1、1角動量定律,1.1質點角動量定律,質點的運動狀態：,相對某參考點的轉動：相對某參考點的位置矢量r速率v,運動,轉動,1,慣性系S中的一個運動質點在運動過程中相對某參考點O的徑矢r會相應的旋轉,在dt時間質點位移為vdt，轉過角度dr便會掃過面積dS,面積速率,O,2,質點在S系中相對參考點O的角動量L,角動量隨時間的變化與哪些有關呢？,其中,3,質點所受力相對參考點O的扭矩,質點角動量定律：質點所受力相對某參考點的扭矩等于質點相對該參考點角動量的變化率。,處理轉動的所有公式都是從這個公式導入,4,h,扭矩,力臂h：點O到力F作用線的距離。F0Y物理好資源網(原物理ok網)

2、,在直角座標系中，M可用導數敘述成,它的三個份量：,5,質點所受各分力Fi相對同一參考點的扭力之和，等于合力F相對該參考點的轉矩。,兩質點之間一對斥力與反斥力相對于同一參考點扭力之和必為零。,1,2,6,若過程中M恒為零，則過程中L為守恒量,若過程中Mz恒為零，則過程中Lz為守恒量,有心力：質點所受力F若仍舊指向一個固定點O，O為力心。,7,例1,相對不同參考點A、B，估算重扭力和角動量,A,B,參考點A：,重扭力,角動量,參考點B：,重扭力,角動量,8,例2勻速圓周運動,O,選擇圓心O為參考點,扭矩,角動量,R,其它任何點則沒有這些情況,角動量守恒,9,例F0Y物理好資源網(原物理ok網)

3、3月球繞太陽公轉,選擇太陽為參考點,萬有引力的轉矩為零,10,例4,圓柱擺如圖，擺線長l，小球質量m，取懸掛點O為參考點，求擺球所受轉矩和擺球角動量。,擺球受張力和重力,張力對O點扭力為零,擺球所受轉矩,擺球角動量,方向如圖,選另一參考點,11,例5,z,導入單擺的擺動多項式,轉矩和角動量都只有z軸份量,采用小角度近似,借助角動量定律,12,例6,O,A,小球繞O作圓周運動，如圖所示。,（1）求B端所受豎直向上的外力T0（2）T0極平緩增到2T0，求v（3）用功的定義式求拉力所作的功。,B,剖析化學過程,以O為參考點，扭力為零，角動量守恒。,T0極平緩減小，徑向速率可略，中間F0Y物理好資源網(原物理ok網)

4、過程近似為圓周運動。,13,O,A,B,解,（1）,（2）,角動量守恒,圓周運動,14,（3）帶動過程中，小球作螺旋線運動,它正好等于小球的動能增量,15,1.2質點系角動量定律角動量守恒定理,在慣性系S中，質點系相對O點的角動量L,質點系角動量定律：質點系各質點所受外力相對同一參考點的扭力之和等于質點系相對于該參考點角動量隨時間的變化率。,16,質點系角動量守恒定理若過程中M外恒為零，則過程中L為守恒量。若過程中M外x（或M外y，M外z）恒為零，則過程中Lx（或Ly，或Lz）為守恒量。,非慣性系中質點系的角動量定律,17,例7,l,l,h,質量可略、長2l的蹺蹺板打坐著兩少F0Y物理好資源網(原物理ok網)

5、年，左重右輕，,上端少年用腳蹬地，獲得順秒針方向角速率0。,求0起碼多大時，右端少年可著地？,O,扭矩,系統角動量,18,角動量定律,積分,此即機械能守恒,19,例8,水平大圓盤繞中心豎直軸以角速率旋轉，質量m的,小球從中心出發，沿阿基米德螺線運動，角動量L守恒。試求小球所受真實力的縱向份量和徑向份量。,阿基米德螺線,O,角動量L守恒,,20,圓盤系中小球所受合力,合力的縱向份量,合力的徑向份量,角動量L守恒，縱向力為零,徑向力應合成mar,21,1.3外扭力重心對稱球的外引力分布中心,外轉矩是質點系角動量變化的誘因,合力為零的外扭矩,質點系所受外力的合力為零時，F0Y物理好資源網(原物理ok網)

6、外扭矩與參考點無關。,O,22,一對質心大小相同、方向相反且不在同仍然線上的兩個力,質心的扭力不依賴于參考點的選擇,1,2,23,重心,坐落rG的幾何點稱為質點系的重心,質量均勻分布，幾何結構具有對稱性的物體，重心坐落其幾何中心,24,質點系各質點重力的沖量和等于質點系重力的沖量,質點系各質點重力作功之和等于質點系重力作用于重心處所作的功,重力勢能,重力的扭矩,重心是質點系重力分布中心,貓的空中轉體,25,對稱球的外引力分布中心,P,球心是對稱球的外引力分布中心,26,例9,質量M的均勻麥管置于光滑桌面上，一半在桌面外。質量m的蟲子停在上端，而后爬到右端。隨后另一蟲子輕輕地落在F0Y物理好資源網(原物理ok網)

7、該端，麥管并未傾倒，試求第二個蟲子的質量。,麥管長L，蟲子相對麥管速率u，麥管相對桌面左行速率v,系統動量守恒,麥管移入桌面寬度,27,分兩種情況討論：,（1）,麥管全部步入桌面，第二個蟲子可取任何值。,（2）,麥管和二個蟲子相對桌邊的重扭力應當滿足,28,2對稱性與守恒律,2.1對稱性,29,荷蘭物理家魏爾（H.Weyl）,對稱性：系統在某種變換下具有的不變性。,例左右對稱，上下對稱，俗稱鏡面對稱,30,空間變換對稱性,x,O,z,y,系統相對點、線、面的變換,31,鏡面反演對稱性,鏡面反演：對平面直角座標系，僅取x到-x（或y到-y，或z到-z）的變換。,一個系統若在鏡面反演F0Y物理好資源網(原物理ok網)

8、變換下保持不變，則稱這一系統具有鏡面反演對稱性。,32,33,空間平移對稱性,系統在空間平移，即在,變換下具有的不變性。,34,軸轉動對稱性（軸對稱性）,系統在繞著某直線軸作任意角度旋轉的變換下具有的不變性。,35,空間反演對稱性（點對稱性）,系統在空間反演，即在,變換下具有的不變性。,36,點轉動對稱性（球對稱性）,系統在繞著某點作任意旋轉的變換下具有的不變性。,R,R,電場硬度,直徑,均勻帶電圓球相對球心具有球對稱性，它的空間場強分布也具有此種對稱性。,37,時間變換對稱性,一維的時間只能改變方向和平移，所以只有兩種變換：,時間反演對稱性,時間平移對稱性,38,時間反演對稱性,時F0Y物理好資源網(原物理ok網)

9、間反演即時間倒流,O,過去,未來,過去,未來,1,2,39,牛頓第二定理具有時間反演對稱性,精典熱學中，與牛頓第二定理平行的是力的結構性定理,胡克定律、引力定理、庫侖定理具有時間反演對稱性,減振性作用定理給出的空氣阻力、摩擦力等不具有時間反演對稱性,時間倒流在真實世界是不可能發生的,40,時間平移對稱性,系統在時間平移，即在,變換下具有的不變性。,牛頓第二定理和力的結構性定理都具有時間平移對稱性,自然界中不僅與時空變換有關的對稱性以外，還有其它的對稱性，數學學的后續課程上將會討論。,41,2.2對稱性原理,42,荷蘭化學學家皮埃爾.居里（.Curie）在1894年強調,對稱F0Y物理好資源網(原物理ok網)

10、性原理因中若有某種對稱性，果中也有此種對稱性，因果間的這些對稱性是普遍存在的。,43,2.3對稱性與守恒律,Emmy(1882-1935),諾特最偉大的女物理家,44,諾特定律：論證了對稱性與守恒律之間存在的普遍聯系,連續變換的對稱性都對應一條守恒定理,時間平移對稱性,能量守恒定理,空間轉動對稱性,角動量守恒定理,空間平移對稱性,動量守恒定理,45,小結,牛頓定理,慣性系,非慣性系,質點,質點系,我們周圍的世界,46,3天體運動,太陽系中太陽是質量最大的天體，行星中質量最大的土星,太陽近似處理成不動的質點，行星運動由太陽引力支配。衛星距大行星很近，圍繞著行星的運F0Y物理好資源網(原物理ok網)

11、動由行星引力支配。,47,3.1天體運動,天體運動的開普勒三定理,第一定理（軌道定理）：行星圍繞太陽的運動軌道為橢圓，太陽在橢圓的一個焦點上。第二定理（面積定理）：行星與太陽的連線在相等的時間內掃過相等的面積。第三定理（周期定理）：各行星橢圓軌道半長軸A的三次方與軌道運動周期T的二次方之比值為相同的常量，即,48,牛頓熱學結合萬有引力定理推論天體運動的開普勒三定理,極座標系角動量守恒能量守恒,49,太陽質量記為M，待考察的行星質量記為m，某時刻M至m的徑矢r和m的速率v。,構建極座標系,在徑矢r和速率v確定的平面上電子運動的角動量公式，構建以M為原點的極座標系。,5F0Y物理好資源網(原物理ok網)

12、0,借助角動量L和能量E守恒,首先可得到角向速率和徑向速率,51,行星軌道,方案1：參數多項式,方案2：軌道多項式,52,確定軌道多項式,引入熱阻,53,作變量代換,積分后可得,總可選定,54,行星的軌道多項式,這是太陽坐落焦點的圓柱曲線,55,三種可能的軌道：,都與行星質量無關,行星的軌道多項式,56,大行星受太陽引力禁錮，E0，軌道是橢圓,M,m,橢圓偏心率,時，為圓軌道。,57,例10,太陽質量M，行星橢圓軌道半長軸A、半短軸B。行星的軌道運動周期T，試導入開普勒第三定理。,M,m,1,2,選擇長軸的兩點：近期點1和遠日點2，速率與徑矢垂直的惟一的兩點。,58,機械能守恒,角動量F0Y物理好資源網(原物理ok網)

13、守恒,面積速率,行星的軌道運動周期,開普勒第三定理,59,解法二,軌道1處的曲率直徑,牛頓第二定理,面積速率,行星的軌道運動周期,開普勒第三定理,60,例11,對于太陽和某個行星構成的兩體引力系統電子運動的角動量公式，若考慮到引力對太陽的影響，開普勒三定理將作什么修正？,引入約化質量和行星相對太陽的加速度,將引力公式代入,61,上式可改寫為,不僅將太陽質量M換成M+m以外，所有結果保持不變。,開普勒第一、第二定理不依賴于太陽質量，保持不變。,開普勒第三定理依賴太陽質量，嚴格意義下不再創立。,雖然是行星中質量最大的土星,確實是小到可以忽視,62,例12估算第一、第二、第三宇宙速率,略去月球大氣層的影響,F0Y物理好資源網(原物理ok網)

14、地球直徑,月球軌道直徑,太陽質量,地表重力加速度,63,第一宇宙速率：在月球引力作用下，緊貼地面沿圓軌道運動的飛行器速率v1。,飛行器質量m,64,第二宇宙速率：從地面向上發射太空飛行器，為使它能遠離月球而去的最小發射速率v2。,月球質量ME,65,第三宇宙速率：從地面向上發射太空飛行器，為使它能陸續脫離月球和太陽的引力禁錮遠離太陽系而去的最小發射速率v3。,相對月球的最小發射速率v3需順著月球軌道的運動方向。,月球軌道速率,在地心參考系中，飛行器距月球足夠遠時，它相對于月球從v3降為,（1）,66,轉入太陽系，飛行器相對太陽的速率為,（2）,為使飛行器剛好能脫離太陽的引力禁錮，F0Y物理好資源網(原物理ok網)

15、要求,（3）,67,例13,通過天文觀測，發覺存在行星橢圓軌道，假定質點間的萬有引力大小與距離r的關系為試就下邊兩種情況分別確定（1）太陽在橢圓軌道的一個焦點上；（2）太陽在橢圓的中心,M,m,1,2,68,M,m,1,2,面積速率不變,對于橢圓,從開普勒第一、第二定理，導入了引力的平方正比律,（1）,69,（2）,M,m,1,2,3,對于1、3兩處,對于橢圓,引力具有彈性力的特性,70,3.2有心力場中質點的運動,存在有心力的空間稱為有心力場，以力心為座標原點，在有心力場中質點所受力可敘述成：,71,有心力場中，質點初速率沿徑向或為零時，運動軌道是直線。,對于吸引性有心力場F0Y物理好資源網(原物理ok網)

16、，質點初速率沿角向并滿足運動軌道是圓。,通常情況下，質點的運動軌道都是平面曲線，這一平面由質點初位矢和初速率確定。,72,有心力場中，在由質點初位矢和初速率確定的平面上，以力心為座標原點，構建極座標系。,系統的角動量和機械能都是守恒量：,角向和徑向速率,73,為獲得r-t，,這是關于r-t的一階微分等式，原則上可解出r-t關系。,軌道微分多項式,給定V(r)，積分上式，得軌道多項式：,74,對r-t關系的定性討論,了解r隨t的變化范圍，確定軌道是有限的，還是無窮的。,取隨質點徑矢一起變速轉動的非慣性系,質點的慣性離心力,此力是保守力，取無窮遠點為勢能零點，它的離心勢能,能量守恒F0Y物理好資源網(原物理ok網)

17、式中與角動量有關的動能項可理解為離心勢能。,質點的一維運動,75,引入等效勢能,徑向能量守恒多項式,借助此式就可以討論r隨t的變化,有心力與離心力的合力,等效勢能的極值點對應質點所受徑向合力為零的點。,若此時質點的徑向動能為零，即,則質點作圓周運動。,76,徑向加速度使質點仍然有徑向朝外的運動趨勢，直到無窮遠，故質點運動軌道必將是無限的。,有心力是敵視性的,從受力的角度剖析,從能量的角度剖析,敵視性的有心力勢能V(r)為正，隨r的減小而降低。,離心勢能,質點的能量是守恒量，且有限，它的運動范圍只能是,無窮遠,有限遠,77,有心力是吸引性的,吸引性的有心力的通常方式,取不同值對應不同的吸引性的有心力，對應的勢能的通常方式為,78,有心力具有胡克力的性質,其它則軌道為橢圓,79,80,有心力如引力和庫侖力,其它情況,81,82,定律：只當有心力為平方反比力或Hooke力時，粒子的所有禁錮運動軌道才是閉合的。,83,定律的證明,能量E守恒,角動量L守恒,引入變量,84,F0Y物理好資源網(原物理ok網)

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