譯者按：知名化學學家楊振寧先生近來在《今日化學》（Today）發表中文文章，以清晰的思維娓娓道來麥克斯韋的重要研究。麥克斯韋多項式被譽為影響世界十大多項式之一。它除了為明天家電化生活奠定理論基礎，并且是理論化學學界至關重要的規范理論之概念的起源?！顿愊壬纷g為英文發表，以饗我國讀者。
麥克斯韋多項式和規范理論的概念起源
楊振寧
諾貝爾化學學獎得主
復旦學院高等研究院名譽校長
人們一般覺得庫侖（de）、高斯（CarlGauss）、安培（AndréMarieAmpère）和法拉第（）分別發覺了熱學和磁學中最基礎的熱學規律，而麥克斯韋（JamesClerk）做的只是將這種規律的物理抒發最終總締結一套具有高度統一性和對稱性的等式——麥克斯韋多項式。而且我認為，麥克斯韋的貢獻遠遠不限于將已有的電磁學規律加以總結。麥克斯韋在多項式中對幾何和對稱性的微妙化學直覺除了推翻了十九世紀“場是超距作用”的錯誤認識，更在二十世紀直接促使形成了具有高度統一性的粒子化學標準化模型。
十九世紀的數學
人類對電與磁的探求源于十九世紀。1820年，奧斯特（Hans，1777—1851）發覺電壓可以造成附近的小n極運動，這個發覺讓整個法國為之激奮。最終安培（1775—1836）將之歸結為“超距作用”理論。彼時西班牙的法拉第（1791—1867）也在同一領域進行研究，但其物理基礎略遜一籌。1822年物理學家麥克斯韋簡介，法拉第在一封給安培的信中寫道：“我認為我的物理知識太短缺，所以我無法理解具象的推論而只能專注于發覺和總結具體的實驗事實”。（參考文獻[1]）
法拉第是一位依賴直覺的實驗化學學家。從1831年到1854年，他將觀測的實驗事實總締結三卷專著，是為《電學的實驗研究》(圖1)。不同尋常的是，三卷本不朽巨作里居然沒有一個公式。法拉第用他出乎尋常的語言能力和幾何直覺，用平實的語言記載了化學規律和物理理論。
圖1法拉第的《電學的實驗研究》三卷分別發表于1839、1844和1855年。兩側為法拉第的原稿，寫于1831年10月17日，這天他發覺，在螺線管中聯通吸鐵石時，螺線管會形成電壓。他為此發覺了電磁感應現象，這一定理最終成為我們明天制造大大小小發電廠的理論根據、并促進人類科技水平長足的進步。
圖2法拉第畫像。插圖摘自1831年10月17日法拉第發覺電磁感應的原稿。
在《電學的實驗研究》一書中，法拉第系統地探求了各類各樣的電磁感應實驗。諸如，他嘗試用不同種類的金屬制造螺線管，將螺線管曝曬在不同的介質中，用兩個螺線管來進行電磁感應等等。他沉迷于兩個實驗現象，第一個是他發覺吸鐵石必須被聯通能夠在螺線管中形成電壓，第二個是感應的方向其實垂直于磁場的方向。
法拉第覺得自己好像理解了電磁感應，從而引入兩個幾何概念：磁力線和電緊張態。后者可以通過將鐵屑置于螺線管和吸鐵石門口被直接觀測到。這種力線在昨天的數學課本圓通常用H來表示，稱為磁場。而電緊張態，卻一直未在《電學的實驗研究》一書中有更清楚直觀的定義。這一概念雖然首次出現在第一卷的第60節時也無清楚的定義。在此后的章節中，電緊張態又被頻繁賦于各類其他的名子，例如特殊態、強度態、特殊狀態等等。諸如在第66節中法拉第稱：“所有的金屬都有特殊狀態?！痹诘?8節中寫道：“這種態是頓時形成的?！蔽覀冊凇峨妼W的實驗研究》第1114節還讀到——
“當我們企圖將電與磁覺得是統一事物的兩面時，或則當成一種獨特的可以在垂直方向互相作用的物體時，我直觀地認為這兩種狀態或則物質是可以互相轉化的。”
直至1854年法拉第在63歲逝世時，他所提出的幾何直觀以及電緊張態都欠缺清晰的定義。
走入麥克斯韋的世界
1854年，麥克斯韋（1831—1879）結業于知名的三一大學，那時他是一名對化學飽含激情的年青人。剛才結業的麥克斯韋對電磁學有著極大的興趣，并寄信給時任悉尼學院自然哲學系院長的湯姆森（）：
“假設一個人有一些對熱學的基本認識，并且想進一步了解電磁學，他應當以哪些次序和形式通讀安培和法拉第的專著呢？他應當如何通讀您在劍橋刊物上發表的論文呢？”(文獻[2])
湯姆森（1824—1907，后來的開爾文爵士）當時極具影響力。麥克斯韋咨詢他是明智的選擇，由于早在1851年湯姆森就引入了矢勢A的概念來表示磁場H:
多項式1。
這個等式對麥克斯韋形成了巨大的影響。
我們無從考證湯姆森怎么回復此信，但僅一年后，麥克斯韋就發表了其改變人類電磁學歷史的三篇專著中之第一篇，其中，麥克斯韋基于等式1給出法拉第所謂電緊張態的物理描述。麥克斯韋的三篇專著于1890年被尼文（Niven）整理為兩卷本《麥克斯韋的科學論文》。
麥克斯韋的第一篇論文發表于1856年。它似乎滿含公式但卻比法拉第的《電學的實驗研究》更加易懂。該文的核心是第二部份，名為“法拉第的電緊張態”。第204頁有電緊張態的物理描述，用明天的向量抒發可以寫為：
等式2。
這兒Ａ指法拉第的電緊張硬度。
在第207頁，麥克斯韋用文字描述了上述公式：
“第六定理－任何導體上的電動力決定于電緊張硬度的變化率物理學家麥克斯韋簡介，這一變化既可以是硬度大小又可以是方向。”
在我看來，借助湯姆森的矢勢Ａ的概念對法拉第提出的電緊張態進行物理定義是麥克斯韋科研生涯中第一個概念上的突破。假如對等式2兩側取旋度，我們可以得到如今廣為人知的法拉第定理之物理表示，
多項式3。
或則同一方程的另外一種積分方式：
多項式4。
麥克斯韋當時并未將法拉第定理寫成多項式3或則多項式4的方式，因其主要目的是為法拉第的電緊張態找尋確切的物理定義。而矢勢A的概念卻自此貫串麥克斯韋一生的思維方法和理論體系。
麥克斯韋很快意識到，與其他化學量不同的是，在多項式1—3中，矢勢A可以被任意加上一個散度為零的矢量而不影響最終的估算結果和實驗觀測，《麥克斯韋的科學論文》一書第198頁中的定律五對這一規范自由度進行了討論。這么麥克斯韋到底為多項式1—3中的A選擇了如何的規范呢？他在書中未觸碰。我揣測麥克斯韋暗示存在一種對Ａ規范，致使多項式1—3被同時滿足。
麥克斯韋當時也一定意識到用湯姆森的矢勢概念來定義法拉第的電緊張態是很重要的。但為防止湯姆森毋須要的誤會，麥克斯韋在第一篇論文的第二部份稱：
“針對當前理論的歷史背景，借助文中的物理函數描述法拉第電緊張態，并以之估算電動勢和電動力，是具有獨創性的。不過，最初關于可用物理抒發來描述電磁學現象之理念來自于湯姆森院士的論文?！?span style="display:none">mug物理好資源網(原物理ok網)
麥克斯韋的“渦旋”
在第一篇論文完成三年后，麥克斯韋發表了他三篇專著中的第二篇論文，它分成四部份在1861年—1862年間相繼發表。與第一篇論文相比，這篇論文變得極為隱晦難懂。麥克斯韋企圖通過引入“渦旋”模型的概念來解釋和統一電與磁。他覺得電磁現象是由無數個微小、看不見、又不停旋轉的物質所導致，他稱之為“渦旋”。這種“渦旋”的旋轉方向和外磁場的方向一致（《麥克斯韋的科學論文》第489頁）。
圖3“渦旋”模型示意圖，摘自《麥克斯韋的科學論文》第488頁?！皽u旋”六邊形周圍的箭頭方向錯了，恐怕為做圖時疏漏。
麥克斯韋為“渦旋”作了一幅示意圖（圖3），但是在《麥克斯韋的科學論文》中第477頁給出了如下的描述：
“在PLATEVIII中，令AB表示從A流向B的電壓。在AB上方和下方的空間表示渦旋。令分開渦旋的小圓圈代表表示電壓的粒子而且令電壓從左往右流動。在AB上方的渦旋gh將會形成逆秒針旋轉。我們稱逆秒針方向為正，而順秒針方向為負。假定渦旋ｋｌ仍處于靜止狀態，這么這一層上的粒子將會在gh的下方形成作用，而在上方將會靜止。假如它們皆可自由運動，它們將沿負方向旋轉，并同時從右往左聯通。所以感應電壓的方向與初始電壓AB相反?！?span style="display:none">mug物理好資源網(原物理ok網)
麥克斯韋在第二篇論文的第二部份詳盡描述了這一模型，發表在1861年4月出版的《哲學刊物》第21卷。麥克斯韋當時其實非常投入其“渦旋”理論，用了11頁短篇大論此模型。
1862年發表第二篇論文的第三部份，其標題為：“分子渦旋理論在靜電學的應用”。通過歷時七頁的剖析，麥克斯韋推導入其命題14：“為了糾正因為介質彈性對電壓的影響”（《麥克斯韋的科學論文》第496頁）。一個額外的糾正項（4πj）在安培定理中被加到與位移電壓一起。
我曾多次企圖理解麥克斯韋在此論文中所提“空間介質的彈性”的概念，但皆以失敗告終。值得一提的是“位移”的概念在第二篇論文第二部份的最后11頁中僅出現一次，并且是在無關緊要的語境中。不過此概念在第三部份前7頁頻繁出現而且成為麥克斯韋理論的核心。這兩部分發表時間相距僅8個月，雖然在這短短8個月時間里麥克斯韋找到了“渦旋”模型的新特點，因而形成了“位移”概念。
基于命題14，麥克斯韋很快預言了電磁波的存在。通過推論，麥克斯韋估算出電磁波的速率就是光速。他這么論述這一推論：“光波所含縱向介質震動是與電磁現象的形成原理相同的。”（《麥克斯韋的科學論文》第500頁，粗體為麥克斯韋本人所加?！保?span style="display:none">mug物理好資源網(原物理ok網)
有趣的是，麥克斯韋乃極為虔敬的信徒，我推測他在祈禱時其實祈禱上帝憐憫其發覺造物主創造光的秘密。
場論的誕生
麥克斯韋三篇專著的最后一篇發表于1865年，其中他總結歸納了知名的麥克斯韋多項式。其實現在麥克斯韋多項式由四個矢量多項式構成，麥克斯韋在最初的論文中用了20個多項式描述電磁現象，由于他當時把這種等式寫成份量方式，并包含了電介質和電壓多項式。
這一論文的意義遠超過電磁學本身，它同時為之后的場論發展提供了最為重要的理論基礎，即“世界上的能量存儲于場中”。麥克斯韋在其論文中寫道：
“談到場的能量，我希望讀者能清楚地理解這一概念。所有的能量和機械能都一樣，不管它以運動、彈性甚或其他的方式存在。電磁現象的能量就是機械能。惟一的問題是，這種能量存在于何處？按照舊的理論，這種能量以不為人知的勢能形式存在于帶電體中。它們可以產生電路、磁鐵等等并可形成超距作用。在我們的理論中，這些能量存在于電磁場中，而這些場存在于帶電體或帶磁極中，也存在于它們周圍空間的電磁場中。這些能量以兩種方式存在，即電極化和磁極化。假如提些很有可能創立的假定，這些能量存在的方式是以太介質運動的撓度（《麥克斯韋的科學論文》第５６４頁）?！?span style="display:none">mug物理好資源網(原物理ok網)
但是為了與當時科學主流保持一致，麥克斯韋又寫道：
“我們因而有理由相信，在光和熱的現象之中，必然有一種以太介質無處不在且可以滲透各類物體。這些介質可以運動也可以將自己的運動從一個地方傳遞到另外一個地方，但是將有序的運動以某種方式轉化為熱能。（《麥克斯韋的科學論文》第528頁）。”
麥克斯韋意識到他在前兩篇論文中提及的位移電壓的概念和光的電磁波屬性的概念是極為重要的發覺。所以他在第三篇論文再度歸納了這兩個概念的物理描述。而且此時，雖然麥克斯韋本人也意識到“渦旋”概念的不合理，所以在這篇論文中，他再也沒有企圖用“渦旋”來解釋電磁現象。因而我們可以合理地假定，在1865年，麥克斯韋早已不再覺得“渦旋”模型是一個必不可少的解釋電磁現象的概念。不過當時他一直堅持“必須存在一種以太介質，它無處不在而且可以滲透物體?！?span style="display:none">mug物理好資源網(原物理ok網)
1886年，赫茲（(Hertz，1857—1894）用實驗證明電磁波的存在，用他設計的電路成功地發射、接受到了電磁波。
在十九世紀80年代，亥賽維（，1890—1925）和赫茲分別發覺可以去除麥克斯韋多項式中的磁矢量勢Ａ。這一簡化使麥克斯韋多項式更好地詮釋電與磁的對稱之美。其實我們明天曉得，在量子熱學的框架中，不能去除磁矢量勢Ａ，因其可在阿哈羅諾夫—玻姆(-Bohm)效應中被觀測到。
二十世紀的理論進展
二十世紀場論的發展起源于愛因斯坦于1905年提出的狹義相對論。愛因斯坦從概念上革除了困惑理論化學界多年并且并不正確的“以太”，并提出電磁波本身就是一種看得見摸得著的介質。真正的真空指無實體粒子、亦無電磁場的時空。真空概念的提出解決了1887年由邁克耳遜－莫雷實驗（-）而引出的化學疑云。當時這一實驗的目的是找尋“以太”，但以失敗告終。而且，現今化學學界覺得，愛因斯坦之所以提出真空的概念并不是為了解釋邁克耳遜－莫雷實驗，而是為了正確地解釋化學中“同時性”這一基本概念。
從1930年到1932年，隨著實驗化學學家發覺質子，科學家廣泛采納狄拉克提出的“真空是由無限負能量的粒子組成”的概念，并最終演化成名為“量子電動熱學”的重要理論。20世紀30年代，量子電動熱學在低級近似估算中取得成功，但卻因為其中存在對“無窮大”的定義，致使其在中級近似估算中并不成功。
1947年—1950年，隨著一系列理論和實驗化學學的突破，量子電動熱學在被進行重整化修正后成為當時最為精確的估算粒子化學電磁性質的理論。最新的報導顯示，借助量子電動熱學估算的電子反常磁矩與實驗值的誤差只有十億分之一（(文獻[3]，QuickStudyby,Today,Dec2013,p64）。
隨著重整化技巧在量子電動熱學中的成功，以及諸多新的基本粒子的發覺，化學學界開始通過拓展場論的方式來解釋粒子之間的互相作用。其實那種時代數學界發表了大量的研究成果，但均無法推進根本性地理解粒子間的互相作用。那一時期的熱點包括，帶有矢量互相作用的標量介子理論、帶有贗矢量互相作用的贗標量介子理論等等。當時也有化學學家在場論的范疇之外企圖解釋這種互相作用，但這種努力均未形成突破性的進展。
回到場論
從20世紀70年代開始，數學學家開始重新對場論感興趣。這其中最為重要的理論當數起源于麥克斯韋多項式的“非阿貝爾”規范理論。這兒的“非阿貝爾”指的是，一個群中，不同操作發生的前后次序不能否被交換（我曾在”’son”,Today,1980p42一文中討論規范理論。假如讀者對更多的技術細節感興趣，可以參閱Today,Mar1982,p41）。迄今，規范理論被理論化學學界覺得是解釋物質結構和互相作用的根基。其現代描述可以溯源到物理家外爾（Weyl）于1918年至1919年發表的三篇論文。其中可見，外爾受到愛因斯坦對電磁場幾何性的啟發。(文獻[4])。
外爾的理論完全基于他對平行位移重要性的深刻理解。他說：“黎曼幾何的發展假如要符合于自然界的規律，這么必須基于矢量的無限小位移?！蓖鉅栠M一步考慮，假如在矢量的無限小位移中它的方向發生改變，這么為何其寬度不能發生改變？因而外爾提出了不可積的伸縮因子的概念，但是通過下邊的等式成功地與電磁場聯系上去：
多項式5
這兒Ａ是一個四維矢量勢，而系數γ為實數。外爾將伸縮因子賦于給每位帶電物體在時空中的運動。愛因斯坦批評外爾在三篇論文中的第二篇里提出的位移的厚度改變的概念。當時，外爾并不能合理回答愛因斯坦的批評。
隨著1925年—1926年的量子熱學的發展，福克（Fock）和巴黎（Fritz）分別強調在新的量子熱學體系中，傳統的(p-eA)應當被改寫成：
多項式6
與多項式5相比，eAdx/γ被ieAdx/替代，也就是說γ被-i代替。
外爾似乎接受了γ應當是虛數的概念。他于1929年發表了一篇重要論文，定義了量子電動熱學中的規范變換，而且證明在這些變換下麥克斯韋多項式在量子熱學中是不變的。
在規范變換下，外爾定義的伸縮因子可以被改寫成：
等式7
很顯著，從等式7我們可以看出，這個因子實際上是一個相位變化因子。這一改變，也讓愛因斯坦先前的批評不辯自破。
1905年—1907年，分別發覺洛倫茲不變量的愛因斯坦和明科夫斯基（）最早發覺蘊藏在麥克斯韋多項式中的高度對稱性。外爾于1929年發覺麥克斯韋多項式在規范變換下的不變性，闡明了麥克斯韋等式的另一個重要對稱性。明天，我們意識到麥克斯韋多項式中的對稱性正是當代數學學的基石。
外爾的規范變換涉及一種理論界名為U(1)的在復數空間中的幾何轉動——這一轉動與之前麥克斯韋所提出的“渦旋”的概念有驚人的相像。從物理上來說，多項式7中的相位因子產生了一個名為U(1)的李群，而李群正是外爾最為感興趣的研究方向之一。更進一步，對于這些更為專業的讀者，一種名為“纖維叢”的理論在1929年之前就早已發展成形。但是，外爾當時并沒有意識到電磁現象本身就是一種U(1)束理論，但是本該才能在1929年將它推廣成非阿貝爾規范理論。
事實上，這一推廣發生在1954年，引起這一推廣的并非物理，而是由于當時粒子化學學界不斷發覺新的粒子，所以她們急需一種理論來解釋不同粒子的互相作用。這些強烈的需求在以下一段發表于1954年的摘要中有清楚的彰顯：
“電荷是電磁場的起源。這一現象中的重要概念是規范不變量，而規范不變量與以下幾個方面相關（1）描述電磁場運動的等式，（2）電壓密度，（3）帶電的場與電磁場之間的互相作用。我們曾企圖通過擴充規范不變量的概念來解釋同位旋守恒?！?文獻[5])
這一推廣形成的非阿貝爾場論在物理上極為完美，但卻多年未能得到化學學家們的認可。這是由于，這一理論要求存在一種不具有質量但卻帶電荷的粒子。
此后為了給非阿貝爾場論中的無質量粒子賦于質量，理論化學學界于上世紀60年代引入了自發對稱破缺的概念。這一概念最終形成了一系列重要的理論突破，包括借助U(1)xSU(2)xSU(3)規范來統一弱互相作用、電磁互相作用和強互相作用的標準化模型。從1960年開始，國際理論和實驗化學學界逐漸對標準化模型進行驗證。其中最為引人注目的當屬2012年在CERN發覺的上帝粒子——“希格斯玻骰子”。有數千名化學學家參與這一實驗（Today,Sep2012,p12）。
雖然標準化模型取得了驚人的成就，但它并非最終的理論。首先，這個理論包含諸多人為添加的常數。更重要的是，其基礎——對稱破缺機制僅僅是一種唯象的概念。費米對beta衰減的“四勢互相作用”的解釋從1934年開始主導理論界達40年(文獻[6])，它最終還是被愈發深刻的基于U(1)xSU(2)規范的強電統一理論所代替。
規范自由度早在十九世紀50年代就被麥克斯韋和湯姆森所意識到。甚至可能更早法拉第已憑著自己的數學直覺注意到這一現象。最終，物理家外爾于1929年將麥克斯韋多項式中的規范自由度與量子熱學統一上去，并為現今規范化模型奠定了基礎。
麥克斯韋多項式是線性的。在非阿貝爾規范理論中，多項式是非線性的。這些非線性從概念上來說與廣義相對論中的非線性具有相同的來源。關于廣義相對論中的非線性問題，愛因斯坦曾說：
“我們僅僅考慮純引力場的物理抒發。
這種多項式的奇特點一方面在于其復雜方式，尤其是其場量和微分的非線性。另一方面，這一復雜性又是極為必要的，由于是變換群決定了場論的復雜性。（文獻7，p75）。
因而，真正的理論必然是非線性的（文獻7，p89）?！?span style="display:none">mug物理好資源網(原物理ok網)
二十世紀前半葉，物理家們完全獨立地提出了名為“纖維叢”的理論。這一理論有諸多源頭，包括卡坦（lie）的微分方式、豪泰林（）的統計學、惠特尼（）的拓撲學、陳省身的整體微分幾何、埃爾斯曼（）的聯絡理論。這么多樣的起源表明纖維叢理論是當時物理發展的核心。
在二十世紀70年代，化學學家和物理家驚愕地發覺阿貝爾和非阿貝爾規范理論均與纖維叢理論不謀而合（文獻[8])。其實，你們樂于接受這一發覺，由于它生動地展現了物理與數學的緊密聯系。這一聯系曾在二十世紀中葉，因為理論物理的不斷具象化而被短暫地中斷。
在1975年，在我的物理朋友賽列日（James）發覺纖維叢理論并非必要時，我掏出一篇狄拉克于1931年發表的討論磁單極子的論文給他看。他吃驚道：“原來狄拉克在物理家之前就發覺了平凡和不平凡的纖維叢的概念?！?span style="display:none">mug物理好資源網(原物理ok網)
最后我想以一段麥克斯韋發表于1867年對法拉第逝世的訃告來結束我們的歷史回顧。麥克斯韋寫道：
“法拉第使用假想力線的方式來解釋電磁感應，說明他實際上是一位具有高度智慧的物理家”；
“從歐幾里德的直線到法拉第的力線，這一切說明了動態和幾何的思維不斷推進科學的發展與進步”；
“以明天搜集到的科學證據為基礎，其實下一位如法拉第般偉大的哲學家能發展出全新的科學，而我們明天很可能對此一無所知”。
文獻：
1.F.A.J.L.James,ed.,Theof,Vol.1,of(1991),p.287.
2.J.,Proc..Soc.32,695(1936),p.697.
3.T.,inoftheinofthe90thofDyson,K.K.Phuaetal.,eds.,World(2014),p.148.
4.Forthisandthe,seeC.N.Yang,in,1885–1985:,K.,ed.,(1986),p.7;andA.C.T.Wu,C.N.Yang,Int.J.Mod.Phys.A21,3235(2006).
5.C.N.Yang,R.Mills,Phys.Rev.95,631(1954).
6.AnofFermi’spaperinF.L.,Am.J.Phys.36,1150(1968).
7.P.A.,ed.,:-,OpenCourt(1949).Thetwoare’snoteswhenwas67yearsold.
8.T.T.Wu,C.N.Yang,Phys.Rev.D12,3845(1975).
英語版發表于Today（2014年11月，45—51頁)，《賽先生》中文版由胡雷克薩斯（芝加哥學院理學博士，飛利浦電子北美研制中心分子影像科學家）翻譯。攝影：李曉明。——賽先生陌陌公眾號文末頂部原文閱讀可查看賽先生原文
