說(shuō)到橢圓，就必須說(shuō)到天體的運(yùn)動(dòng)。 在高中物理中，涉及橢圓的開(kāi)普勒三定律實(shí)際上非常困難。 這句話我好像在哪里說(shuō)過(guò)過(guò)！
今天主要和朋友們分享一個(gè)利用橢圓的定義來(lái)解決物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法。
橢圓定義為平面上一點(diǎn)到兩個(gè)固定點(diǎn)的距離之和等于固定值的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓。 兩個(gè)固定點(diǎn)是焦點(diǎn)高中物理天體，距離之和是長(zhǎng)軸2a。
這是高中數(shù)學(xué)中橢圓的定義，也是橢圓的第一個(gè)定義。
開(kāi)普勒第一定律是行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道是橢圓，太陽(yáng)位于橢圓的焦點(diǎn)。 當(dāng)然，它也適用于繞行星運(yùn)行的衛(wèi)星。 那么，我們來(lái)看一個(gè)問(wèn)題。
示例：假設(shè)一枚導(dǎo)彈從地球赤道發(fā)射并擊中北極。 求導(dǎo)彈的最小發(fā)射速度。 已知萬(wàn)有引力常數(shù)為G，地球半徑為R。不考慮地球自轉(zhuǎn)和空氣阻力。
解：先畫個(gè)圖高中物理天體，如下圖所示，軌跡是橢圓。
根據(jù)機(jī)械能守恒定律，導(dǎo)彈的機(jī)械能為：
E=-frac{GMm}{2a} ,
其中a是橢圓軌道的半長(zhǎng)軸。
上述公式的推導(dǎo)有兩種方法：
1. 使用圓形軌道類比。
2.直接用橢圓軌道推導(dǎo)。 詳細(xì)內(nèi)容參見(jiàn)《原野：橢圓軌道相關(guān)計(jì)算雜談》和《原野：用橢圓軌道證明開(kāi)普勒第三定律》中的相關(guān)介紹。
因此，假設(shè)導(dǎo)彈的初速度為v_0，則：
由E=E_k+E_p可知，
-frac{GMm}{2a}=frac{1}{2}mv_0^2-frac{GMm}{R} ,
通過(guò)移動(dòng)條款，我們得到，
frac{1}{2}mv_0^2=frac{GMm}{R}-frac{GMm}{2a} (1)
因此，最小化軌跡的半長(zhǎng)軸a就足夠了。
如下圖所示，根據(jù)橢圓的定義，橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和就是長(zhǎng)軸2a。 其中一個(gè)焦點(diǎn)是地球中心O。已知我們現(xiàn)在需要找到另一個(gè)焦點(diǎn)，使得“橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和最小”英語(yǔ)作文，顯然可以是由簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)幾何關(guān)系可知，如下圖所示，垂直找到另一個(gè)焦點(diǎn)C。
所以我們得到， 2a=R+frac{sqrt2}{2}R (2)
聯(lián)立式（1）和式（2）可得：
v_0=sqrt{frac{2GM}{R}(sqrt2-1)} 。
好吧，就是這樣！
哎呀，我最近好像有點(diǎn)不開(kāi)心啊！ 我怎樣才能讓自己快樂(lè)？
朋友們，我們下次再見(jiàn)！