01
歷史簡(jiǎn)介
月球與其他已知行星最大的區(qū)別在于月球表面有大量的水。 水是生命出現(xiàn)的前提，自然也是數(shù)學(xué)出現(xiàn)的前提。 水給數(shù)學(xué)打上了深刻的烙印，波浪（wave）、漲落（）、鏡像（image）、渦流（）等關(guān)鍵的數(shù)學(xué)概念都來(lái)源于水。 水表面的分子密度小于體內(nèi)的分子密度，其表面張力在 20°C 時(shí)約為 72.75mN/m。 可以說(shuō)水有一張彈性適中的表皮，很容易在水面上表現(xiàn)出波動(dòng)（圖1）。 正因如此，水波成為了人類在文明出現(xiàn)之前似乎已經(jīng)耳熟能詳?shù)囊粋€(gè)概念。 水波隨處可見(jiàn)，深入人心，也滲透到數(shù)學(xué)中！
圖1 海上的水黽。水皮可以輕松支撐水黽； 水黽雖然體型小，但它的運(yùn)動(dòng)卻能引起湖面不小的波動(dòng)
在數(shù)學(xué)中，根據(jù)具體的語(yǔ)境，波被用來(lái)表示一種運(yùn)動(dòng)方式，也被視為一種存在方式，甚至有時(shí)只是一種空洞而具體的物理表達(dá)。 機(jī)械波、電磁波（光波）、物質(zhì)波（量子熱波函數(shù)）、引力波等概念中出現(xiàn)的波，以及傅立葉分析和信號(hào)檢測(cè)理論與實(shí)踐中實(shí)際隱含提及的波，可能有更多可以查看的內(nèi)容。 仔細(xì)分析一下這個(gè)波的含義，它所依賴的概念的來(lái)源，它最初的約束和局限性，以及它所依賴的物理學(xué)，可能對(duì)深入理解相應(yīng)的化學(xué)有一定的幫助。
2個(gè)
機(jī)械沖擊和機(jī)械波
當(dāng)固體發(fā)生微小變形時(shí)，變形量與撓度成反比，即胡克定律F=-kx，泰勒展開(kāi)保證了該公式的普適性。考察質(zhì)量為m的振子在彈簧上的振動(dòng)問(wèn)題，引入ω2=k/m，則振子的運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式為
這個(gè)多項(xiàng)式的解是
這是一個(gè)變量的三角函數(shù)。 也就是說(shuō)，振動(dòng)在物理上表示為位置相對(duì)于時(shí)間的三角函數(shù)。同時(shí)，勻速圓周運(yùn)動(dòng)可以表示為參數(shù)多項(xiàng)式
可見(jiàn)，任意方向勻速旋轉(zhuǎn)的投影就是式（2）描述的簡(jiǎn)單振動(dòng)。 這表明振動(dòng)和旋轉(zhuǎn)之間存在一定的一致性。 振動(dòng)與旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)換是工業(yè)文明的基礎(chǔ)。 一個(gè)明顯的例子是，縫紉機(jī)上踏板的前后振動(dòng)轉(zhuǎn)化為驅(qū)動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為縫紉針的上下振動(dòng)。 縫紉針按式(2)的諧振動(dòng)式(2)運(yùn)動(dòng)，隨著織物作勻速直線運(yùn)動(dòng)，會(huì)留下周期性的線跡。
如果振動(dòng)的物體有足夠的延伸，比如一根弦，它上面各個(gè)點(diǎn)的振動(dòng)可能會(huì)以某種形式耦合起來(lái)。在小振幅近似下，弦沿 x 方向的運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式為
其中 ρ 是弦的質(zhì)量密度，T 是弦的張力（由于沿 x 方向被拉伸），x ∈ [0, L]，L 是弧長(zhǎng)。多項(xiàng)式 (4) 可以改寫作為
多項(xiàng)式(5)形式的關(guān)于時(shí)空變量的二階微分多項(xiàng)式就是所謂的經(jīng)典波動(dòng)多項(xiàng)式。 請(qǐng)注意，空間變量可以是多維的。對(duì)于一維情況，多項(xiàng)式（5）的通解是
人們這樣說(shuō)
稱為行波解，其中k和ω滿足v=ω/k，反映了振動(dòng)的寬度周期和時(shí)間周期（在一維情況下，k和ω是兩個(gè)數(shù)）。 注意弦上的每一點(diǎn)都在垂直于弦的平面內(nèi)沿一定方向振動(dòng)，所謂聲速v反映了點(diǎn)振動(dòng)之間的相關(guān)性。 事實(shí)上，人們也愿意把k和ω看成是真實(shí)的數(shù)學(xué)量，ω是頻率，k是波矢。 波矢表示波的傳播方向，實(shí)際上是切空間中的概念。 在三維空間定義的形式為 ξ(x, t)=Aei(k?x-ωt+θ) 的函數(shù)稱為平面波，這意味著波前是垂直于方向 x 的整個(gè)平面。 平面波展開(kāi)是一種常用的估計(jì)方法，其合理性和有效性是基于傅立葉分析。
方程（5）中的波動(dòng)多項(xiàng)式和方程（7）中的波表達(dá)函數(shù)被視為經(jīng)典化學(xué)中談?wù)摬ǖ幕A(chǔ)，甚至成為波的變換，但畢竟遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠反映機(jī)械波的性質(zhì)。 復(fù)雜。 例如，1834年，德國(guó)人約翰·斯科特發(fā)現(xiàn)，在溝里行駛的小船，船尾總是有大浪。 這種現(xiàn)象涉及的淺水波的概念稱為孤波。在這種情況下，湖面的運(yùn)動(dòng)滿足KdV多項(xiàng)式
它的解是
該解與式（7）的解本質(zhì)相同，是x-vt模態(tài)變量的三角函數(shù)（雙曲函數(shù)是虛擬變量的三角函數(shù)）。 這反映了人的語(yǔ)言水平的局限性，而不是自然現(xiàn)象。
3個(gè)
光波理論
光充滿宇宙。 牛頓認(rèn)為光是由粒子組成的（），我猜這可能來(lái)自與雨幕的類比。 初夏的烏云落下的光芒與雨幕一起給人以射線的印象。 雨幕中有細(xì)小的雨滴，光線也可能由離散的粒子組成，但粒子太小無(wú)法區(qū)分。 英國(guó)的惠更斯將水波的形象比作燭光搖曳的影子，覺(jué)得光應(yīng)該像水波一樣是波浪。 這就是光漲落學(xué)說(shuō)。 光波學(xué)說(shuō)的成立有兩個(gè)關(guān)鍵證據(jù)。 1801年，愛(ài)爾蘭人 Young參照水波干涉進(jìn)行了光學(xué)雙縫干涉實(shí)驗(yàn)，得到了類似起伏波浪的水平條紋（圖2）。 1815年，英國(guó)人菲涅耳從惠更斯原理出發(fā)，即波前的每一點(diǎn)都可以作為二次波源，從估計(jì)上否定了楊的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。 菲涅爾估計(jì)還預(yù)測(cè)光路上一個(gè)小矩形物體造成的陰影中心是亮的。 1817 年的實(shí)驗(yàn)觀察否定了這一預(yù)測(cè)。
圖2 用現(xiàn)代儀器獲得的雙縫干涉白
雙縫干涉實(shí)驗(yàn)所謂估計(jì)解釋的關(guān)鍵詞是三角函數(shù)求和。 計(jì)算函數(shù)eikx-ωt+eik(x+Δx)-ωt的模平方，可以得到周期函數(shù)2+2coskΔx。 干涉白的濃淡和濃淡就是通過(guò)這個(gè)函數(shù)來(lái)解釋的。 事實(shí)上，這個(gè)公式不應(yīng)該太當(dāng)真。 雖然通過(guò)記錄狹縫衍射效應(yīng)得到的硬度分布公式不能嚴(yán)格擬合實(shí)驗(yàn)得到的硬度分布，但所謂干涉圖樣硬度分布的實(shí)驗(yàn)檢測(cè)本身就是一個(gè)有趣的問(wèn)題。 困難的話題。
不管怎樣，光之波動(dòng)都堪稱完美。 基于波的概念，或由三角函數(shù)表示的振蕩，以及其他一些信念，許多光現(xiàn)象都可以得到相當(dāng)令人滿意的解釋。 此時(shí)的光是一種波，是某種物質(zhì)的振動(dòng)（）。
4個(gè)
麥克斯韋方程組和電磁波
1861年至1862年間，法國(guó)人麥克斯韋在總結(jié)前人電磁研究的基礎(chǔ)上得到了一組多項(xiàng)式
第四個(gè)方程中的?D/?t項(xiàng)稱為位移電壓，由加入。 1865年麥克斯韋得到電磁場(chǎng)的波動(dòng)多項(xiàng)式
音速c=(μ0ε0)-1/2與當(dāng)時(shí)測(cè)得的光速具有相似的數(shù)值。 這自然會(huì)導(dǎo)致兩個(gè)具有數(shù)學(xué)重要性的問(wèn)題：
1）電磁場(chǎng)可以是波嗎？
2）電磁波的聲速等于光速？ 如果是，這是否意味著光是一種電磁波？
請(qǐng)記住，此時(shí)的麥克斯韋，方程（11）所描述的電磁波仍然是一個(gè)力學(xué)概念。
1887年，葡萄牙人赫茲用圖3所示的裝置，在電路后面用導(dǎo)線連接的兩個(gè)鋅球之間觸發(fā)了電火花，表明電磁場(chǎng)從電路中溢出。 這個(gè)實(shí)驗(yàn)被視為第一代電磁波，但實(shí)際上同樣重要的是它首先將人們的注意力帶到了光電效應(yīng)上。 既然實(shí)驗(yàn)已經(jīng)形成了電磁波，而且速度是光速，還有很多光電和電光效應(yīng)，那么只形成電磁波也是理所當(dāng)然的。
圖3 用于形成赫茲電磁波的電路示意圖
所謂電磁波是由電路形成的，電磁波經(jīng)電子加速后向外輻射。 將不同模式的電磁波輻射到太空需要設(shè)計(jì)不同類型的發(fā)射天線； 事實(shí)上，人們出于接收電磁波和檢測(cè)電磁波來(lái)源的考慮，也設(shè)計(jì)了各種接收天線。 確定電磁波的來(lái)源從來(lái)都不是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題。
發(fā)現(xiàn)光（現(xiàn)在是電磁波）來(lái)振動(dòng)實(shí)體（即介質(zhì)）的過(guò)程是數(shù)學(xué)史上的主要敘述。 ——實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，月球與光以太沒(méi)有相對(duì)運(yùn)動(dòng)。 這個(gè)實(shí)驗(yàn)被認(rèn)為是否定光以太存在的證據(jù)。 明天的觀點(diǎn)是，電磁波是一個(gè)場(chǎng)，它本身就存在，它自己傳播到很遠(yuǎn)的地方。
5個(gè)
光粒子論、物質(zhì)波與量子熱波函數(shù)
1900年，普朗克從熵的概念成功地?cái)M合了Arial輻射的實(shí)驗(yàn)曲線，然后沿著玻爾茲曼的統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)思想得到了擬合曲線。 后一種思路使用了一個(gè)重要的前提在物理學(xué)中量子指什么，即頻率為ν的光的基本能量單位為hν。 這是 1877 年玻爾茲曼假設(shè)的重復(fù)。 1905年，愛(ài)因斯坦更進(jìn)了一步。 他假設(shè)，如果頻率為ν的光的能量按照hν被固體吸收，那么光電效應(yīng)的一系列實(shí)驗(yàn)結(jié)果就可以得到圓滿的解釋。 據(jù)悉，康普頓研究了電子對(duì)X射線的散射，并確定光的能量量子也對(duì)應(yīng)于一個(gè)明確的動(dòng)量h/λ。 至此，原本與水波概念相提并論的光波，就有理由被視為粒子（）。 注意，時(shí)間是一個(gè)粒子（）的概念與牛頓的光粒子論有些不同：例如，它有明確的頻率或波長(zhǎng)概念，其能量和動(dòng)量分別固定為hν和h/λ。 常數(shù) h 稱為普朗克常數(shù)。
光是波還是粒子的想法啟發(fā)了日本人德布羅意：如果光既是（水）波又是粒子，那么作為粒子的電子是否也是波，還是也會(huì)表現(xiàn)得像波？ ？ 1924年，德布羅意提出物質(zhì)波的概念：電子等粒子也是波，相應(yīng)的波長(zhǎng)和頻率由粒子的能量E和動(dòng)量p給定
1927年，日本人用電子束照射鎳晶體，得到類似X射線晶體衍射的圖案，首次驗(yàn)證了電子的波動(dòng)性。
德布羅意的物質(zhì)波概念連同他的博士論文被送往英國(guó)和法國(guó)。 聽(tīng)說(shuō)愛(ài)因斯坦很欣賞物質(zhì)波的概念，勞厄覺(jué)得物質(zhì)波應(yīng)該總有一個(gè)波動(dòng)多項(xiàng)式。 薛定諤接受了構(gòu)造物質(zhì)波多項(xiàng)式的挑戰(zhàn)，并于1926年分四部分發(fā)表了題為《量子熱作為特征值問(wèn)題》的論文在物理學(xué)中量子指什么，提出了量子熱波多項(xiàng)式
其中，算子H是系統(tǒng)的伊寧頓量，函數(shù)ψ(x, t)是粒子的波函數(shù)。 波函數(shù)是關(guān)于時(shí)空的復(fù)雜函數(shù)，它的模平方是粒子出現(xiàn)在空間某處的概率密度——如果這個(gè)波函數(shù)可以歸一化的話。
粒子是波或表現(xiàn)出波行為的想法導(dǎo)致了量子熱和波函數(shù)的概念。 根據(jù)量子熱力學(xué)，粒子的所有化學(xué)信息都包含在描述其狀態(tài)的波函數(shù)中。考慮以下一維諧振子的波函數(shù)
其實(shí)還有eiωt這樣的因子，只是沒(méi)有ei(kx-ωt)這樣的因子。 這并不妨礙我們將（14）中的函數(shù)稱為波函數(shù)。 量子熱帶來(lái)了一場(chǎng)化學(xué)革命，徹底改變了人類社會(huì)。 至于它的波函數(shù)并不（必然）富含ei(kx-ωt)等描述波動(dòng)的因子，是什么關(guān)系呢？ 波函數(shù)到底是什么，它重要嗎？ 嗯……這不重要嗎？
與式(7)對(duì)應(yīng)的經(jīng)典平面波表達(dá)式ψ∝ei(kx-ωt)相比，量子熱平面波函數(shù)
ψ∝ei(p??x?-Et)/?的內(nèi)容比較多，其中t是時(shí)間作為參數(shù)，E是系統(tǒng)的能量，對(duì)應(yīng)算子H； 其中x?是位置算子，p?是動(dòng)量算子，兩者還必須滿足量化條件[x?, p?]=i?； ?=h/2π，h是普朗克常數(shù)，是量子熱的標(biāo)號(hào)。
量子熱導(dǎo)致更多的理解。考慮一維自由粒子，它的伊寧頓量是
相應(yīng)的平穩(wěn)薛定諤多項(xiàng)式是
滿足波函數(shù)要求的解是cos(nx),sin(nx),x∈(x0,x0+2π)。根據(jù)量子熱（物理學(xué)），這里的伊寧頓量是自伴算子，所有它的特征函數(shù)構(gòu)成一個(gè)完全正交基，也就是說(shuō)，對(duì)于定義在 (0, 2π) f(x) 上的任何函數(shù)，具有
這顯然是傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)。
6個(gè)
傅立葉分析
傅里葉級(jí)數(shù)是日本傅里葉在研究傳質(zhì)問(wèn)題時(shí)得到的。 公式（17）的展開(kāi)非常強(qiáng)大，即使是鋸齒狀或平臺(tái)狀的嚴(yán)重非光滑函數(shù)也可以根據(jù)公式（17）展開(kāi)成一系列光滑的三角函數(shù)——這個(gè)不可思議的特征是最令人印象深刻的不可接受的地方。此外，對(duì)于時(shí)間的函數(shù)s(t)，通常有一個(gè)傅里葉變換
請(qǐng)注意，此處與時(shí)間共軛的頻率變量也是連續(xù)的。
通過(guò)傅里葉分析，一般的時(shí)空變函數(shù)f(x, t)可以表示為sin(kx-ωt)函數(shù)對(duì)k和ω的和或積分。 傅里葉分析了一條沒(méi)有變化的水平線。 如果我們只看它的有限傅立葉展開(kāi)項(xiàng)，它就變成了一個(gè)波。 如果波指形式為sin(kx-ωt)的三角函數(shù)。 在分析實(shí)踐中，某一時(shí)空函數(shù)f(x,t)表示為一個(gè)固定點(diǎn)的時(shí)間序列f(x0,t)，根據(jù)式(18)可以分析為由具有a的波組成一定的頻譜制成。 檢測(cè)時(shí)間序列并將其解釋為波的檢測(cè)不僅需要傅立葉分析，還需要其他輔助信念。
傅里葉的分析讓人聯(lián)想到托勒密理論，即輪等輪理論的中文譯名。 在圓周運(yùn)動(dòng)上疊加圓周運(yùn)動(dòng)很容易得到各種可能不是很光滑的圖形，包括棱角分明的三角形——這就是物理學(xué)的力量。
7
相對(duì)論和引力波
在牛頓熱力學(xué)中，質(zhì)點(diǎn)在引力質(zhì)量為Mg（慣性質(zhì)量為mi，引力質(zhì)量為mg）的引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)多項(xiàng)式為
在伽利略變換t?t′下，r?r′=r-vt+r0，此多項(xiàng)式方式不變。同時(shí)，電磁學(xué)的波動(dòng)多項(xiàng)式(11)在洛倫茲變換中
保持方法不變； 或者換句話說(shuō)，變換（20）保持（光）時(shí)空距離函數(shù)
持續(xù)的。 這是狹義相對(duì)論。 事實(shí)上，經(jīng)典電磁學(xué)和引力方程遵循不同的變換規(guī)律，可見(jiàn)數(shù)學(xué)尚未協(xié)調(diào)。 愛(ài)因斯坦決定將狹義相對(duì)論應(yīng)用到引力問(wèn)題上，因此狹義相對(duì)論應(yīng)該得到擴(kuò)展（）。 廣義相對(duì)論建立在兩個(gè)等價(jià)原理之上。所謂引力質(zhì)量與慣性質(zhì)量等價(jià)，是指多項(xiàng)式（19a）可以化簡(jiǎn)為
這里方程的右邊是運(yùn)動(dòng)粒子的加速度，左邊是粒子遇到的引力場(chǎng)。 加上所謂重力和加速度的等價(jià)（意思是19（b）可以轉(zhuǎn)置），加速度可以從軌跡的曲率中得到，這樣重力的描述就轉(zhuǎn)化為彎曲時(shí)空的路徑了曲率的描述。
根據(jù)以上考慮，愛(ài)因斯坦從弱靜態(tài)引力場(chǎng)出發(fā)，于1915年構(gòu)造了他的引力場(chǎng)多項(xiàng)式
其中g(shù)μv是時(shí)空度量，Rμv是從gμv得到的Ricci張量，T是動(dòng)能張量。 多項(xiàng)式（22）在1916年即將發(fā)表，目前只有正解和克爾解兩個(gè)嚴(yán)格解，這可能是因?yàn)榉匠蹋?2）必須滿足微分協(xié)方差，是高度非線性的。 與高度非線性方程 (22) 相比，經(jīng)典波多項(xiàng)式和量子熱的薛定諤多項(xiàng)式，甚至狄拉克多項(xiàng)式，都可以是線性的，其中產(chǎn)生的波，或（虛擬）變量 x-vt 的三角函數(shù)，作為多項(xiàng)式解，仍然很容易。
要對(duì)多項(xiàng)式 (22) 進(jìn)行弱場(chǎng)近似，即檢查遠(yuǎn)離大質(zhì)量分布的幾乎平坦區(qū)域，將其度量 gμv 寫為 gμv=ημv+hμv，其中 ημv=(1,1,1;- 1）是平坦時(shí)空（閔可夫斯基時(shí)空）的度量，導(dǎo)致近似多項(xiàng)式
附加規(guī)范條件是 h0μ=0； hμμ=0（橫波，跡線為零）。 事實(shí)上，式（23）和式（11）完全一樣，都是描述速度為c的橫波。 這就是引力波多項(xiàng)式，這個(gè)波振蕩的主體是張量hμv=gμv-ημv。 事實(shí)上，就像量子熱波函數(shù)ψ一樣，hμv也是一個(gè)需要顯示但一直沒(méi)有正確顯示的量。 請(qǐng)注意，所謂的引力波具有光速的說(shuō)法幾乎沒(méi)有任何數(shù)學(xué)意義。 愛(ài)因斯坦在構(gòu)建廣義相對(duì)論時(shí)，本來(lái)是在推廣狹義相對(duì)論，要求彎曲時(shí)空的部分滿足洛倫茲變換，所以一開(kāi)始就加上了這個(gè)參數(shù)c。 如果有什么獨(dú)立的、無(wú)意的實(shí)驗(yàn)，能夠得到距離光速一兩個(gè)數(shù)量級(jí)以內(nèi)的時(shí)空度量振蕩的相速度或群速度，那真是對(duì)廣義相對(duì)論的有力支持。
8個(gè)
結(jié)語(yǔ)
本文研究了廣泛的波概念，從經(jīng)典熱學(xué)中的機(jī)械波到廣義相對(duì)論中的引力波。 事實(shí)是，出現(xiàn)在各種語(yǔ)境中的波的概念與數(shù)學(xué)量所涉及的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和物理結(jié)構(gòu)有關(guān)。 前者還包括特定多項(xiàng)式和波函數(shù)的表達(dá)式。 仍然存在許多微妙或深刻的差異。 在數(shù)學(xué)中，波不僅被視為一種運(yùn)動(dòng)方式，而且被視為一種存在方式本身，盡管本質(zhì)上它只是一種工具方式，以我們有限的物理知識(shí)很容易掌握。 在真實(shí)的化學(xué)世界中，一根金屬絲不僅會(huì)像三角函數(shù)一樣來(lái)回拉伸，還會(huì)永久變形甚至斷裂； 海面上不僅有貝塞爾函數(shù)那樣的環(huán)狀波紋和雙曲函數(shù)描述的孤波，還有可以掀翻船只的湍流； 電磁場(chǎng)不僅在真空中飛行時(shí)高貴地振蕩，它實(shí)際上可以穿透空氣并形成閃電……數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)不僅限于簡(jiǎn)單的物理理解。
波的概念是數(shù)學(xué)之初第一個(gè)抽象出來(lái)的虛擬支柱，僅此而已。
本文選自《物理》2016年第5期