應用數學知識解題六化
高中數學教學中，常會出現應用數學題，令有些朋友無所適從，倘若能在求解時加以辨識、轉化實際問題為數學問題，就不難解了，以下是常用的幾種途徑。一、對照轉換，實際問題規范化如圖所示，甲、乙兩個容器等重，底面積相同，內裝有同一深度的水，水平放置在桌面上，①比較甲、乙兩容器頂部遭到的壓力和浮力的大小；②比較甲、乙兩容器對桌面的壓力和浮力的大??；
甲乙
這是一道有關容器頂部壓力和浮力的習題。由于容器底有兩個面，上表面和液體接觸，所以是液體的壓力和浮力問題；下表面和桌面接觸，所以是固體的壓力和浮力問題。解答這種問題，要反復用到公式P=F/S和P=ρgh。這么在比較其壓力和浮力時，其思路怎樣呢？從液體浮力公式P=ρgh可以看出，液體的浮力只跟液體的密度有關，跟液重無關，再由F=PS=ρghs可知物理中的升華和凝華的概念，液體對容器頂部的壓力也跟液重無關，所以比較液體對容器頂部的壓力和浮力時，不管容器的形狀怎樣，通常應先由公式P=ρgh比較出液體對容器頂部的浮力，之后由公式F=PS比較其壓力。容器連同它所盛的液體都支承在椅子上，對椅子的壓力就等于它們的總重，而浮力則是單位面積上遭到的壓力。因而要比較容器對桌面的壓力和浮力，應該比較它們對支承物的壓力，之后再由公式P=F/S比較其浮力。弄清這種問題的思路，問題也就迎刃而解了。二、抓住本質，研究對象模型化如圖，一重為500牛，直徑為0.5米的車輪F置于高為30分米的臺階旁，車輪與臺階接觸A處是粗糙的。要想將車輪剛能開始向臺階上O滾，所用的最小力應為多少？作用在何處？方向怎樣？G剖析：本題中隱蔽條件有：1車輪與臺階接觸處是粗糙的；2車輪剛能開始向臺階上滾即已知“地面對車輪的支持力為零”；3對車輪施以最小的力即已知所施力的力臂最長；至此，已知條件皆已明晰，按照杠桿的平衡條件不難求解。
解：按照以上剖析，如圖所示，力作用于A點，且力的方向垂直于AO其大小可依照杠桿平衡條件得：F.2R=G.LL=R=0.5G=500牛，h=0.3米代人得：F=229牛再例如有諸如下：電熱器淋浴器分為儲水式和無水箱式兩種。儲水式淋浴器要用較長時間把水箱中的水加熱，待溫度達到要求后用水箱中的冷水淋浴。無水箱式淋浴器使熱水流過電熱器就達到要求的體溫而立刻從噴嘴流出供淋浴。已知熱水的氣溫為16℃，淋浴所需的冷水水溫為38℃，淋浴所需冷水流量為4×10-3米3/分，水的比熱是4.2×103焦耳/（千克.℃），家庭電路容許通過的最大電壓為5A。請你借助以上數據通過估算說明家庭中不宜使用無水箱式電熱淋浴器。剖析：本題是熱電綜合題，從題給條件可知，每秒鐘所需冷水的容積和每秒鐘所需冷水的質量，因而求知每秒鐘將水加熱所需的熱量。從題目看，為說明家庭中不宜使用無水箱式電熱淋浴器，可以從電壓考慮，看實際電壓是否超過容許通過的最大電壓5A。此題就弄成“要使流量為4×10-3米3/分的水從16℃升高到38℃，所需的家庭電路的電壓是多少？”解：每秒鐘所需加熱的水的質量m=ρV=1.0×103千克/米3×(4×10-3×1/60)米3=6.67×10-2千克每秒鐘將水從16℃加熱到38℃所需的熱量Q=cm(t-t0)=4.2×103×6.67×10-2×(38-16)焦=6163焦由于P=UI所以I=P/U=Q/Ut=6163/220A=28A＞＞5A∴家庭不宜使用無水箱式電熱淋浴器。
三、細致剖析，模糊目標清晰化例1煮飯至沸騰時，壺口的“白汽”是（）A)水蒸汽B)水汽C)小水珠D)水蒸汽和水的混和物剖析：初中中學生常選水蒸汽，但正確答案卻是小水珠。由于水蒸汽是一種無色無味的看不見的二氧化碳，而壺口的白汽是看得見的，它是水蒸汽遇冷液化而成的小水珠飄浮在空中。例2離開槍口的炮彈遭到（）力的作用。（空氣阻力忽視不計）A)只有重力B)有重力和推力C)有慣性D)不受力剖析：中學生常常選B，也有的選C，但正確答案是A；由于炮彈離開槍口后已不遭到手對它的力的作用。它之所以能運動是由于炮彈具有慣性，在空中它將編曲線運動，由于重力的影響。例3有一個銅坯料，在它澆鑄時所用的實心木模是12千克，木模的密度是0.6×103千克/米3。稱出這個坯料的質量是175千克，按照這種數據判定這個銅坯料有沒有氣孔？剖析：本題待求的問題是“判斷銅坯料有沒有氣孔？”正確理解關鍵詞句“有無氣孔”是解題的關鍵所在。認真剖析，不難發覺本題實際上是判定銅坯料是否實心的問題。歸根究竟是比較此坯料的密度與銅的密度大小的問題。若此坯料密度值恰為銅的密度，則實心，無氣孔。若大于銅的密度，則說明此坯料必有氣孔。
解：銅坯料的容積即為木模的容積：V=V木=m/V=12/0.6×103=0.02(米3)則銅坯料的密度：ρ=m/V=175/0.02=8.75×103（千克/米3）因ρ銅=8.9×103（千克/米3）故說明此坯料有氣孔。四、認真辨識，題設條件明朗化冰裹著物體，懸浮在海面上，當冰完全凝固以后，湖面是上升，增長還是不變？這種題目多次在中學物體大賽題中出現，粗看上去比較難解，似有無從人手的覺得。是否真的無從人手，找不到判別方式呢？可通過以下例題來說明問題：例1海面下浮有一大塊0℃的冰，冰中包有一實心的鐵塊，當冰全部溶化以后，關于液面升降的'正確判定是：A)增長B)不變C)上升D)難以判定剖析：由于壓強的大小等于物體排開液體的重力，所以判定液面的升降我們可以從包有石塊的冰溶化過程中，壓強大小變化去考慮；假如壓強減小，則排開液體的容積減小，即液面上升；假如壓強降低，則排開液體的容積增大，液面增長；假如壓強不變，則排開液體容積不變，液面高度就不變。而總的壓強又可分為兩部份：冰和其中包的物體在冰溶化前后受的壓強。因為冰全部溶化為水后的容積不影響海面的高低，只要看冰中所包含的物體，在冰溶化前后所受壓強是否變化，就很容易找到問題的答案。
上題中的石塊在冰中時，壓強等于它的重力，而冰溶化后石塊墜入容器的底，這時它所受的壓強大于重力。也就是它所受的壓強降低，造成總的壓強降低，因而排開的水的容積增大，湖面增長。答案應為A。由此可見，解這類題的鎖匙是考察壓強的變化。五、尋找聯系，實際問題物理化例1：請選出其中“熱”指的是“內能”的反例：A)明天天氣很熱；B)熱運動；C)熱傳遞；D)磨擦生熱；中學數學中提及“熱”字的地方好多，并且“熱”在不同的地方它的涵義是不同的。常見的有三種情況：一是指氣溫，氣溫是表示物體冷熱程度的化學量?！敖裉焯鞖夂軣帷?；“物體的熱膨脹”；“熱得燙手”；“熱運動”都指的是氣溫；二是指熱量；熱量是在熱傳遞過程中的一個數學量，它的實質是在熱傳遞過程中能量轉移的數目。如“煤燃燒放出熱”；“銅是熱的良導體”；“熱傳遞”；“冰放熱會凝固”中的“熱”指的都是“熱量”。三是指內能，它與分子的運動有關。“摩擦生熱”；“消耗熱可以作功”“熱機”中的“熱”指的是“內能”；所以本題的正確答案是D。例2：在下邊列出的現象中，屬于升華現象的是：A)秋天，冰淇淋周圍冒“白氣”；B)嚴寒的夏季，玻璃窗上結冰花；C)萘制的衛生球日久變??；D)秋天物理中的升華和凝華的概念，木盆外壁“出汗”；剖析：本題中的“冒白氣”`“出汗”`“結冰花”等都是生活語言，必須把它跟“蒸發”`“液化”`“凝華”`“凝固”等化學概念聯系上去。
冒“白氣”實質上是冰淇淋周圍空氣中的水蒸汽遇冷“液化”成小水滴；玻璃上結冰是室外空氣中含的體溫較高的水蒸汽遇冷弄成固態的冰花，屬“凝華”現象；而木盆“出汗”是“液化”現象；只有衛生球日久變小是“物質從固態直接弄成氣態”，屬升華現象，故正確答案是C。六、加強基礎，克服思維定勢化例1:有仍然線行駛的車輛（列車或客輪），做一小實驗，讓手中的小球下落，這么小球會落在A）A處B）B處C）C處CABD）未能判定中學生受思維定勢影響，盲目運用過去的解題經驗，導致選A的錯解。若選A，需存在一前提，即車輛作勻速直線運動，此時，物體因為慣性，要保持原先的運動狀態，物體在空中僅受重力作用，（空氣阻力忽視不計）。如無此條件，車輛可作加速直線運動、勻速直線運動、減速直線運動，對應的答案分別是B、A、C。所以本題答案是D。再如有以下選擇題：使用機械效率高的機械一定（）A)省力B)省功C)省距離D)省時間對這道題，中學生因為受功的原理中“不省功”的影響，選擇了除B以外的其他答案。雖然，正確答案恰恰是B?，F剖析如下：從機械效率的公式η=W有用/W總,可得W總=W有用/η。在使用不同的機械對物體作功時，由不省有用功（即做同樣多的有用功）可知，η高的機械所需的總功（即人們對機械做的功），比η低的機械要多些，即省些。可見，該題備選答案中的“省功”指的是省總功。其實，解答好化學題，不僅要有適當的方式外，還應注意挖掘題中的蘊涵條件；正確判定問題所處的知識范疇；并擅于將題中的日常語言轉化為化學語言；即要擅于捉住問題的本質。
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