1. 拋物線運動
拋物運動是現實生活中很常見的一種比較簡單的運動模型，比如向空中扔球、向河里扔石子等。根據投擲方向的不同，拋物線運動可分為垂直投擲運動、水平投擲運動、水平投擲運動等。投擲運動和斜投運動。
這些類型的運動有兩個共同點：
首先，物體有一個初速度。 這個初速度是通過“投擲”的動作獲得的，比如發射炮彈、跳躍運動員、彈出彈簧等。“投擲”的動作在給予物體初速度后立即消失。 也可以說，“投擲”相當于初速度。第二，物體會受到恒定的外力，其中最常見的是重力和后面將要學習的電磁力。
拋物線運動有一般的處理方法：根據牛頓第二定律，將恒定的外力轉換為恒定的加速度，將運動的合成與分解結合起來進行數學處理。 主要困難在于數學處理。
1.1 垂直投擲運動
垂直投擲運動是最簡單的拋物線運動，實際上是勻速直線運動。
垂直投擲動作可分為垂直向上投擲和垂直向下投擲兩種，從字面上看很容易理解。
垂直向上投擲是將物體垂直向上投擲，使其具有垂直向上的初速度。 在重力的作用下，物體的上升速度逐漸減小，直至達到0，此時達到最高點。 然后開始自由落體。
垂直投擲是將物體垂直向下投擲，使其具有垂直向下的加速度。 物體的速度在重力的作用下不斷增加。
垂直向上投擲的上升階段是勻減速直線運動，下降階段是勻加速直線運動。 垂直向下運動是勻加速直線運動。
處理垂直投擲運動的關鍵步驟是根據牛頓第二定律將重力的作用轉化為物體的加速度——即重力加速度。 剩下的就是二次函數的數學。 勻速直線運動在《機械運動（一）直線運動》中有詳細介紹。
1.2 平投運動
水平投擲運動是物體水平投擲的運動，物體的運動軌跡是拋物線。
在“投擲”的作用下，物體在水平方向上有一個初速度。 由于物體不受水平方向外力的影響，因此水平方向的速度保持不變。 同時，物體在垂直方向受重力影響，以勻加速運動。 物體的實際運動軌跡是一條拋物線高中物理三，下面將結合具體例子詳細介紹。
例1.2：在20米高的山坡頂上，一塊重20克的石頭被水平風吹落。 下落瞬間，水平方向的速度為15m/s。 重力加速度為 g=10N/kg ( m/s^2)。 現在讓我們研究一下這塊石頭的運動。
首先建立平面直角坐標系，以起始位置為原點，水平和垂直方向分別為x軸和y軸，向前和向上分別為正。
水平方向：石塊以勻速直線運動。 速度與時間的關系為v_{x}(t)=15（下圖左）。 任意時刻水平方向的速度為15（m/s）； 位移與時間的關系為s_{x}(t)=15t（下圖右），簡單勻速直線運動。
垂直方向：石塊做勻加速直線運動。 速度與時間的關系為v_{y}(t)=-10t（下圖左側），方向向下，符號為負； 位移與時間的關系為s_{y}(t)=- 10t^2/2=-5t^2（下圖右），相關推導在《機械運動（一）直線運動》中。
現在，基于以上兩組關系，在同一時刻，以石塊水平方向的位移為橫坐標，垂直方向的位移為縱坐標。 畫出圖形，得到石頭的實際運動軌跡。 方法如下：
步驟1：分別列出石頭在水平和垂直方向上的位移-時間關系表達式。
s_{x}(t)=15t
s_{y}(t)=-5t^2
我們現在需要做的就是將 s_{x} 和 s_{y} 代入方程以揭示它們之間的關系。 可以發現，兩個公式中有一個共同的變量t（時間）。 這個公共變量也稱為參數。 您可以使用此參數將 s_{x} 和 s_{y} 連接在一起。 這是第二步。 去做。
步驟 2：消除參數
根據s_{x}(t)=15t，可得t=s_{x}(t)/15，
根據 s_{y}(t)=-5t^2，可得 t=sqrt{s_{y}(t)/(-5)}
（注：因為s_{y}(t)leq0，根符號為非負數，時間t始終為非負數）
結合上面的方程我們得到：
s_{x}(t)/15=sqrt{s_{y}(t)/(-5)}
上式顯示了任意時刻石塊的水平位移與垂直位移之間的關系。
第 3 步：簡化
由于上式中沒有時間t，只有兩個方向的位移，我們可以簡單地將s_{y}(t)替換為y，將s_{x}(t)替換為x，即：
x/15=sqrt{y/(-5)}
y 相對于 x 的函數為：
y=-x^{2}/45
這就是平拋運動的軌跡，它是一個二次函數，如下圖所示。 因此，二次函數的圖像也稱為拋物線。
利用上面獲得的條件，可以獲得許多其他數據。
例如：山坡的高度為20m，也就是說當y=-20時，石頭就會落到地上。 根據y=-x^{2}/45，代入y=-20：-20=-x^{2}/45，得到x=30（水平位移始終為正）。 我們可以知道石頭落到地面的位置距離。 山坡水平距離為30m。 根據畢達哥拉斯定理，直線距離可計算為 sqrt{30^{2}+20^{2}}=10sqrt{13} (m)
另外，知道石頭落地時的垂直位移，根據s_{y}(t)=-5t^2，我們可以求出石頭落地時已經移動的時間，然后找出此時的水平和垂直位移。 對于各個速度，可以根據向量的加法和減法求出實際速度的大小和方向。 請獨立完成。
1.3 斜投擲運動
斜投擲運動是物體沿傾斜角度投擲的運動。 生活中常見的拋射運動大多是斜向投擲。 完全水平或垂直的拋射物在現實生活中并不像傾斜投擲那么常見。
斜投運動的特點是物體有一個傾斜的初速度，并且在垂直方向上始終受到重力的作用。 處理斜向投擲運動與處理平投擲運動類似，只是需要先將初速度分解為水平和垂直方向。 物體在水平方向做勻速直線運動，在垂直方向做勻速直線運動。 下面通過具體的例子來詳細介紹一下。
例 1.3 一個人在海灘上把貝殼扔進海里。 炮彈以與水平線成30°角以20m/s的速度斜向上拋擲。 重力加速度為10N/kg。 假設炮彈從水平高度拋出。 現在讓我們研究一下這個殼的運動。
首先，仍然建立平面間坐標系：以水平向前和垂直向上方向分別為x軸正、y軸正，以炮彈被投擲的起始位置為原點，建立平面直角坐標系。
沿水平和垂直方向分解殼的初速度：
v_{x}=20*cos(pi/6)=10sqrt{3} (米/秒)
v_{y}=20 *sin(pi/6)=10 (米/秒)
垂直方向也受重力加速度影響：a_{y}=-10m/s^2
通過模仿平投運動來分析兩個方向的運動。
水平方向：炮彈以勻速直線運動。 速度與時間的關系為v_{x}(t)=10sqrt{3}（下圖左），位移與時間的關系為s_{x}(t)=10sqrt{3 } t（下圖右）。
垂直方向：炮彈垂直向上拋擲，速度與時間的關系為v_{y}(t)=10-10t（下圖左）； 位移與時間的關系為s_{y}(t)=10t-5t^2（下圖右）。
關于炮彈的實際運動軌跡，因為s_{y}(t)=10t-5t^2，所以將t轉化為s_{y}的函數是非常麻煩的，所以不要硬性將其轉化為t=f (v_{y})= g((v_{x}) 然后求解。可以使用簡單的 s_{x}(t)=10sqrt{3}t，并得到 t=s_{x}( t)/10sqrt{3} ，然后直接代入 s_{y}(t)=10t-5t^2 得到：
s_{y}(t)=10*s_{x}(t)/10sqrt{3}-5*(s_{x}(t)/10sqrt{3})^2
即 y=sqrt{3}x/3-x^{2}/60
圖片如下：
概括
以上就是拋物線運動的主要模型。 許多運動可以參考拋物線運動來處理。
例如，一輛汽車在行駛過程中突然急剎車，如果與地面的摩擦力保持不變，那么汽車從剎車到靜止的過程類似于垂直向上運動，是一條直線運動，均勻的速度。 例如，從船上，始終保持船頭面向對岸（垂直于河流的方向），并以恒定的速度朝該方向移動過河。 船過河的過程類似于平拋運動。 例如，如果船頭沿傾斜角度以恒定動量向前移動，則其軌跡類似于斜運動。 只要物體的運動符合“具有初速度并受到恒定的外力作用”，就可以做到這一點。
更一般地，根據牛頓第二定律將力函數轉換為加速度函數，然后進行數學處理就足夠了。 主要難點集中在數學處理上。
2、勻速圓周運動
拋物線運動的軌跡雖然是一條曲線，但在實際處理中可以將其分解為兩個方向的直線運動來簡化。 勻速圓周運動和拋物線運動有非常明顯的區別。
這里我們只是簡單研究一下圓周運動的基本情況。 深入的推導和擴展將在后續章節中詳細給出。
2.1 勻速圓周運動
速度保持恒定但方向始終變化且運動軌跡為圓的運動稱為勻速圓周運動。 現實中勻速圓周運動的例子有很多，比如勻速旋轉的摩天輪、旋轉木馬、綁在繩子一端勻速拋擲的鑰匙等等。
在勻速圓周運動中，速度的大小不變，但方向始終在變化。 嚴格來說，速度一直在變化。 這與速度方向保持不變或只有兩個方向的線性運動不同：正方向和負方向。
2.2 方向：逆時針、順時針
在圓周運動中，通常將逆時針旋轉方向定義為正向，順時針旋轉方向定義為負向。 即，普通時鐘指針沿“負”方向旋轉。
2.3 尺寸：線速度和角速度
物體做勻速圓周運動的實際速度稱為線速度，表示單位時間內物體在圓周上行進的距離，單位為m/s。 勻速圓周運動的物體除了有線速度外，還有角速度。 接下來詳細介紹線速度和角速度的區別和聯系。
2.3.0 弧度
在談論角速度之前，我們需要專門談談弧度。 本章中的所有角度均以弧度為單位。
我在幾何中學過，角度將圓周分為360份，單位是度。 每部分為 1 度，圓周為 360 度。 這個單位“度”的起源有些不明，數字“360”的使用沒有任何理由，也沒有任何數學或科學依據。 弧度直接揭示了角度和長度之間的關系。 弧度是角度，但它們比角度更有用。
定義弧度：弧長等于半徑的弧，它所對的圓心角為1弧度，單位為rad，即1rad。 即從圓周上切出一條長度等于半徑的圓弧，這條圓弧對應的角度為1弧度。如下圖
如上圖所示，在單位圓的圓周上，截取一條長度等于半徑的圓弧（紅色）。 該弧對應的圓心角為一弧度：1 rad
單位：弧度單位是rad，與基本物理單位無關。 如果非要說的話，rad的單位是“1”（數字“一”），因為弧度代表弧長與半徑的比值。 弧長的標準單位是米，半徑的標準單位也是米。 兩者相比，m/m=1。
根據pi，我們可以知道，對于任何圓，它的周長與直徑的比值都是一個常數值，大約為3…，稱為pi，用π表示。 這種定量關系表示為C=πd或C=2πr。 C 是周長，d 是直徑，r 是半徑。
由于整個圓的周長為C=2πr，因此可以將其視為首尾相連的長度為r的2π弧。 每段對應的角度為1rad，所以整個圓周角度為2πrad。 對于半徑為 r 的圓，每個大小為 a rad 的角對應于弧長 ar。
如上圖所示，六個彩色圓弧的長度均為r，黑色圓弧的長度為(2π-6)，它們共同構成了一個圓。
角度與弧度的關系：
360°=2πrad，即a°大小的角換算成弧度為：a°/360°=(xrad)/(2πrad)，x=πa/180。 反之則類似。
用弧度代替角度最大的方便在于可以直接看出長度和角度的關系。 然而，由于角度使用時間長且學得早，一開始很難習慣使用弧度。 盡可能使用曲率。 一旦你熟悉了它，你就會清楚地感受到它的優點。
2.3.1 返回角速度
角度表示物體單位時間內旋轉的弧度，單位為rad/s。 它與線速度類似，但將距離（m）替換為弧度（rad）。
2.3.2 線速度與角速度的關系
根據弧度的定義（弧長與半徑的對應關系），可得：對于沿半徑為r的圓做勻速圓周運動的物體，其角速度ωrad/s和線速度vm/s有定量關系 ω=v /r
很容易理解：單位時間內，物體沿圓周所走的距離為am，即這條弧線的長度為am。 長度am對應的弧度為a/r rad。 單位時間內，物體旋轉的弧度為ω，所以ω=a/r。 物理量的單位也一致。
2.3.3 相同角速度不同線速度示例
對于具有共同旋轉軸、相同中心、不同半徑的兩個物體，比如下圖中一大一小兩個齒輪，它們的角速度相同，即完成所需的時間一場革命是一樣的。 但線速度不同。 根據定量關系a=ωr可知，半徑越大，線速度越大。 他們同時完成一個圓圈，但大圓圈的總距離較長，小圓圈的總距離較短。
舉個生活中的例子，跑步時，如果一個同學跑內圈，另一個同學跑外圈，兩個學生以固定的角速度將一根桿子的兩端握在一起，則該學生跑在外圈。外圈會比內圈的同學跑得快。 只要跑得更快就可以了。
如上圖所示，當共享旋轉軸時，紅色小滾輪和藍色大滾輪具有相同的角速度，并且同時旋轉共同的角度α。 由于大滾輪的半徑較大，小滾輪的半徑較小，因此單位時間內大齒輪轉動了αR的距離，小滾輪轉動了αr的距離。 兩者的線速度與半徑有關。
2.3.4 線速度相同但角速度不同的示例
對于兩個利用皮帶、聯動齒輪等連接圓周上某些點或固定一個位置作為接觸點的旋轉物體，如下圖傳動帶兩端的大小兩個滾輪，由于為了保證傳動帶的固定效果，傳動帶上任意位置的線速度都是相同的，從而導致兩端的兩個滾筒也具有相同的線速度。 但由于兩個滾輪的半徑不同，根據ω=a/r，可以看出，較大滾輪的角速度小于較小滾輪的角速度。
我們還使用跑步距離。 對于相同速度的學生來說，完成200m一圈比完成400m一圈所需的時間要少。
如上圖所示，一大一小兩個滾筒被一條黑色的固定傳送帶捆綁連接。 輸送帶上各處的速度相同，因此兩個滾筒的線速度也相同。
2.3.5 自行車就是兩者的一個很好的例子。
腳踏板與內部的滾輪共用同一軸線，且具有相同的角速度，即腳踏板每踩一次，內部的滾輪就會轉動一圈。 自行車的滾輪和后輪通過鏈條固定，兩者具有相同的線速度。 自行車的前輪和后輪都在地面上行駛，具有相同的線速度。 它們滾動的距離必須相同，否則如果前后速度不一致，自行車就會散架。 在前后輪尺寸差異較大的自行車上看起來會更明顯。 小輪胎轉了好幾圈，大輪胎卻連一圈都沒有轉完。
2.4 向心力
物體做圓周運動需要向心力。 向心力根據力的作用而得名。 它可以是重力，例如地球繞太陽旋轉（近似圓周運動）。 也可以是繩子的拉力，比如用繩子系住一個球，然后把它扔出去。
對于做勻速圓周運動的物體來說，向心力的大小不發生變化，但方向始終在變化。 它垂直于速度方向并沿著物體指向圓心。
向心力的計算公式為：F=mv^2/r，m為運動物體的質量，單位為kg； v為運動線速度，單位為m/s； r為運動半徑，單位為m。
向心力也可以用角速度來表示。 根據 ω= v/r，可得： F=m(ωr)^2/ r=mω^2 r，ω 為角速度，單位為 rad/s。
現實生活中常見的勻速圓周運動，比如勻速拋繩子時，手對繩子的拉力是這樣變化的。 但實際上，這是在手的控制下，刻意讓繩子做勻速圓周運動。 有一種“為了創造均勻的速度”。 圓周運動刻意營造向心力的感覺。 這與汽車制動、自由落體等運動中“客觀存在的力迫使物體做勻速加減速運動”的感覺不同。 那么是否存在某種客觀的力迫使物體做勻速圓周運動，而不是故意產生向心力以維持勻速圓周運動呢？
是的，但是離現實生活還有一定的距離。 例如，地球繞太陽轉，月球繞地球轉，人造衛星繞地球轉。 它們都可以近似地視為使地球、月球和衛星作勻速圓周運動的萬有引力。 另外，正如稍后您將了解電磁學一樣，在一些常見情況下，電磁力也會迫使帶電物體做勻速圓周運動。
2.5 向心加速度
在向心力的作用下，物體產生向心加速度。 使用牛頓第二定律很容易找到向心加速度的大小：
a=F/m=(mv^2/r) /m=v^2/r 或 a=F/m=(mω^2 r)/m=ω^2 r
向心加速度雖然稱為“加速度”，但其作用并不是增加物體的速度，而是改變物體的運動方向。 不要被名字誤導。
2.6 向心力的變化
高中物理主要考察勻速圓周運動。 向心力的大小是恒定的。 向心力大小的突然變化通常只需要定量地考慮。
根據具體情況，當做勻速圓周運動的物體受到向心力突然變化時。 需要分解考慮新的力的作用：分解為沿運動方向的方向和朝向圓心的方向：沿運動方向是否存在改變物理速度大小的力？ 指向圓心的力大于還是小于保持勻速圓周運動所需的力？ 如果它大，物體就會靠近圓心，如果它小，它就會遠離圓心。
向心力和向心加速度的推導將在后續章節詳細解釋。
3、單擺
擺錘將在后面的機械振動章節中詳細解釋。 這里我們簡單介紹一下基本情況。
將一根失重的繩子（或直桿）的一端固定，使繩子可以沿著這個固定點自由地前后擺動。 將一個有質量的重物綁在繩子的另一端。 在保持繩子自然伸展的同時，將重物推到不太高的高度，然后突然松開。 帶有重物的繩子開始來回擺動。 這種模型稱為擺。 真正的秋千非常接近鐘擺。如下圖
擺模型有幾個關鍵點：繩子或桿子沒有質量，末端的物體有重量，繩子或桿子可以沿固定點（某一方向）自由擺動，以及擺錘的角度。升力不大（θ通常不大于10°），整個系統無摩擦和阻力，擺動范圍也不會太大。
擺錘作周期性運動，有固定的周期T，每次經過整數個周期T后，就會恢復到原來的運動狀態。 也可以說，當時間間隔為整數個周期時，擺的運動狀態是相同的。 循環時間是從一種運動狀態到該運動狀態再次出現的最小間隔。 例如，從一個最高點擺動到另一個最高點高中物理三，然后再返回。 或者從最低點擺動到最高點，然后到另一個最高點，然后回到最低點。
單擺并不是高中的重要科目。 你只需要記住它的周期公式就可以了。 這個公式的推導是大學里的內容，不需要掌握。 單擺的周期公式為：
T=2 pisqrt{l/g}
從公式中可以看出，擺的周期與其長度有關，與擺動物體的質量無關，與升力的最大高度無關（在小范圍的角度內） ）。
