教學(xué)與學(xué)習(xí)同時(shí)進(jìn)行的好地方 八年級(jí)數(shù)學(xué)上海分部（思南）版 資源主持人：李曉東 Email：@ 化學(xué)班教師交流群：圖解分析兩個(gè)平面鏡的個(gè)數(shù)定律 根據(jù)平面鏡成像原理，物體放在平面鏡中只能形成一個(gè)圖像。 當(dāng)兩個(gè)平面鏡的傾斜角度不同時(shí)，可以形成多少個(gè)圖像？ 關(guān)于估計(jì)立方體鏡像數(shù)量的公式，一些出版物中的一些論文表示，這個(gè)問(wèn)題“非常復(fù)雜”，“很難用簡(jiǎn)單的公式來(lái)表達(dá)物體的圖像數(shù)量”。 為了把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，本文通過(guò)具體的例子，通過(guò)光路圖進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，總結(jié)出兩個(gè)平面鏡以不同傾角放置時(shí)的像數(shù)規(guī)律，供大家參考。 例1：將一個(gè)點(diǎn)光源放在兩個(gè)傾角為90°的平面鏡之間，如圖1所示，可以形成多少個(gè)圖像？ 實(shí)例分析：本題的作圖方法，借助平面鏡的成像原理和圖像的對(duì)稱(chēng)性，可以做到直觀、簡(jiǎn)單。 根據(jù)標(biāo)題的意思，點(diǎn)光源S放置在兩個(gè)垂直平面鏡的前面。 根據(jù)光的反射定理或平面鏡成像定律，由于點(diǎn)光源S在兩個(gè)平面鏡M1和M2中成像，見(jiàn)圖2中的兩個(gè)點(diǎn)S1和S3。據(jù)悉，有部分光線分別打到M1和M2的鏡子上，經(jīng)過(guò)反射后，分別打到M2和M1的兩個(gè)鏡子上。 M1和M2的兩個(gè)鏡子反射兩次的光線發(fā)散（見(jiàn)線，線）平面鏡成像原理光路圖，但它們反向延伸并相交于點(diǎn)S2。
根據(jù)平面鏡成像定律，圖像和物體相互對(duì)稱(chēng)，圖像和物體可以連通：教學(xué)同步學(xué)習(xí)交流好地方八年級(jí)數(shù)學(xué)上海分院（思南）版資源版主：李曉東 Email：@化學(xué)班老師交流群：S2S3S 在圖2中畫(huà)出實(shí)線； S1是S在M1中的圖像，S3是S在M2中的圖像，S2是S在M1和M2中的疊加圖像。 從圖中可以明顯看出，物體和圖像形成一個(gè)正圓，并且物體位于角的平分線上。 例2：例1中，當(dāng)兩個(gè)平面鏡的傾角改為60°時(shí)，點(diǎn)光源可以形成多少個(gè)圖像？ 圖像的位置如圖3所示。點(diǎn)光源S位于平面鏡OM1和OM2之間，兩鏡的交點(diǎn)O為圓心，OS為圓的直徑。 根據(jù)平面鏡成像定律，像和物對(duì)鏡面對(duì)稱(chēng)：像S1和S5相對(duì)于平面鏡OM2對(duì)稱(chēng)，OM1相對(duì)于點(diǎn)光源S對(duì)稱(chēng)，S2和S3相對(duì)于平面鏡OM1對(duì)稱(chēng)，S3和S4相對(duì)于平面鏡OM2對(duì)稱(chēng)。 由于S3到O的距離等于O到S的距離，因此S1、S2、S3、S4、S5也分布在以O(shè)為圓心、SO為直徑的圓上。 將圓圈的內(nèi)部線連接起來(lái)，形成一個(gè)正方形，該正方形具有圖中圖像和物體的六個(gè)邊。 并且除了鏡子中的光源外，其他各個(gè)角度都有圖像。 根據(jù)平面鏡成像定律，點(diǎn)光源S在平面鏡OM1和OM2的兩個(gè)傾角之間可以形成五個(gè)圖像：即S1是S在OM2中的圖像，S5是S在OM1中的圖像平面鏡成像原理光路圖，S4是S1在OM1中的圖像，S2是S5在OM2中的圖像，角頂?shù)膱D像S3是S在OM1和OM的兩個(gè)反射鏡中的重合圖像2、與S3重合的圖像不能再在OM1、OM2中成像。
K12教學(xué)和八年級(jí)數(shù)學(xué)同步學(xué)習(xí)和交流的好地方 上海分院（思南）版 資源版主：李曉東 Email：@ 化學(xué)班老師交流群：根據(jù)例2，當(dāng)平面鏡之間的傾角改為30時(shí)，一個(gè)點(diǎn)光源可以形成多少個(gè)圖像？ 實(shí)例分析：根據(jù)實(shí)例2繪制圖1至圖4。從圖中我們可以看出，點(diǎn)光源可以形成11個(gè)圖像。 角頂部的一個(gè)圖像S6是由兩個(gè)平面鏡M1和M2形成的重合圖像。 物與像可以構(gòu)成正十二邊形，除物點(diǎn)外，其余像點(diǎn)均等角內(nèi)等分平面。 從以上三個(gè)例子可以看出，物體與圖像之間形成了一個(gè)對(duì)稱(chēng)圖形，有直接相鄰對(duì)稱(chēng)、間接相鄰對(duì)稱(chēng)和軸對(duì)稱(chēng)，所以我們可以得出這樣的成像規(guī)律。 若n表示像數(shù)，α表示兩個(gè)平面鏡之間的傾角，則：n=-1（在0α180的情況下構(gòu)造） 上式是從三個(gè)特殊例子總結(jié)出來(lái)的，但360可以被a整除得到素?cái)?shù)，其重合像為1。因此它只能適用于一系列能被360整除的傾斜角。上面還包括以下兩種特殊情況：當(dāng)a=180時(shí)，兩個(gè)平面鏡M1和M2拼接在一起形成平面鏡，如圖5所示，AB為人的高度，C為人的耳朵，頭部A的光線射到平面鏡上，經(jīng)鏡面反射進(jìn)入人眼C，A在A'上成像。 從腳B發(fā)出的光線射到平面鏡上，經(jīng)反射后進(jìn)入人眼C，在B'中成像B。
此時(shí)，圖像數(shù)量n=1。 K12教學(xué)同時(shí)學(xué)習(xí)和交流的好地方，八年級(jí)數(shù)學(xué)上海分部（思南）版資源版主：李曉東 Email:@ 化學(xué)班老師交流群：當(dāng)a=0度時(shí)，表示兩個(gè)平面鏡相互平行。 當(dāng)一個(gè)人站在相互垂直且平行放置的平面鏡前時(shí)，他可以在M1和M2的兩面鏡子中看到自己的一系列圖像。 為什么？ 分析：如圖6所示，根據(jù)光反射定律，人AB的光線第一次分別通過(guò)M1和M2成像，分別為A'1B'1和A'2B'2； 第二圖像A'1B'1和A'2B'2分別被M2和M1的鏡面反射成像在A”2B”2和A”1B”1上。 第三圖像A″2B″2在A？ 1B1？ 由于人AB的光線經(jīng)過(guò)兩個(gè)平面鏡M1、M2多次反射形成，導(dǎo)致：鏡目鏡中的像與像中的像再次形成。 此時(shí)，每個(gè)圖像都是前一個(gè)圖像的圖像，但相當(dāng)于后一個(gè)圖像的對(duì)象。 如此下去，如果沒(méi)有光損失的話，鏡子里就有無(wú)限個(gè)這個(gè)人的影像，也就是此時(shí)在平面鏡中可以看到一系列物體的影像。 在上述三個(gè)例子中，為了便于繪制，將物體放置在鏡子傾角的平分線上。 如果物體不在這條線上，則得到的圖形不再是正六邊形，但圖像數(shù)量仍然與上式的估計(jì)結(jié)果一致。 如果不是整數(shù)，則重合圖像為O。請(qǐng)讀者自己畫(huà)圖來(lái)驗(yàn)證。