順磁介質的磁化硬度與哪些有關？怎樣借助玻爾茲曼分布推論磁化硬度公式？10月28日12時，《張朝陽的數學課》第九十六期播出，搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐陣搜狐視頻直播間，先備考了玻爾茲曼分布公式與角動量量子化的內容，此后借助磁矩的勢能公式估算出無軌道角動量的電子在外磁場中的基態。接著借助玻爾茲曼分布推導入磁化硬度公式，并在弱場極限下對其展開，然后還將其擴充到任意角動量的情況。
求解外磁場下的電子載流子基態寫出玻爾茲曼分布
在之前關于求解空氣密度隨高度的分布，以及用統計方式求解麥克斯韋速率分布率的課程中，張朝陽推導入了理想二氧化碳的玻爾茲曼分布。在更通常的情況下，對于量子熱學分立的基態體系，玻爾茲曼分布是指，粒子處于第i基態的機率為：
其中，Ei是第i基態的能量，gi是第i基態的簡并度。
借助玻爾茲曼分布公式，接出來剖析外磁場中電子的基態情況，以及處在各基態上的機率。設電子具有弱冠動量J，這么按照之前的課程內容可知，電子磁矩與角動量的關系滿足：
其中qe是單位電荷，公式中的“-”來始于電子帶負電-qe。
設勻強外磁場B順著z軸方向，按照勢能公式可知電子在外磁場B中的能量為：
其中，Jz是電子弱冠動量J順著z軸的投影。
在精典熱學中，Jz是連續的，能量φ和磁矩μ也是連續的。當磁矩μ與B的方向越近（即它們的方向傾角θ越小）電子角動量公式，能量φ越小，說明電子磁矩有沿B方向排列的傾向，這與之前的磁矩力矩公式是一致的。
而在之前量子熱學課程中，張朝陽早已求解得悉角動量z份量的取值并不是連續的，而是取如下分立的值：
其中j是某一整數或半整數。
對于無軌道角動量的電子，弱冠動量由載流子角動量決定，這時j=1/2，所以角動量z份量Jz的只能取兩個值：
其中，依照能量φ的表達式可知，載流子朝著z方向（即與B平行）時取正值，載流子朝著z方向的反方向時取負值。
在外磁場中的電子能量φ也只能取兩個值：
同樣也是載流子朝著z方向時Φ取正值，載流子朝著z方向的反方向時Φ取負值。
為了便捷后續的討論，這兒定義一個常數磁矩μ0：
于是，當載流子朝著z方向時，依據電子磁矩μ與角動量J的關系式，可知電子磁矩的z份量是-μ0，能量φ取正基態：
這么按照玻爾茲曼分布，電子處在正基態上的機率為：
其中a是歸一化常數。
而當載流子朝著z方向的反方向時，依據電子磁矩μ與角動量J的關系式，可知電子磁矩的z份量是μ0，能量φ取負基態：
同樣按照玻爾茲曼分布，電子處在負基態上的機率為：
這樣就求出了外磁場中無軌道角動量的電子在各基態上的玻爾茲曼分布電子角動量公式，以及各基態所對應的磁矩z份量。
推論順磁磁化硬度公式線性展開并推廣到通常情況
有了電子在各基態上的機率分布以及各基態對應的磁矩，就可以求解磁介質的磁化硬度。按照機率分布可以估算出電子磁矩的z份量的平均值：
至于磁矩的x和y份量的平均值，可由對稱性可知它們都等于零。
（張朝陽借助玻爾茲曼分布推論磁化硬度公式）
磁化硬度M定義為每單位容積中的凈磁矩，設單位容積內的電子數為N，這么磁化率M為：
當外磁場B很大或氣溫極低時，雙曲余弦函數會促使磁化率M趨向一個固定的極限值Nμ0，相當于所有的載流子都轉向了z軸（即外磁場B的方向），這時磁化率達到飽和。當外磁場B比較弱時，無規則熱運動會促使磁矩傾向于無規則的排列，抵消磁場B的轉向作用，這時可以借助雙曲正切函數的線性展開特點：
將弱場情況下的磁化率近似寫成：
這表明在弱磁場情況下M與外磁場B成反比。
前面的公式是假定弱冠動量J完全是載流子角動量?/2得下來的，為了得到更普遍的公式，張朝陽將μ0^2的表達式具體寫下來：
進一步定義波爾磁子μB為：
可以將μ0^2寫成更加緊湊的方式：
波爾磁子是與具體系統無關的常數，與電子載流子相關的量就是上面的系數g與(1/2)^2。由于載流子g約等于2，所以從這個公式能看出，載流子磁矩幾乎就是一個波爾磁矩。因為磁矩與角動量成反比，磁矩的平方與角動量的平方有關，而在量子熱學中角動量的平方的取值為j(j+1)?^2。這兒電子載流子對應j=1/2，于是考慮將(1/2)^2寫成如下角動量平方（本征值）方式：
這樣就只要不限制j=1/2，這么就將上述(μ0)^2擴展到任意弱冠動量j的情況：
對應的在弱場B情況下的磁化硬度近似為：
這就是外磁場B在順磁介質中誘導出的磁化硬度公式，而玻爾磁子大致標定了原子磁矩的大小。從公式中可以看出，水溫越高因為無規則熱運動越劇烈，致使排列傾向混亂，會降低磁化硬度。據悉，磁化硬度還與原子角動量的平方，粒子數密度與外磁場（弱場）成反比，符合之前用磁矩力矩公式關于順磁介質的定性剖析。
（張朝陽將磁化硬度公式進行弱場展開并定義玻爾磁子）
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