順磁介質(zhì)的磁化硬度與哪些有關(guān)？怎樣借助玻爾茲曼分布推論磁化硬度公式？10月28日12時(shí)，《張朝陽(yáng)的數(shù)學(xué)課》第九十六期播出，搜狐創(chuàng)始人、董事局主席兼CEO張朝陽(yáng)坐陣搜狐視頻直播間，先備考了玻爾茲曼分布公式與角動(dòng)量量子化的內(nèi)容，此后借助磁矩的勢(shì)能公式估算出無(wú)軌道角動(dòng)量的電子在外磁場(chǎng)中的基態(tài)。接著借助玻爾茲曼分布推導(dǎo)入磁化硬度公式，并在弱場(chǎng)極限下對(duì)其展開(kāi)，然后還將其擴(kuò)充到任意角動(dòng)量的情況。
求解外磁場(chǎng)下的電子載流子基態(tài)寫(xiě)出玻爾茲曼分布
在之前關(guān)于求解空氣密度隨高度的分布，以及用統(tǒng)計(jì)方式求解麥克斯韋速率分布率的課程中，張朝陽(yáng)推導(dǎo)入了理想二氧化碳的玻爾茲曼分布。在更通常的情況下，對(duì)于量子熱學(xué)分立的基態(tài)體系，玻爾茲曼分布是指，粒子處于第i基態(tài)的機(jī)率為：
其中，Ei是第i基態(tài)的能量，gi是第i基態(tài)的簡(jiǎn)并度。
借助玻爾茲曼分布公式，接出來(lái)剖析外磁場(chǎng)中電子的基態(tài)情況，以及處在各基態(tài)上的機(jī)率。設(shè)電子具有弱冠動(dòng)量J，這么按照之前的課程內(nèi)容可知，電子磁矩與角動(dòng)量的關(guān)系滿(mǎn)足：
其中qe是單位電荷，公式中的“-”來(lái)始于電子帶負(fù)電-qe。
設(shè)勻強(qiáng)外磁場(chǎng)B順著z軸方向，按照勢(shì)能公式可知電子在外磁場(chǎng)B中的能量為：
其中，Jz是電子弱冠動(dòng)量J順著z軸的投影。
在精典熱學(xué)中，Jz是連續(xù)的，能量φ和磁矩μ也是連續(xù)的。當(dāng)磁矩μ與B的方向越近（即它們的方向傾角θ越小）電子角動(dòng)量公式，能量φ越小，說(shuō)明電子磁矩有沿B方向排列的傾向，這與之前的磁矩力矩公式是一致的。
而在之前量子熱學(xué)課程中，張朝陽(yáng)早已求解得悉角動(dòng)量z份量的取值并不是連續(xù)的，而是取如下分立的值：
其中j是某一整數(shù)或半整數(shù)。
對(duì)于無(wú)軌道角動(dòng)量的電子，弱冠動(dòng)量由載流子角動(dòng)量決定，這時(shí)j=1/2，所以角動(dòng)量z份量Jz的只能取兩個(gè)值：
其中，依照能量φ的表達(dá)式可知，載流子朝著z方向（即與B平行）時(shí)取正值，載流子朝著z方向的反方向時(shí)取負(fù)值。
在外磁場(chǎng)中的電子能量φ也只能取兩個(gè)值：
同樣也是載流子朝著z方向時(shí)Φ取正值，載流子朝著z方向的反方向時(shí)Φ取負(fù)值。
為了便捷后續(xù)的討論，這兒定義一個(gè)常數(shù)磁矩μ0：
于是，當(dāng)載流子朝著z方向時(shí)，依據(jù)電子磁矩μ與角動(dòng)量J的關(guān)系式，可知電子磁矩的z份量是-μ0，能量φ取正基態(tài)：
這么按照玻爾茲曼分布，電子處在正基態(tài)上的機(jī)率為：
其中a是歸一化常數(shù)。
而當(dāng)載流子朝著z方向的反方向時(shí)，依據(jù)電子磁矩μ與角動(dòng)量J的關(guān)系式，可知電子磁矩的z份量是μ0，能量φ取負(fù)基態(tài)：
同樣按照玻爾茲曼分布，電子處在負(fù)基態(tài)上的機(jī)率為：
這樣就求出了外磁場(chǎng)中無(wú)軌道角動(dòng)量的電子在各基態(tài)上的玻爾茲曼分布電子角動(dòng)量公式，以及各基態(tài)所對(duì)應(yīng)的磁矩z份量。
推論順磁磁化硬度公式線(xiàn)性展開(kāi)并推廣到通常情況
有了電子在各基態(tài)上的機(jī)率分布以及各基態(tài)對(duì)應(yīng)的磁矩，就可以求解磁介質(zhì)的磁化硬度。按照機(jī)率分布可以估算出電子磁矩的z份量的平均值：
至于磁矩的x和y份量的平均值，可由對(duì)稱(chēng)性可知它們都等于零。
（張朝陽(yáng)借助玻爾茲曼分布推論磁化硬度公式）
磁化硬度M定義為每單位容積中的凈磁矩，設(shè)單位容積內(nèi)的電子數(shù)為N，這么磁化率M為：
當(dāng)外磁場(chǎng)B很大或氣溫極低時(shí)，雙曲余弦函數(shù)會(huì)促使磁化率M趨向一個(gè)固定的極限值Nμ0，相當(dāng)于所有的載流子都轉(zhuǎn)向了z軸（即外磁場(chǎng)B的方向），這時(shí)磁化率達(dá)到飽和。當(dāng)外磁場(chǎng)B比較弱時(shí)，無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)會(huì)促使磁矩傾向于無(wú)規(guī)則的排列，抵消磁場(chǎng)B的轉(zhuǎn)向作用，這時(shí)可以借助雙曲正切函數(shù)的線(xiàn)性展開(kāi)特點(diǎn)：
將弱場(chǎng)情況下的磁化率近似寫(xiě)成：
這表明在弱磁場(chǎng)情況下M與外磁場(chǎng)B成反比。
前面的公式是假定弱冠動(dòng)量J完全是載流子角動(dòng)量?/2得下來(lái)的，為了得到更普遍的公式，張朝陽(yáng)將μ0^2的表達(dá)式具體寫(xiě)下來(lái)：
進(jìn)一步定義波爾磁子μB為：
可以將μ0^2寫(xiě)成更加緊湊的方式：
波爾磁子是與具體系統(tǒng)無(wú)關(guān)的常數(shù)，與電子載流子相關(guān)的量就是上面的系數(shù)g與(1/2)^2。由于載流子g約等于2，所以從這個(gè)公式能看出，載流子磁矩幾乎就是一個(gè)波爾磁矩。因?yàn)榇啪嘏c角動(dòng)量成反比，磁矩的平方與角動(dòng)量的平方有關(guān)，而在量子熱學(xué)中角動(dòng)量的平方的取值為j(j+1)?^2。這兒電子載流子對(duì)應(yīng)j=1/2，于是考慮將(1/2)^2寫(xiě)成如下角動(dòng)量平方（本征值）方式：
這樣就只要不限制j=1/2，這么就將上述(μ0)^2擴(kuò)展到任意弱冠動(dòng)量j的情況：
對(duì)應(yīng)的在弱場(chǎng)B情況下的磁化硬度近似為：
這就是外磁場(chǎng)B在順磁介質(zhì)中誘導(dǎo)出的磁化硬度公式，而玻爾磁子大致標(biāo)定了原子磁矩的大小。從公式中可以看出，水溫越高因?yàn)闊o(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)越劇烈，致使排列傾向混亂，會(huì)降低磁化硬度。據(jù)悉，磁化硬度還與原子角動(dòng)量的平方，粒子數(shù)密度與外磁場(chǎng)（弱場(chǎng)）成反比，符合之前用磁矩力矩公式關(guān)于順磁介質(zhì)的定性剖析。
（張朝陽(yáng)將磁化硬度公式進(jìn)行弱場(chǎng)展開(kāi)并定義玻爾磁子）
據(jù)了解，《張朝陽(yáng)的數(shù)學(xué)課》于每周周一、周日上午12時(shí)在搜狐視頻直播，網(wǎng)友可以在搜狐視頻“關(guān)注流”中搜索“張朝陽(yáng)”，觀看直播及往期完整視頻回放；關(guān)注“張朝陽(yáng)的數(shù)學(xué)課”賬號(hào)，查看課程中的“知識(shí)點(diǎn)”短視頻。據(jù)悉，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬號(hào)上，閱覽每期數(shù)學(xué)課程的詳盡文章。
