量子算法與量子估算實(shí)驗(yàn)-化學(xué)學(xué)論文論文關(guān)鍵詞:量子算法量子估算量子比特糾纏論文摘要:本文介紹了量子估算糾纏和量子比特的基本概念,系統(tǒng)論述了幾種主要的量子算法:Shor算法———大數(shù)質(zhì)因子分解的量子算法;搜索———無(wú)序數(shù)據(jù)庫(kù)的搜索;Hogg搜索———高度結(jié)構(gòu)化搜索。在對(duì)量子估算基本理論和量子算法有一定認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步介紹了在量子估算實(shí)驗(yàn)方面起重要作用的二種體系:核磁共振、腔與原子體系。編輯。:,,,.,-,-,-earch.2rithm,,2.:量子估算是量子化學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)交匯而生的一門(mén)新興學(xué)科。
它的出現(xiàn)實(shí)質(zhì)上是量子化學(xué)學(xué)向物質(zhì)、能量和信息這三大領(lǐng)地的最后一塊信息領(lǐng)域的挺進(jìn)。一、量子估算的基本理論1、糾纏1935年,首先給出了糾纏態(tài)的定義:由空間分離的兩個(gè)子系統(tǒng)構(gòu)成的純態(tài),假若系統(tǒng)波函數(shù)不能分解為兩個(gè)子系統(tǒng)波函數(shù)的乘積,這么這樣的波函數(shù)表示的態(tài)叫做兩個(gè)粒子的糾纏量子態(tài)。1935年,,和Rosen首先討論了一個(gè)具體的兩粒子糾纏量子態(tài)。在這個(gè)知名的實(shí)驗(yàn)中,兩粒子的糾纏量子態(tài)為:|Ψ〉=?a,bδ(a+b-c0)|a|b〉其中a,b分別為粒子1和粒子2的位置或動(dòng)量,C0為常數(shù)。這個(gè)糾纏態(tài)的一個(gè)最顯著的特點(diǎn)是:其中任何一個(gè)子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)量的觀測(cè)值(位置或動(dòng)量)都是不確定的。并且,倘若其中的一個(gè)子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)量的觀測(cè)值處于一個(gè)確定的值,這么我們就可以確定另外一個(gè)子系統(tǒng)的相應(yīng)化學(xué)量觀測(cè)值。2、量子比特量子比特有微觀體系表征,如原子、核載流子或光子等。|1>和|0>可以由原子的兩個(gè)基態(tài)來(lái)表示,也可以由核載流子或光子的不同極化方向來(lái)表征。與精典比特明顯不同的是,量子比特|1>和|0>之間存在著許多中間態(tài),即|1>和|0>的不同迭加態(tài),比如12(|0>+|1>)表示一個(gè)兩子比特同時(shí)儲(chǔ)存著0和1。
因而,對(duì)于位數(shù)相同的n個(gè)比特,量子比特可以儲(chǔ)存2n倍的精典比特所能儲(chǔ)存的信息。對(duì)于兩個(gè)量子比特的體系,其完備基由四個(gè)布爾態(tài)|00>、|01>、|10>和|11>組成。考慮它們之間的迭加,我們可以發(fā)覺(jué),|10>+|11>=|1>(|0>+|1>),這是由兩個(gè)量子比特構(gòu)成的直積空間。而|11>+|00>或|01>+|10>則不能再寫(xiě)成直積方式。前面這些情況就是上面提及的糾纏。對(duì)于一個(gè)處于糾纏狀態(tài)的體系,我們不能準(zhǔn)確地強(qiáng)調(diào)其中某一個(gè)量子比特是處于|1>還是|0>。更通常的糾纏態(tài)是處于2n個(gè)布爾態(tài)的n個(gè)精典比特組成的迭加態(tài)。|Ψ〉=?11?1x=00?0Cx|x〉其中Cx可以是復(fù)數(shù)而且滿足?x|Cx|2=1。當(dāng)Cx=12n時(shí),稱為等幅迭加態(tài)。這些等幅迭加態(tài)在以下要介紹的各量子算法中常常被用作初態(tài)。從上式也能看出,|Ψ>是一個(gè)2n維的空間中的一個(gè)單位矢量。它所在空間的維數(shù)是隨n呈指數(shù)型下降,這顯著區(qū)別于精典體系中隨n呈線性下降的態(tài)空間。在一個(gè)孤立的量子體系中量子物理學(xué)下載,對(duì)態(tài)的操作應(yīng)是幺正的、可逆的。因而,我們構(gòu)造的量子邏輯門(mén)也應(yīng)滿足這個(gè)特點(diǎn)。二、量子算法1、Shor算法———大數(shù)質(zhì)因子分解的量子算法用精典計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行大數(shù)質(zhì)因子分解,隨著N的減小,所需比特?cái)?shù)(即顯存)是呈指數(shù)倍的下降。
根據(jù)組合物理理論,當(dāng)估算規(guī)模隨著問(wèn)題的難度呈方程型下降時(shí),該問(wèn)題為P()問(wèn)題。對(duì)于P問(wèn)題,我們?cè)谟邢薜臅r(shí)間內(nèi)總能找到辦法求得它的解。對(duì)于我們?cè)谟邢薜臅r(shí)間內(nèi)不可能找到辦法求得解的問(wèn)題稱之為NP(Non-)問(wèn)題。目前世界上應(yīng)用最廣也是最成功的加密方式-公開(kāi)秘鑰RSA系統(tǒng)的核心思想就是借助大數(shù)在有限時(shí)間內(nèi)不可有效質(zhì)因子化這一推論。1995年,P.W.Shor提出一種量子算法,能將這一知名的NP問(wèn)題化為P問(wèn)題,矛頭直指RSA方式,因而在全球掀起了量子估算的研究熱浪。在Shor算法中,找尋一個(gè)大數(shù)的質(zhì)因子問(wèn)題被轉(zhuǎn)化為找尋其余因子函數(shù)的周期。只要該周期被找到,但是為一個(gè)質(zhì)數(shù),這么借助剩余定律,能夠得到該大數(shù)的質(zhì)因子。給定整數(shù)N,選定一個(gè)與N互質(zhì)的數(shù)a(a不難看出,fa,N(x)的變化是有規(guī)律的,其變化周期為r=4。曉得了這個(gè)周期,就可以借助兒子定律:設(shè)A=ar/2+1,B=ar/2-1,其中r必須為奇數(shù),且ar/2mod(N)?1。求出A、B以后,再分別求A、N和B、N的最大公素?cái)?shù)(gcd)。設(shè)C=gcd(A,N),D=gcd(B,N)這么一定有C×D=N,即N被成功地質(zhì)因子化。
Shor算法的關(guān)鍵在于求出大數(shù)N的余因子函數(shù)的周期r。不過(guò),因?yàn)橛嘁蜃雍瘮?shù)的周期r不能在量子估算中被有效測(cè)出,因而在Shor算法中需利用量子離散傅立葉變換,將余因子函數(shù)的周期換成另一個(gè)可測(cè)的周期。2、搜索:無(wú)序數(shù)據(jù)庫(kù)的搜索提出了一種算法:借助量子態(tài)的糾纏特點(diǎn)和量子并行估算原理,可以用最多n步的搜索找尋到所需項(xiàng)。算法的思想極為簡(jiǎn)單,可用一句話“振幅平均后翻轉(zhuǎn)”來(lái)概括。具體說(shuō)來(lái)是以下幾個(gè)基本步驟:?初態(tài)的制備。運(yùn)用守門(mén)員處于態(tài)|0>和|1>的各量子比特轉(zhuǎn)化為等幅迭加態(tài)。?設(shè)數(shù)據(jù)庫(kù)為T(mén)[1,2,,N]共,n項(xiàng)。設(shè)其中滿足我們要求的那一項(xiàng)標(biāo)記為A。于是在T中搜索A類似于求解一個(gè)單調(diào)函數(shù)的根。運(yùn)用量子并行估算可以將A所在態(tài)的相位旋轉(zhuǎn)180?,其余各態(tài)保持不變。即當(dāng)T[i]=A時(shí),降低一個(gè)相位eiπ。?相對(duì)各態(tài)的振幅的平均值作翻轉(zhuǎn)。這一操作由幺正矩陣k1,k2?knD完成,其表達(dá)式為Dij=2/N,Dij=-1+2/N。?以上??兩步可以反復(fù)進(jìn)行,每進(jìn)行一次,稱為一次搜索。可以證明,最多只需搜索N次,便能以小于0.5的機(jī)率找到我們要找的數(shù)據(jù)項(xiàng)。
算法提出以后,導(dǎo)致了眾人極大的興趣。算法中的翻轉(zhuǎn)方式除了被證明是最優(yōu)化的搜索方法量子物理學(xué)下載,并且也是抗干擾能力極強(qiáng)的方式。3、Hogg搜索:高度結(jié)構(gòu)化搜索上面介紹過(guò)的NP問(wèn)題中有一類名為可滿足性問(wèn)題(m,簡(jiǎn)稱SAT問(wèn)題)。一個(gè)典型的SAT問(wèn)題是包括有n個(gè)變量的一個(gè)邏輯公式,要求給與其中每位變量一個(gè)形參使邏輯公式為真。物理上已證明,解決SAT問(wèn)題的代價(jià)是隨著變量數(shù)的降低而呈指數(shù)型下降。但是對(duì)于個(gè)別簡(jiǎn)單的情況,人們可以借助問(wèn)題中具有的規(guī)則結(jié)構(gòu)來(lái)迅速確切地搜索出問(wèn)題的解。比如對(duì)于1-SAT問(wèn)題,用精典試探法進(jìn)行搜索,找出解的代價(jià)為最多需用n步。對(duì)于量子估算而言,因?yàn)槟苓M(jìn)行量子并行估算,因此可以僅以一步的代價(jià)找出1-SAT問(wèn)題的解。下邊以有m個(gè)邏輯謂詞的1-SAT問(wèn)題為例。與搜索相像,我們先在n個(gè)量子比特上制備一個(gè)等幅迭加態(tài)作為初始態(tài),即|Ψ〉=2-n/2?n-1s=0|S〉。另外,我們需設(shè)計(jì)好兩種幺正操作R和U,其中R為對(duì)角矩陣,其歸一化對(duì)角元為Rss=2cos[(2c-1)π/4]m=質(zhì)數(shù)icm=質(zhì)數(shù)。(3.3.1)式中的c(0(3.3.2)其中d稱為距離,d=d(r,s)=|r|+|s|-2|r?s|,其中|r|和|s|分別表示r字節(jié)串和s字節(jié)串中富含比特為1的個(gè)數(shù)。
|r?s|表示r和s中共同富含比特為1的個(gè)數(shù)。對(duì)于以上1-SAT問(wèn)題,其實(shí)有m個(gè)變量是約束的,而剩余的n-m個(gè)非約束的變量則對(duì)應(yīng)于2n-m個(gè)解。對(duì)于1-SAT問(wèn)題,用Hogg算法能決定性地一步找到解。假如通過(guò)一步邏輯操作難以明晰地發(fā)覺(jué)解,則意味著該問(wèn)題無(wú)解。不難看出,Hogg搜索的效率遠(yuǎn)低于上節(jié)介紹的搜索。這兩種搜索的差異在于,Hogg搜索借助了數(shù)據(jù)庫(kù)的結(jié)構(gòu)信息,從而能將一個(gè)NP問(wèn)題轉(zhuǎn)化為P問(wèn)題。而算法解決不了NP問(wèn)題,它相對(duì)于精典搜索只是增強(qiáng)了搜索效率。Hogg搜索的另一個(gè)優(yōu)勢(shì)在于具有強(qiáng)的抗消相干能力。因?yàn)樗倪壿嫴綌?shù)少,因此消相干效應(yīng)對(duì)其影響十分小。三、量子估算實(shí)驗(yàn)與量子估算理論方面的急速進(jìn)展相比,量子估算的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展則要慢得多。本章主要介紹二種體系:核磁共振和腔與原子體系。1、核磁共振(NMR)核磁共振技術(shù)是目前在量子估算領(lǐng)域使用最為頻繁的實(shí)驗(yàn)手段。運(yùn)用這一技術(shù)手段,操作作用在1023數(shù)目級(jí)的分子系綜的載流子態(tài)上,通過(guò)檢測(cè),得到這種分子的平均載流子態(tài)。其實(shí)每位分子的載流子都可能不盡相同,但通過(guò)spin-e2cho技術(shù)可以按我們的意愿改變某些分子的載流子方向。
因?yàn)楹舜殴舱耋w系實(shí)質(zhì)上是一個(gè)宏觀系綜,因此外部環(huán)境對(duì)它的消相干的影響極小。且樣品的核載流子處于近獨(dú)立的狀態(tài),幾乎不受電子和分子的熱運(yùn)動(dòng)的干擾。并且,宏觀系綜原則上沒(méi)有量子特點(diǎn),只有純粹的量子系綜才具有量子純態(tài)的特點(diǎn)。只有當(dāng)它被制備到一個(gè)特殊狀態(tài)—贗純態(tài)時(shí),能夠完成量子估算的工作。下邊舉例介紹實(shí)現(xiàn)兩量子比特的搜索的實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)中所用樣品為C-13核素標(biāo)記的乙酸HCCL3。實(shí)驗(yàn)中用碳和氫的核載流子來(lái)標(biāo)記|1>和|0>,其中13C的中心共振頻度約為,1H的中心共振頻度約為。實(shí)驗(yàn)體系的哈氏量為H=2π+PH,所以各步驟如搜索所介紹的那樣。比較實(shí)驗(yàn)和理論,可以發(fā)覺(jué)實(shí)驗(yàn)中存在一些偏差。這種偏差主要來(lái)自磁場(chǎng)和射頻場(chǎng)的不均勻、初始時(shí)間的校準(zhǔn)和訊號(hào)衰減等。2、腔與原子體系腔量子電動(dòng)熱學(xué)(C-QED)體系是另外一種可以進(jìn)行量子估算的量子系統(tǒng)。腔量子電動(dòng)熱學(xué)體系之所以可以實(shí)現(xiàn)對(duì)兩位量子信息進(jìn)行處理量子系統(tǒng),一個(gè)重要誘因就是腔中的幅射場(chǎng)與原子具有很強(qiáng)的非線性互相作用,這些互相作用的演變引起腔場(chǎng)和原子體系的本征態(tài)處于糾纏態(tài)。腔量子電動(dòng)熱學(xué)體系包含光腔和微波腔。
這兒我們主要介紹微波腔體系中應(yīng)用原子與微波腔互相作用實(shí)現(xiàn)的條件量子相拉門(mén)(QPG)。條件量子相拉門(mén)(QPG)須要對(duì)兩量子位的如下變換:|a,b〉?exp(i,|b>分別代表兩量子位的基矢|0>或|1>,而δa,1,δb,1為一般的克隆尼克符號(hào)。條件量子相拉門(mén)(QPG)在兩個(gè)量子態(tài)都處在|1>時(shí),形成一個(gè)=|0>或1個(gè)光子的腔場(chǎng)|a>=|1>而,目標(biāo)量子位是原子的兩個(gè)基態(tài)|i>(定義|b>=|0>)和|g>(定義為|b>=|1>)。實(shí)驗(yàn)中應(yīng)用的Rb原子的基態(tài)不僅目標(biāo)量子位兩個(gè)原子的基態(tài)|i>和|g>以外,還包括一個(gè)相關(guān)的基態(tài)|e>。三個(gè)相關(guān)的原子態(tài)分別代表Rb原子的主量子數(shù)n=51(|e>),n=50(|g>)和n=49(|i>)。原子的基態(tài)|e>和|g>與微波腔場(chǎng)發(fā)生共振互相作用,而原子基態(tài)|g>和|i>之間通過(guò)另外的微波場(chǎng)形成耦合。當(dāng)原子處于基態(tài)|i>或則腔場(chǎng)處于|0>,原子與腔場(chǎng)的系統(tǒng)狀態(tài)不發(fā)生變化,而當(dāng)原子腔場(chǎng)的初始處于|g,1>態(tài)時(shí),控制原子的速率使原子|g>與|e>量子態(tài)在腔場(chǎng)中經(jīng)歷一個(gè)2π的拉比振蕩,|g,1>態(tài)演變?yōu)?|g,1>=exp(πi)|g,1>。
因此系統(tǒng)的演變可以描述為:|a,b〉?exp(iπδa,1δb,1)|a,b〉這個(gè)過(guò)程實(shí)際實(shí)現(xiàn)了相移為π的條件量子相拉門(mén)(QPG)。參考文獻(xiàn):?L.Isaac,G.NEil,K.Mark.[J].Phys.Rev.Lett.1998,80:3408-3411.?A.著,丁存生,單煒娟譯.私鑰密碼學(xué)[M].上海:國(guó)防學(xué)院出版社,1998?M.R.Garey,D.S..[M]:P-.:,1997?J.I.Cirac,.-[J].Phys.Rev.A.1994,50:R4441-R4444.?R..[J].Phys.Rev.A,1998