很多人認為量子力學難以理解，我一開始也是這么認為的。 為什么？ 可以從兩個角度來考察：
（首先，我們需要花很多篇幅講哲學，甚至數學和哲學的關系，你可能覺得這是廢話，其實不然。這是介紹“抽象”的兩種科學思維和“拓展”。它們是讓我們深入“理解”的必要條件……不過，對哲學不感興趣的朋友可以跳過前幾段，直接看下面的文字）
(一)理念
這就是愛因斯坦不懂量子力學的原因。 事實上，哲學概念是從科學事實中抽象出來的（例如，時間和空間的概念是從物質運動規律中抽象出來的）。 關鍵是哲學始終追求普遍性，從而拓展了抽象概念。 但普遍性必須存在于特殊性之中。 這就是矛盾的癥結所在。 尚不確定“高速”的特殊性是否可以通過從低速運動中抽象和擴展的概念來容納。 量子的哲學困境與相對論相似。 經典物理學（也就是相對論）不涉及物質的內部結構（我前兩天寫了一篇期刊《外在性質與內在性質》專門討論這個問題），所以從宏觀到微觀的轉變會給物質帶來革命。思維。 影響讓人感覺量子力學很難理解。 事實上，微觀世界并非沒有因果規律。 狀態演化的確定性形式和狀態測量崩潰的隨機性構成了微觀世界新的因果規律。 問題是，當哲學思想與科學事實發生沖突時，我們應該堅持哪一個呢？ 反思我們的思維過程，“抽象”沒有問題，但“擴展”有問題。 經典力學的決定論不能擴展為普遍適用。
(2) 數學
事實上，數學和哲學并不是沒有聯系的。 遺憾的是，很多人極力崇尚數學，拒絕哲學。 聯系方式在哪里？ 就是前面提到的“抽象”和“擴展”。 有多抽象？ 它并不像常人所說的“難以理解”，而是意味著概括。 例如，“一根筷子和另一根筷子放在一起”和“一只羊和另一只羊放在一起”有共同的特征，所以我們說“1+1=2”。 這是抽象。 如何拓展？ 例如，從有理數到實數再到復數； 從二維空間到三維空間再到高維空間等等。 這種“抽象”和“擴展”找到了數學和哲學之間的聯系，表明它們都在追求普遍性。
學了一點量子力學之后，為什么不免費去物理系呢？ 我是否白來物理系主要基于兩點：第一，與名校的物理系相比，在燕大這樣的爛物理系學到的知識太有限；第二，與名校的物理系相比，我在燕大這樣的爛物理系學到的知識太有限了。 第二，與高中相比，我的物理知識有多少增長。 本文重點討論后一點。
第一點和第二點有什么區別？ 這取決于知識的特性。 也就是說，量子理論與其他理論有很大不同。 其他理論無論學多少，都只是知識的積累，思維方式不會有太大改變； 然而，量子理論改變了你的思維方式。 量子力學與以前的課程有很大不同。 為什么不一樣呢？ 雖然力學與理論力學、熱與熱力學統計物理、電磁學、光學與電動力學（后者比前者深很多，尤其是比高中物理深很多）有很多區別，但畢竟我們還是可以用常規物理思維（只是對數學要求有點高）。 但當涉及到量子力學時，情況就完全不同了。 對數學的要求確實比較高，但不是言語描述方面，而是思維方面。 也就是說，上述其他理論的思想基本上都是純粹的物理思想，數學只是其語言表達； 而量子力學的物理思想是建立在數學思想的基礎上的，量子力學中的數學不僅僅是語言或者思想。 以前的物理思想可以不用數學的幫助，用日常生活的語言（中文和英文）表達清楚，看幾本科普書就可以理解； 而量子力學所體現的物理思想必須借助數學來表達清楚（我說的是真正的理解（理解，而不只是表面的味道），如果你不熟悉數學，你將無法理解即使你想讀幾門科普課程，也無法了解量子力學的內涵，如果你想真正理解量子力學的物理思想，就必須努力研究它的數學思想。
這幾天聽老師講量子力學的矩陣形式，感覺很輕松，心里暗自高興——這完全是我前段時間努力學習數學的結果——和系里的本科生一起聽高等代數數學系，和物理系研究生一起聽小組討論。
為什么高等代數和群論對量子力學如此重要？ 這是因為量子力學的基礎是空間。 偉大的數學家，無話可說。 關鍵是“空間”的概念。 什么是空間？ 很多人一提到空間，立馬想到的是笛卡爾坐標系（受過物理教育比較好的會想到空間和時間，也就是連接時間和空間。但這并沒有多大進展。為什么呢？像相對論的時空觀還不夠進步？是的。為什么？因為這樣的概念對理解量子力學有害！后面我們會講如何理解空間有利于理解量子力學）這當然是直觀的。 但很多時候，大自然就是不喜歡直覺。 量子力學就是這樣一個“叛徒”。 “上帝喜歡玩骰子”的數學表達就是上帝喜歡抽象。 所謂現象學理論，一般都是不深刻、不本質的理論。
為什么又提到“抽象”？ 當然。 不然的話，就不用寫“簡介”來鋪路了。 有多抽象？ “直角坐標系”的抽象空間與通常的幾何空間有什么區別？ 哈哈，容我再多講一點哲學（其實就是數學和哲學的聯系）。 數學始終追求普遍性。 如何實現通用性？ 這是試圖找到不同事物之間的相似之處。 如何找出？ 抽象的。 僅有“抽象”是不夠的，還必須有“擴展”，或者說抽象的目的是為了更好的擴展。
那么，如何“抽象”然后“拓展”空間呢？ 就是拋棄不相關的特征，找到本質的特征，或者保留那些有利于擴展的特征。 空間的哪些特征有利于擴展？ 你可以自己考慮一下。 為了節省網上的時間，我就更直接了：不從認識論的角度討論如何抽象獲得抽象空間，而是直接講抽象空間的特征。 給出一些特征后，與原來的三維幾何空間進行比較，你就知道哪些被舍棄了，哪些被保留了。
抽象空間是集合。 收集？ 它們與三維空間有什么共同特征？ 別急，讓我慢慢分解。 有了集合，擴展就容易多了。 您可以將空間視為定義某種操作的集合。 線性空間是定義線性運算的集合。 什么是線性運算？ 加法和乘法（嚴格來說，這兩個運算是封閉的）。 有了線性空間，就可以進一步展開。 例如，指定度量屬性-內積。 在實數域中定義內積的線性空間是歐幾里得空間。 擴展到復域，就是酉空間。 對于不同情況的內積，有不同的線性空間。 其中，內積收斂的空間（平方可以積分）就是空間。 這就是我們之前談到的量子力學的基礎。 不過我們暫且不談量子力學，先回答一下抽象空間繼承于普通三維空間的特性。 我們知道空間有一組基，空間中的任意向量都可以展開為這樣一組基的線性組合。 線性組合的系數就是這組基下的坐標。 “基地”這個概念很棒。 有了基的概念，我們就可以有維度了。 維度是基向量的數量。 這樣一來，高維甚至無限維空間就不難理解了。 一方面，“基”不一定是一組單位向量i、j、k，也可以是一組函數，只要它們是線性無關的（這是保留的特性）； 另一方面，“選擇基礎的方法有很多種，不同的方法對應不同的表示（量子力學通常分為波動力學和矩陣力學，分別針對位置表示和能量表示）。不同的表示可以轉化為彼此之間（即表示變換，說白了就是坐標變換），可以通過算子進行變換（別害怕，這并不是什么神秘的東西，只是線性變換）。
既然有很多種方法，自然要選擇最簡單的一種。 經過嘗試，我發現選擇“正交歸一化”基礎最為方便。 正交是什么意思？ 在這里，您再次看到前面介紹中的“擴展”一詞。 正交是“垂直”概念的擴展。 貴義怎么了？ 從向量的角度來說，就是將其統一化。 但這不利于擴張。 如何方便擴展？ 尋找更重要的功能。 后來我們發現用內積來定義“歸一化”更具普適性，這符合我們“追求普適性”的愿望。 事實上，“內積”更容易被視為一個積分（畢竟有一個“積”字），而不是三維幾何空間中的點積。 然而點和點乘看似相隔千里，又怎么會扯上關系呢？ 由此可見數學的力量。 我們要抽象、抽象、再抽象，抽象出不同事物的共同特征，然后進行擴展。 你沒注意到嗎？ 點乘是一種向量運算，而向量有分量形式，因此點乘的結果不是一項（三維幾何空間為三項），而是多項之和。 好了，有了這個“和”，我們就可以把它和“積”聯系起來了。 只要離散量是連續的，“和”就可以變成“積分”。 這種“求和與積分的相互轉化”比高中時三角函數的“和與差積、積與和差”要大得多。 因為它不僅是一種計算方法，更是一種思想。 想法？ 這是正確的。 數學不僅僅是語言，更是思想。 回想一下定積分最初是如何引入的，就是將整條曲線下方的面積相除，然后求和。
分割得越細，近似面積值越接近真實值。 “由近似而知精密”是微積分思維的精髓。 你應該反思一下“由近似而知精確”的數學思想在物理學中占了多大的比重。 我們總是對函數進行泰勒級數展開，然后省略高階項。 我們的“求曲線下面積”包含兩個很棒的想法。 一是“近似知其準”，二是“化和為積分”。 這兩種數學思想都對古典物理學和現代物理學產生了致命的影響。 事實上，從經典場論到量子場論的過渡采用了“求和與積分互化”的思想（哲學上體現了離散性與連續性的辯證統一）。
好吧，扯遠了，我們回過頭來看看我們剛才提到的內積。 在三維幾何空間中，將兩個向量的分量相乘，然后求和。 當擴展到抽象空間（一種集合）時，兩個向量的分量相乘，然后積分。 那么如何統一呢？ 即積分值為1，為什么一定是1呢？ 這不能簡單地看作只是一個數學問題（為了數學的一致性：展開必須保留一些原始特征），它還有物理意義。 在量子力學中量子物理學基礎課后答案，波函數被展開為特征函數的線性組合。 組合的系數就是前面提到的坐標。 系數的平方和實際上就是發現粒子的概率（波恩的統計解釋）。 概率當然是1（因為在非相對論情況下，要求粒子數量守恒。在量子場論中，允許粒子湮滅，這是另一回事）。 這與內積有什么關系？ 哈哈，不僅要注重結果，更要注重過程。 結果積分值為1，操作過程是怎樣的？ 一方面，由于要求粒子數守恒，積分至少要收斂，于是“平方可積”的概念應運而生。 這不是之前說的那個空間嗎？ 加法和乘法運算的閉集是線性空間。 在實數域中定義內積的線性空間是歐幾里得空間。 延伸到重述領域，就是酉空間。 其中，內積收斂（平方可積）為空間。 看似繞口令，實則體現了數學邏輯的嚴謹性。 另一方面，這個“系數”可以通過求本征函數和波函數的內積（即本征函數和本征函數本身的線性組合的內積）來獲得。
這里面有一些學問。 “特征函數的線性組合和特征函數本身求內積的公式”有點奇怪。 由于展開需要一組基向量，因此意味著存在多個特征函數。 那么，我們應該用哪個特征函數對這樣一個線性組合的表達式進行內積呢？ 假設它是ψ1。 顯然，這個組合的表達式還必須包含ψ1和其他特征函數ψ2。 如果1和1的內積是1，那么1和2的內積就是0。。更一般的，這里的1用m代替，2用n代替，也就是說當m和n相等時，內積為1 ，不相等時為0。這就是δ符號（克羅內克符號，過渡到連續情況下，就是狄拉克函數）。 這樣的符號很有趣。 為什么這很有趣？ 如果我們嘗試將其表示為一個矩陣，我們會發現這個矩陣除了主對角線之外的所有其他元素都是0。換句話說，“正交”意味著對角矩陣。 矩陣表示？ 感覺抽象？ 事實上，這是可視化抽象線性代數理論的最簡單方法。 “表達為矩陣”的結果很美量子物理學基礎課后答案，但是如何表達呢？ 這個轉型過程會不會很艱難？ 其實并不太難。 您不是已經熟悉向量了嗎？ 我們可以將其擴展到張量。 標量是零階張量，向量是一階張量。 自然地，我們問什么是二階張量。 它是矩陣。 高階的是“三維矩陣”。 張量這個復雜的東西應該不會陌生，因為你最熟悉的電磁場就是張量，它表示為4×4的矩陣（之所以是4×4而不是3×3是因為數學基礎電動力學的理論基礎是相對論，相對論主張時間和空間不可分割，構成統一的4維時空。
對于3維空間中的張量，它的矩陣是3×3。 例如，偏振矢量之所以不是2維而是3維就是空間各向異性造成的）。 張量本身是抽象的，用分量形式（即矩陣）表示就很容易理解。 我們的波函數也是如此。 張量使用它的分量作為一組基礎，而我們的波函數使用它的本征函數作為一組基礎。 這不是自然的嗎？ 好吧，我們再一遍一遍地討論本征函數。 到底什么是本征函數？ 為什么能夠體現“本質特征”？ 我們之前不是提到過表示和向量嗎？ 現在讓我們整合這兩件事。 在表征變換（不是深刻的，只是坐標變換）中，向量的大小和向量之間的角度保持不變。 重點是什么？ 在幾何中，兩個向量的大小相乘，然后乘以角度的余弦，就是內積！ 無論如何變換，向量的度量屬性（內積）都保持不變。 它不依賴于坐標系的選擇。 由于向量本身的屬性（比如度量屬性）并不隨著坐標系（或者更本質的是基向量）的變化而變化（實際上，對稱性也是變換中的不變性，即它符合變換后的原圖。而描述這種對稱變換的數學就是群論。哈哈，這個“不變不變”聽起來有點“拓撲”。事實上，薛定諤方程有拓撲結構，貝里曲率程然前輩比較關心的體現了這一點。不過，這在哲學上很容易理解。對稱不變性和拓撲不變性都體現了變化與不變的辯證統一），所以當然是它的相對本質特征（ ，簡稱本征費）。
什么是坐標系？ 在物理學中，它是參考系統。 當參考系改變時，物理定律不會改變。 這是自然的。 似曾相識吧？ 這就是相對論的基本原理。 等等，我們不是在談論量子力學嗎？ 我們為什么要談論它的主要競爭對手？ 事實上，相對論和量子力學之所以難以統一，并不是因為“相對論原理”。 相對論原理在任何地方都是正確的。 關鍵在于另一個基本原理（狹義上是光速不變原理；廣義上來說是等效原理）。 因此，如果微觀物體也遇到需要考慮相對論的情況，量子和相對論就不再是死敵，而是可以聯姻了。 比如一些微觀粒子可以運行得極快（接近光速），這就需要考慮狹義相對論，量子電動力學就應運而生。 至于加速系統和引力場的等價性，并不是說它與量子力學無關，只是相關性大小的問題（說得更深一點，就是“弱等價”和“強等價”）。 這個問題高手們還沒有解決，所以我們后輩不敢談。 那么，學術討論就結束了，我們來聊點閑聊吧。 我很想回到這篇文章的標題，談談為什么“這次物理系之行終究沒有白費”。
曾金言的《量子力學導論》（第二版）最后幾頁談到了教授量子力學和培養創新人才。 里面有這樣一句話：“真理總是簡單的。我相信所有的理論，無論多么困難、復雜、抽象，總有一種方法可以用簡單而深刻的方式把事情解釋清楚。做不到這一點就是往往是因為老師自己對問題的理解太膚淺了。” 這幾天聽了吳老師的量子課，沒想到竟然能聽明白。 “真理總是簡單的，無論多么困難，總有辦法理解它”，這句話讓我深受感動。 我想這一部分是因為吳宜東老師對量子力學有了更清晰的認識，另一部分是因為我前段時間參加了高級代數和群論課程。 前面一段關于線性代數理論的內容是在旁聽高級代數課程時產生的； 而開頭引言中提到的“抽象與擴展”（并貫穿全文）是群論老師自己說的（他從集合論開始，使得群的概念并不太難理解。正如提到的前面，通過集合，可以定義抽象空間。而且，子空間可以通過子集類推來理解，子空間的“直和”可以根據交集為空來定義。通過集合，我們可以擴展這個概念群。當然，展開之前需要抽象（群的定義是從“對稱變換”中抽象出來的，即對稱變換的集合）。 謹向三位老師表示特別的感謝。 另外，感謝李景陽學長建議我去數學系上課。 我還要感謝潘一文教授，他用數學理解物理的方法對我產生了深遠的影響。 值得尊敬、可愛的前輩還有很多，在此無法一一列舉。
量子力學經受了近100年的考驗，因此可以被視為真理（盡管它不是終極真理）。 道理很簡單，那么量子力學也應該是可以理解的。 那么為什么很多人不明白呢？ 正如一開始所提到的，這些人要么不理解其哲學意義，要么不理解其數學基礎。 我想之所以不理解它的哲學，是因為頭腦里殘留著太多經典物理學的成見； 之所以不理解它的數學，是因為對數學的偏見。 我用自己的親身經歷證明，量子力學的數學并沒有想象中那么難，線性代數、群論和泛函分析也一樣（雖然我還沒有真正學過后兩門課程，但基礎知識我已經了解了） ）想法和結論如何影響量子力學）。
當然，這并不意味著我學會了量子力學。 因為我只是感覺自己正在慢慢入門，很多問題我還是不知道答案。 尤其是做練習對于我來說絕對是一個超級挑戰。 學習了四大力學后，我發現即使了解了基礎知識點，也不一定能做練習。 。 。 。 。 。 雖然我只對知識本身感興趣，但是我還是要做練習。 因為我要考研。 我之所以考研，是因為我的大學學習資源太匱乏。 在燕達，像上述三位老師那樣的人才是鳳毛麟角。 而且即使有群論課程（還有量子場論課程），學時也太少，有才華的老師不可能只講32個小時。 （而在名校，如中國科學技術大學，同一門課程的學分相當于我們的5倍）。 因此，在燕大這樣的環境下，很容易產生“白來物理系”的感覺，這是一個很大的心理問題。 今天能寫出這篇日記，真是不幸中之幸。 事實上，我一直在尋找理由，讓自己在逆境中不感到自卑。 因此，這篇文章的標題是《物理系之行沒有白費》，以勉勵自己以及和我陷入同樣命運的朋友們。
最后回答一下“諸葛”朋友的問題：數學思想是如何推動物理學進步的？我查閱了物理學史，發現：1、哥白尼提出日心說，是因為他覺得數學思想托勒密地心說的描述過于復雜； 2、歐姆受到傅立葉的啟發發現了歐姆定律，而且因為德國不重視數學。 被同事排斥； 3、麥克斯韋嘗試用數學方法描述法拉第力線并建立了麥克斯韋方程組； 4. 數學分析導致??了最小作用原理的發現和分析力學的建立，分析力學是量子場論等現代物理學的基本要素。 這個想法是找到哈密頓量； 5、“對稱導致守恒定律”原理是數學家發現的。 從此，尋找對稱性成為物理學家面對未知世界的主導思想。
因此，數學不僅僅是一種描述物理定律的語言，也不僅僅是在物理定律建立后為物理定律提供更深刻的支持（如支持規范場物理思想的纖維束的數學思想、群論等）和功能分析）。 數學思想支持量子力學的物理思想，微分幾何的數學思想支持廣義相對論的物理思想等），它們也是導致物理發現的思想的先驅。
