練習(xí)一
運(yùn)用完全平方公式估算：
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
（7）（8）（9）
（l0）
中學(xué)生活動：中學(xué)生在練習(xí)本上完成，之后朋友互評，班主任抽看結(jié)果，練習(xí)中存在的共性問題要集中解決．
5．變式訓(xùn)練，培養(yǎng)能力
練
運(yùn)用完全平方公式估算：
（l）（2）（3）（4）
中學(xué)生活動：中學(xué)生分組討論，選代表解答．
練習(xí)三
（1）有甲、乙、丙、丁四名同事，共同估算，以下是她們的估算過程，請判定她們的估算是否正確，不正確的請強(qiáng)調(diào)錯在那里．
甲的估算過程是：原式
乙的估算過程是：原式
丙的估算過程是：原式
丁的估算過程是：原式
（2）想一想，與相等嗎？為何？
與相等嗎？為何？
中學(xué)生活動：觀察、思考后，回答問題．
【教法說明】練是一組數(shù)字估算題，使中學(xué)生感受到公式的用途，也可以迸發(fā)中學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動中學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，同時也起到加深理解公式的作用．練習(xí)三第（l）題實(shí)際是課本例4，此題是與平方差公式的綜合運(yùn)用，難度較大．通過給出解題步驟，讓中學(xué)生進(jìn)行判定，使難度增加，中學(xué)生便于理解，班主任要注意引導(dǎo)中學(xué)生剖析這類題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，把握解題技巧．通過完成第（2）題使中學(xué)生進(jìn)一步理解與之間的相等關(guān)系，同時加深理解代數(shù)中“a”具有的廣泛意義．
練習(xí)四
運(yùn)用加法公式估算：
（l）（2）
（3）（4）
中學(xué)生活動：采取聯(lián)賽的形式把中學(xué)生分成四組，每組完成一題，看哪一組完成得快并且確切，每組各派一個中學(xué)生板演本組題目．
【教法說明】這樣做的目的是訓(xùn)練中學(xué)生的快速反應(yīng)能力及綜合運(yùn)用知識的能力，同時也迸發(fā)中學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍課堂氛圍．
（四）總結(jié)、擴(kuò)展
這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了加法公式中的完全平方公式．
引導(dǎo)中學(xué)生舉例說明公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，公式中字母涵義和運(yùn)用公式時應(yīng)當(dāng)注意的問題．
八、布置作業(yè)
P1331，2．（3）（4）．
行列式公式表例文4
【關(guān)鍵詞】預(yù)算管理;費(fèi)用控制;電子表格
財務(wù)預(yù)算代表了現(xiàn)代企業(yè)戰(zhàn)略發(fā)展的方向,已成為財務(wù)基礎(chǔ)管理的重要工具,在企業(yè)日常管理中起著舉足輕重的作用。怎么及時把握預(yù)算執(zhí)行情況,保障預(yù)算執(zhí)行信息上下通暢,對預(yù)算誤差及時預(yù)警,為管理和決策層及時提供確切、有效的數(shù)據(jù)已成為預(yù)算管理不容忽略的問題。本文結(jié)合工作實(shí)踐和企業(yè)管理需求,運(yùn)用WPS表格配合金蝶NC系統(tǒng)在費(fèi)用預(yù)算跟蹤控制方面作了初步闡述。
一、建立預(yù)算跟蹤表
(一)創(chuàng)建工作簿
啟動WPS表格程序,創(chuàng)建一個名為“預(yù)算跟蹤表.et”的工作薄,把工作表名稱定義為“費(fèi)用預(yù)算表”,如圖(1)。表樣模板可以按照管理須要設(shè)置不同的單元格,通過設(shè)置費(fèi)用總額進(jìn)度、時間進(jìn)度、任務(wù)完成進(jìn)度等數(shù)據(jù),實(shí)現(xiàn)費(fèi)用總額進(jìn)度與任務(wù)完成進(jìn)度的匹配性初審。
小貼士:圖1中的制表日期所顯示的時間應(yīng)設(shè)置為日期格式,以備后續(xù)估算相關(guān)進(jìn)度數(shù)據(jù)。
(二)復(fù)制工作表
在打開的WPS工作薄中插入多個工作表,并分別以部門名稱命名,比如,把命名為“經(jīng)營一部”,并完善如圖2的表樣模板。
二、數(shù)據(jù)導(dǎo)入、導(dǎo)入
(一)數(shù)據(jù)導(dǎo)入
以導(dǎo)入2008年4月份管理費(fèi)用為例,將金蝶NC系統(tǒng)中各部門費(fèi)用的實(shí)時數(shù)據(jù)導(dǎo)入至過渡表中。
第一步,數(shù)據(jù)查詢。在金蝶NC系統(tǒng)的賬簿/賬薄查詢/輔助余額表/中,打開查詢對話框,查詢對象的下拉菜單中選擇“會計課目”和“部門檔案”。“會計課目”對應(yīng)的查詢范圍下拉菜單中選擇管理費(fèi)用下的各個明細(xì)課目,“部門檔案”對應(yīng)的查詢范圍為空;選擇要查詢的會計期間(2008年1-4月)。單擊“確定”按鈕。
小貼士:在“未記帳賬簿”選擇框中打“√”,確保未記帳的賬簿被選中,以反映費(fèi)用總額的實(shí)際情況。
第二步,數(shù)據(jù)導(dǎo)入至過渡表。系統(tǒng)顯示查詢結(jié)果后,單擊“打印”按鈕,出現(xiàn)如圖3所示的界面,之后選擇“輸出EXCEL”菜單,將導(dǎo)入的數(shù)據(jù)保存在過渡表中。
小貼士:所謂過渡表,是在計算機(jī)中僅有正版WPS表格的情況下,將NC系統(tǒng)默認(rèn)導(dǎo)入的EXCEL電子表格,通過WPS表格對臨時數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。
(二)數(shù)據(jù)導(dǎo)出
在“預(yù)算跟蹤表.et”中創(chuàng)建一個名為“費(fèi)用數(shù)據(jù)”的工作表,之后把過渡表中的數(shù)據(jù)粘貼到“費(fèi)用數(shù)據(jù)”工作表中,如圖4。
小貼士:設(shè)置過渡表默認(rèn)的打開方法,可用右鍵單擊過渡表文件名,單擊“打開方法”/“選擇程序”/“WPS”,選中“始終使用選擇的程序打開這些文件”單選框,單擊確定。今后導(dǎo)入過渡表的打開方法就默認(rèn)為WPS表格了。
三、設(shè)置費(fèi)用跟蹤表函數(shù)
(一)設(shè)置手動取數(shù)功能的函數(shù)
以WPS的“引用”功能手動選定管理費(fèi)用/業(yè)務(wù)招待費(fèi)單元格數(shù)據(jù)為例,其他須要跟蹤控制的費(fèi)用項目可參照設(shè)置。
第一步,引用數(shù)據(jù)。選擇“插入”/“名稱”/“定義”,定義如下名稱:
kemu=費(fèi)用數(shù)據(jù)!$A$2:$A$98
bumen=費(fèi)用數(shù)據(jù)!$B$2:$B$98
jiner=費(fèi)用數(shù)據(jù)!$C$2:$C$98
小貼士:當(dāng)前的工作表為“費(fèi)用數(shù)據(jù)”,在定義名稱時,毋須輸入費(fèi)用數(shù)據(jù),WPS表格會按照當(dāng)前工作表名手動加上。
第二步,取“本年實(shí)際”的數(shù)據(jù)。在圖1中E7單元格中輸入公式:
=IF((INDEX(jiner,MATCH("管理費(fèi)用業(yè)務(wù)招待費(fèi)"&C163,kemu&bumen,0)))=TRUE,0,INDEX(jiner,MATCH("管理費(fèi)用業(yè)務(wù)招待費(fèi)"&C7,kemu&bumen,0)))
公式輸入完畢,同時按下“Ctrl”+“Shift”+“Enter”鍵,使單元格中的公式呈如下顯示:
{=IF((INDEX(jiner,MATCH("管理費(fèi)用業(yè)務(wù)招待費(fèi)"&C163,kemu&bumen,0)))=TRUE,0,INDEX(jiner,MATCH("管理費(fèi)用業(yè)務(wù)招待費(fèi)"
&C7,kemu&bumen,0)))}
小貼士:上年同期的數(shù)據(jù)及其他費(fèi)用數(shù)據(jù)可以使用粘貼的方式取得,倘若引用其他費(fèi)用數(shù)據(jù),則把公式中“管理費(fèi)用業(yè)務(wù)招待費(fèi)”相應(yīng)的位置替換成要引用的費(fèi)用課目即可。設(shè)置函數(shù)時,要確保引用的課目為文本型數(shù)據(jù),在公式更改完畢,要再度同時按下“Ctrl”+“Shift”+“Enter”鍵,確保公式為鏈表函數(shù)。
第三步,設(shè)置增減幅度公式和費(fèi)用預(yù)算進(jìn)度費(fèi)用公式。因考慮有些部門上年的某項費(fèi)用為0,本年卻有此項費(fèi)用的發(fā)生和本年數(shù)據(jù)與上年同期均為正數(shù)(如財務(wù)費(fèi)用可能為正數(shù))等情況,如使用簡單的(本年實(shí)際-上年同期)/上年同期×100%物理公式估算增減幅度,會造成估算結(jié)果沒有實(shí)際經(jīng)濟(jì)意義,因而在E7單元格中輸入公式:
=IF(F7=0,"-",IF(F7
-1,(E7-F7)/F7*100))
同樣,為使費(fèi)用預(yù)算總額進(jìn)度與費(fèi)用開支超出任務(wù)進(jìn)度估算結(jié)果有經(jīng)濟(jì)意義,在H7單元格中輸入公式:=IF(D7>=0,E7/D7/100,"-");在J7單元格中輸入公式:=IF((H7-I7),"",H7-I7)。公式設(shè)置完畢可以粘貼到其他單元格。
小貼士:以上操作才能確保在上年同期數(shù)據(jù)為0時,表示增減幅度和費(fèi)用預(yù)算總額進(jìn)度單元格中顯示“-”而不是“#DIV/0!”,同時,也使兩期數(shù)據(jù)無論為正負(fù)均有經(jīng)濟(jì)意義。
(二)構(gòu)建各部門費(fèi)用預(yù)算表的關(guān)聯(lián)
以經(jīng)營一部的業(yè)務(wù)招待費(fèi)項目為例,參見圖(2),在經(jīng)營一部的工作表H7單元格中輸入公式:
=SUM(費(fèi)用預(yù)算表!E7),將“費(fèi)用預(yù)算表”中經(jīng)營一部的業(yè)務(wù)招待費(fèi)引用到“經(jīng)營一部”工作表中相應(yīng)位置。實(shí)際操作中,也可使用上面提及的字段函數(shù)。對于其他部門工作表中的各項數(shù)據(jù)均用此方式來引用并產(chǎn)生工作表與工作表之間的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)。
小貼士:此公式中對E7單元格是相對引用,不會因“費(fèi)用預(yù)算表”增減行而影響到引用數(shù)據(jù)的確切性。
四、設(shè)置預(yù)警
第一步,選中所需設(shè)置預(yù)警顏色的“費(fèi)用預(yù)算總額進(jìn)度”列即H列單元格,單擊“格式”/“條件格式”,出現(xiàn)圖5對話框,在“介于”復(fù)選框后的第一個條件框中輸入公式:
=IF(MONTH($G$4)
小貼士:在WPS表格的運(yùn)算中,“-”大于任何數(shù)字,為確保單元格為“-”時不顯示預(yù)警顏色,則在第二個條件框中輸入小于預(yù)算進(jìn)度的數(shù)字。
第二步:以不超過任務(wù)進(jìn)度的5%提示紅色預(yù)警和超過任務(wù)進(jìn)度的5%提示黃色預(yù)警為例,按上述方式打開圖5對話框,之后在對話框中輸入如圖6所示的條件,最后點(diǎn)擊“確定”按鈕。假如想降低多個條件,點(diǎn)擊“添加”按鈕可實(shí)現(xiàn)。
第三步:用同樣的方式在各部門的工作表中設(shè)置預(yù)警顏色。
預(yù)警設(shè)置完畢,如圖7所示,經(jīng)營一部的業(yè)務(wù)招待費(fèi)沒有超過時間進(jìn)度,在費(fèi)用預(yù)算總額進(jìn)度欄中沒有顏色顯示,但因業(yè)務(wù)招待費(fèi)超過任務(wù)完成進(jìn)度沒有超過任務(wù)完成進(jìn)度的5%,在費(fèi)用開支超出任務(wù)進(jìn)度欄是顯示橙色預(yù)警;經(jīng)營四部的費(fèi)用總額進(jìn)度超過了任務(wù)完成進(jìn)度并且小于5%,在費(fèi)用開支超出任務(wù)進(jìn)度欄是顯示藍(lán)色預(yù)警。
“費(fèi)用預(yù)算表”中數(shù)據(jù)繁雜,雖然經(jīng)過對WPS表格進(jìn)行的設(shè)置可以對于個別部門個別費(fèi)用超標(biāo)進(jìn)行預(yù)警,而且,在“費(fèi)用預(yù)算表”中顯示比較分散,不利于對其進(jìn)行控制,所以,可以采取制做“費(fèi)用控制預(yù)警月歷”來進(jìn)行集中預(yù)警。
首先,完善費(fèi)用預(yù)算時間進(jìn)度、任務(wù)進(jìn)度預(yù)警要素矩陣圖,以該矩陣圖作為評判費(fèi)用指標(biāo)是否需預(yù)警的尺度。橫座標(biāo)為“費(fèi)用開支超出時間進(jìn)度”,縱座標(biāo)為“任務(wù)完成超出時間進(jìn)度”,橫縱座標(biāo)分別以5%為一個單位,籌建-10%以下,-10%至-5%,-5%至0,0至5%,5%至10%和10%以上六個單位,如圖8所示,其中黑色填充部份為藍(lán)色預(yù)警區(qū)域,紅色填充部份為白色預(yù)警區(qū)域,無顏色填充部份為可接受區(qū)域。
其次,制做“費(fèi)用控制預(yù)警月歷”。對于在“費(fèi)用預(yù)算表”中已有預(yù)警的費(fèi)用總額,可以篩選下來,填到“費(fèi)用控制預(yù)警月歷”中,以完善費(fèi)用預(yù)算時間進(jìn)度、任務(wù)進(jìn)度預(yù)警要素矩陣圖作為評判是否預(yù)警的標(biāo)準(zhǔn),對費(fèi)用開支超出進(jìn)度的部門進(jìn)行白色和紅色預(yù)警。在此基礎(chǔ)上,向公司領(lǐng)導(dǎo)和相關(guān)部門進(jìn)行提示,以督促相關(guān)部門加大費(fèi)用控制,校準(zhǔn)預(yù)算執(zhí)行的誤差。
小貼士:圖9所示預(yù)警結(jié)果為可接受的,實(shí)際操作過程中不需在“費(fèi)用控制預(yù)警月歷”中列示。
五、對已設(shè)置公式和格式的工作簿進(jìn)行保護(hù)
以保護(hù)“費(fèi)用預(yù)算表”為例:首先,當(dāng)前工作表為“費(fèi)用預(yù)算表”,之后選中在表內(nèi)無需引用的單元格,單擊右鍵或打開“格式”/“單元格”/“保護(hù)”,使“鎖定”命令為空選,點(diǎn)擊“確定”按鈕;其次,打開“工具”/“保護(hù)”/“保護(hù)工作表”,連續(xù)輸入密碼兩次可實(shí)現(xiàn)對“費(fèi)用預(yù)算表”中設(shè)定公式的保護(hù)。如想撤消保護(hù),反向執(zhí)行上述程序即可。
行列式公式表例文5
關(guān)鍵詞：樹狀圖；函數(shù)；導(dǎo)數(shù)
中圖分類號：G642.4文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號：1674-9324（2012）07-0157-02
在高等物理的教學(xué)中，一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)數(shù)相對于多元函數(shù)求偏行列式要簡單得多電阻的定義公式，但是好多中學(xué)生在學(xué)習(xí)一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)，非常是復(fù)合函數(shù)等的導(dǎo)數(shù)時碰到一些困難，因此影響后繼內(nèi)容的學(xué)習(xí).作者受求多元函數(shù)偏行列式樹狀圖的啟發(fā)，將樹狀圖應(yīng)用于一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的教學(xué)中.實(shí)踐表明，樹狀圖有助于中學(xué)生對一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式的理解和把握.
在[1]中，二元復(fù)合函數(shù)z=f（u（x，y），v（x，y））的偏行列式為鏈?zhǔn)椒▌t
■=■·■+■·■，■=■·■+■·■.
為了更好地把握該鏈?zhǔn)椒▌t電阻的定義公式，[1]采用如下的樹狀圖（圖1）幫助理解：
為和鏈?zhǔn)椒▌t對應(yīng)上去，我們將上述樹狀圖弄成以下方式（圖2）
按照以上這些樹狀圖（圖2）的思想，以下分別對乘積函數(shù)的求導(dǎo)、商函數(shù)的求導(dǎo)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)以及反函數(shù)的求導(dǎo)等采用樹狀圖加以探討.
1復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)
熟知復(fù)合函數(shù)y=f（φ（x））關(guān)于x的行列式公式為
■=■·■=fφφ'
為幫助學(xué)生理解記憶，我們將其用如下方式表示
例1：求函數(shù)y=sin■的行列式.
解：設(shè)φ（x）=■，則由
得函數(shù)的求導(dǎo)為
y'=cos■·■x■=■cos■.
2乘積函數(shù)的求導(dǎo)
乘積函數(shù)y=f（x，y）=u（x）v（x）的行列式公式為：y'=u'（x）v（x）+u（x）v'（x）=u'v+uv'.
我們采用
幫助記憶.
例2：求函數(shù)y=的行列式.
解：由
可得函數(shù)的求導(dǎo)為
y'=+sinx·■=+■sinx
3商函數(shù)的求導(dǎo)
商函數(shù)y=f（x，y）=■的行列式公式為y'=■
我們采用
來幫助理解記憶.
例3：求函數(shù)y=■的行列式.
解：由
得函數(shù)的求導(dǎo)為
y'=■2x+x2（-■）=■
4反函數(shù)的求導(dǎo)
在一定條件下，假定函數(shù)y=f（x）為函數(shù)x=φ（y）的反函數(shù)，則函數(shù)f（x）的行列式可以表示為
f'（x）=■.
為了得到此公式，我們對x=φ（y）方程兩側(cè)關(guān)于x導(dǎo)數(shù)數(shù)，并時刻記住y是x的函數(shù)，方程左邊為
即為φ'（y）y'.這樣就得到方程1=φ'（y）y'，因而得到反函數(shù)的求導(dǎo)公式
y'=f'（x）=■.
例4：求函數(shù)y=的行列式（[2]）.
解：因為函數(shù)y=，x∈（-1，1）是x=siny，y∈（-■，■）的反函數(shù)，對x=siny兩側(cè)同時關(guān)于x導(dǎo)數(shù)數(shù)得1=cosy·y'，因而y'=■=■=■.
結(jié)束語：
在高等物理的教學(xué)中，對理工科語文基礎(chǔ)不好的中學(xué)生，非常是對工科中學(xué)生來說，有時采用數(shù)形結(jié)合的形式教學(xué)，不失為一種有效的教學(xué)技巧.對一元函數(shù)的求導(dǎo)這部份內(nèi)容來說，作者的實(shí)踐經(jīng)驗說明上述方式是有效的.
參考文獻(xiàn)：
[1]謝季堅，李啟文.學(xué)院物理[M].第3版.上海：高等教育出版社，2009：2，6.
[2]華南師范學(xué)院物理系.物理剖析（下冊）[M].第3版.南京：高等教育出版社，2001：97-98.
行列式公式表例文6
【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)中值定律
1.關(guān)于微分中值定律的應(yīng)用。
1.1借助拉格朗日中值定律證明恒方程或不方程。
例1.證明:
證:設(shè),導(dǎo)數(shù)得,可以按照拉格朗日中值定律的結(jié)論知(常數(shù))
令x=0得,可知C=,所以。
方式歸納:①證明方程時,將恒方程轉(zhuǎn)化為,借助證明或設(shè)輔助函數(shù),使;②若,則有恒方程其中是區(qū)間中的某一個數(shù)。
例2.對,,證明:
證:令,則在上滿足拉格朗日中值定律的條件,故存在使創(chuàng)立,即有
方式歸納:當(dāng)證明不方程時,關(guān)鍵是找到適當(dāng)函數(shù),之后對其在所給范圍內(nèi)應(yīng)用中值定律,再將作適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小即可得證。
1.2在函數(shù)滿足在上的假設(shè)條件下,要證起碼存在一點(diǎn),致使(其中G表示與的某個已知表達(dá)式)創(chuàng)立。有以下類題型:
題型1:在要證明的原表達(dá)式基礎(chǔ)上構(gòu)造輔助函數(shù)F(x),要求F(x)滿足羅爾或拉格朗日中值定律,之后從F(x)中分離出需證明的表達(dá)式或與其相仿的多項式。
例3.已知上的二階可導(dǎo)函數(shù),,證明:
(1)存在,且,,創(chuàng)立;
(2)存在,使創(chuàng)立。
證:(1)令,在上滿足羅爾定律條件,故存在,使創(chuàng)立,即創(chuàng)立;同理在上可以證明存在,致使創(chuàng)立,且知是分離的。
(2)令,在上滿足羅爾定律條件,故存在,使創(chuàng)立,即,整理得。
方式歸納:此題采用原函數(shù)法,其通常步驟為:①將欲證推論中的換為;②通過恒等變型將推論化為易去除行列式符號的方式;③用觀察法或積分法求出原函數(shù),為易于積分常數(shù)取為零;④移項使方程一邊為零,則另一邊即為輔助函數(shù)。
例4.設(shè),在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)。
證明:存在,致使創(chuàng)立。
證:①令
整理得。
由此令,則在上滿足羅爾定律條件,故存在,致使創(chuàng)立,即
故
證:②可令,則有在上滿足拉格朗日中值定律,
即即為所要證明的表達(dá)式。
方式歸納:此題采用常數(shù)k值法,其通常步驟為:①另常數(shù)部份為K;②恒等變型,使方程一端為及構(gòu)成的代數(shù)式,另一端為及構(gòu)成的代數(shù)式;③分析關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)式是否為對稱式或輪換對稱式,若是只要把端點(diǎn)改成,相應(yīng)的函數(shù)值改成,則換變量后的端點(diǎn)表達(dá)式就是所求的輔助函數(shù)。
題型2:當(dāng)不易找到如中學(xué)的輔助函數(shù),則引入新的函數(shù),構(gòu)成柯西條件。
例5.設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),其中,證明:存在,使。
證:因為
因而要證明的方程可以改寫為①②
①
②
引入函數(shù),且對和應(yīng)用柯西中值定律知,存在致使①成立。引入函數(shù),且對和應(yīng)用柯西中值定律知,存在,致使②成立,因而證明了要證明的方程。
例6.設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且。證明:存在,致使創(chuàng)立。
證:要證的方程可以改寫為
①
②
對應(yīng)用拉格朗日中值定律,存在致使①成立;對和應(yīng)用柯西中值定律知存在,致使②成立,因而證明了要證的方程。
題型3:當(dāng)在整個區(qū)間上不易找出此時,采納區(qū)間連分法,并借助閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。
例7.設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,,求證:對任給的滿足的負(fù)數(shù)存在互不相等的促使創(chuàng)立。
證:由負(fù)數(shù)滿足知,于是由連續(xù)函數(shù)的介值定律知,存在,致使。
分別在和上應(yīng)用拉格朗日中值定律知,存在和,致使
例8.設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),且,,求證:則起碼存在一點(diǎn)促使創(chuàng)立。
證:首先分別在和上應(yīng)用拉格朗日中值定律知,存在和,致使,。
于是由得:
由要證的方程作輔助函數(shù),其實(shí)在上連續(xù),因而,由連續(xù)函數(shù)的最大值定律知,存在,致使。倘若能證明,則。
有,而,有同理,由得。由(假如,則和相矛盾),得悉。
方式歸納:在解答一個綜合證明時,其常常是多部份知識(不方程,證明方式,閉區(qū)間上函數(shù)性質(zhì)等)的聯(lián)合運(yùn)用。因而,在備考此部份內(nèi)容時有必要將有關(guān)部份熟悉。
2.泰勒中值定律的一些綜合應(yīng)用。
題型1:用泰勒公式作估算或證明
例9.若函數(shù)在有二階行列式,且,則存在,致使創(chuàng)立。
證:以分別帶函數(shù)在處的泰勒公式得
例10.設(shè)函數(shù)在(其中)上有二階行列式,且對任意有,
證明:對任意,有。
證:為將的一階行列式與及其一階行列式聯(lián)系上去,借助的一階泰勒公式。
由假設(shè)知,對中的c和x相應(yīng)的存在介于c與x之間的,致使
方式歸納:用泰勒公式作估算或證明這種問題應(yīng)該注意兩點(diǎn):其二要展開到第幾項,由題目條件而定;其一是用那個余項,若為極限多用佩亞諾余項,反之多用拉格朗日余項。
題型2:用泰勒展開式求極限,應(yīng)該結(jié)合諾必達(dá)法則進(jìn)行剖析代換、求解,但是應(yīng)該熟練把握常用函數(shù)的邁克勞林公式。
例11.用帶有佩亞諾型余項的邁克勞林公式,求極限。
解:因為多項式的分母,我們只需將分母中的和分別用帶有佩亞諾型余項的邁克勞林公式表示,即,,于是,對上式作運(yùn)算時,把兩個比高階的無窮小的代數(shù)和仍記作,故。
例12.用泰勒公式求。
方式歸納:用泰勒公式求極限時應(yīng)該按照題目的具體方式,把個別初等函數(shù)展成相對應(yīng)階數(shù)的泰勒方式,并結(jié)合等階無窮小,諾必達(dá)法則進(jìn)行剖析、代換、求解。熟練的把握常用的函數(shù)的邁克勞林公式會使其極限過程顯得簡單。
3.談泰勒中值定律與微分中值定律的聯(lián)系與區(qū)別。
聯(lián)系:泰勒中值定律的一階表達(dá)式即為拉格朗日中值定律,可以看出泰勒中值定律是更為廣泛、更為普通的拉格朗日中值定律方式;不論是泰勒中值定律還是微分中值定律,都是微分學(xué)的理論基礎(chǔ),是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具,是溝通函數(shù)及其行列式的橋梁;其間的聯(lián)系非常緊密。
差異:而泰勒中值定律使我們能借助高階行列式,較微分中值定律更深入地研究函數(shù)的性質(zhì)與形態(tài)。因而,當(dāng)給了函數(shù)或其行列式及其高階行列式的個別條件而要求證明關(guān)于函數(shù)或其行列式及高階行列式的一個比較復(fù)雜的中值關(guān)系時,常常需用泰勒中值定律。因泰勒公式的精度極高,在求解極限時經(jīng)常得到巧用。同樣在借助微分中值定律時,關(guān)于低階行列式的證明也變得簡單。
參考文獻(xiàn)
1汪光先主編.高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程.上海學(xué)院出版社,2005
