分多項式,并代入初始條件則運動多項式，擺動周期解：將小球視為質點。
受力剖析；受力圖如圖示。[例2]單擺已知m，l，t=0時?=?0，從靜止開始釋放。求單擺的運動規律。注：估算動量矩與扭矩時，符號規定應一致（本題規定逆秒針轉向為正）質點動量矩定律的應用：?在質點受有心力的作用時。?質點繞某心（軸）轉動的問題。質點系對任一固定點的動量矩對時間的行列式，等于作用在質點系上所有外力對同一點之矩的矢量和（外力系的主矩）。二．質點系的動量矩定律右側交換求和與行列式運算的次序，而一質點系對固定點的動量矩定律對質點系，有對質點Mi：將上式在通過固定點O的三個直角座標軸上投影，得上式稱為質點系對固定軸的動量矩定律。即質點系對任一固定軸的動量矩對時間的行列式，等于作用在質點系上所有外力對同一固定軸之矩的代數和（外力系對同一軸的主矩）。質點系的動量矩守恒?當時，常矢量。?當時，常量。定律說明內力不會改變質點系的動量矩，只有外力能夠改變質點系的動量矩。解:取整個系統為研究對象，受力剖析如圖示。運動剖析：v=ｒ?由動量矩定律：[例3]已知:解：系統的動量矩守恒。猴A與猴B向下的絕對速率是一樣的,均為。
[例4]已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相對繩速率上爬，猴A不動，問當猴B向下爬時，猴A將怎樣動？動的速率多大？（輪重不計）§11-3質心定軸轉動微分等式對于一個定軸轉動質心代入質點系動量矩定律，有—剛體定軸轉動微分等式解決兩類問題：?已知作用在質心的外轉矩，求質心的轉動規律。?已知質心的轉動規律，求作用于質心的外力（矩）。但不能求出軸承處的約束反力，需用剛體運動定律求解。特殊情況：?若,則恒量，質心作勻速轉動或保持靜止。?若常量，則?=常量，質心作勻變速轉動。將與比較，質心的轉動力矩是質心轉動慣性的測度。§11-4質心對軸的轉動力矩一．定義：若質心的質量是連續分布，則質心的轉動力矩是質心對某軸轉動慣性大小的測度，它的大小表現了質心轉動狀態改變的難易程度。轉動力矩恒為正值，國際單位制中單位kg·m2。１．積分法（具有規則幾何形狀的均勻質心可采用）[例1]勻質細直桿長為l,質量為m。求：?對z軸的轉動力矩；?對z'軸的轉動力矩。二．轉動力矩的估算解：2.回轉直徑由所定義的寬度稱為質心對z軸的回轉直徑。對于均質質心，僅與幾何形狀有關，與密度無關。對于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質質心，其回轉直徑是相同的。在機械工程設計指南中，可以查閱到簡單幾何形狀或已標準化的零件的轉動力矩和回轉直徑。書中列舉幾種常見
