當我研究和分析熱時量子子力學基礎物理，有一個問題仍然困擾著我，那就是拉格朗日定理——拉格朗日量的變化量為0的路徑對應于經典數學中真實可能的路徑。 從物理公式來看，是這樣的：
使得這個公式成立的路徑l一定是真實化學的可能路徑。
當我們已經知道了牛頓熱力學的時候，很容易反轉這個定理，這也是分析熱力學的入門問題。
然而，在對熱的分析逐漸深入之后，有一個問題也逐漸浮出水面——如果我們一開始就不知道牛頓熱，怎么能保證熱分析的基本原理是正確的呢？
換句話說，為什么會有變異為零的推論呢？
我們其實可以把它當作整個理論體系的基本假設，但這個基本假設本身就有點讓人困惑，就像突然出現的怪物一樣。
特別地，這里的拉格朗日量L是動能和勢能的差值，我們習慣討論的總能量是這三者的總和。 除以零并不能直觀地映射到我們習慣的能源問題——盡管這些對應關系總能找到。
這個問題本身就是一個特別棘手的問題，因為其實我們都知道我們可以從牛頓定理推導出拉格朗日定理，然后我們就會發現完全沒有問題。
所以，接下來的內容基本都是走入死胡同。
讓我們看一個非常不同的問題——什么是量子效應？
量子這個名字本身就帶有一定的傾向性，因為所謂的“量子”其實就是一個東西。
這個名稱的選擇實際上完全符合數學史的發展，但在一定程度上具有誤導性。
例如，當我們選擇從路徑積分和退相干的角度來看待整個量子理論構建時，你會發現這個“一個接一個”的量子并不是一個好的起點，因為在路徑積分和退相干中從量子化學的角度來看，量子化學根本不是一個整體，而是一大堆全部連接在一起的曲線。 即使是原本經典化學中應該打破的地方，在量子化學看來仍然是連接在一起的。 。
我們在歷史上看到的“一一”量子只是這根連續不斷的弦在一定的周期條件下所解釋的一個特殊的方面，與它的真實面目相去甚遠。
我們看一下，最基本的路徑積分是這樣的（以點粒子的量子熱力學為例）：
在這個多項式中，最外層的積分是泛函積分，它對積分泛函進行積分，積分范圍是所有可能的路徑（無論是否存在于經典數學的角度），滿足給定的初始狀態和最終狀態，被積函數變量就是這條路徑。 而泛函就是被積函數變量的路徑的泛函，即這條路徑對應的拉格朗日乘以一個i（這是在自然單位制下，如果全寫的話，就會有一個約化的普朗克常數分母) ，作為冪指數。
這個東西可以看成是一個由所有可能的路徑組成的族，而路徑積分就是這個族的配分函數，所以本質上是一個統計熱度的問題，但是現在是一個時空族整體分析，并且與傳統的族分析相比，有更多的冪指數系數i。
我們可以剖析這個函數積分并進行泰勒展開：
其中，第二項在函數積分下基本為零，關鍵是第三項的系數為負。 當變量相對于頭上有條的L的擾動帶來的拉格朗日量不為零時，這一切項都會迅速衰減——事實上，因為存在一個以普朗克常數為分母的系數（它總是1）在自然單位制中，所以在多項式中是看不到的），所以這一項的衰減作用其實是很強的，只要有輕微的擾動，整個泛函積分的被積函數就會立即衰減。
為此，我們最終發現，這個函數積分實際上可以看作是在L周圍一個小區域（范圍由普朗克常數決定）內的路徑的積分，頭上有一個條，所以它并不是所有路徑中的積分。整個路徑空間貢獻。
還有，頭上有橫杠的L是什么？ 實際上就是拉格朗日變化量為零的路徑對應的拉格朗日密度。
也就是說，從路徑整合的角度來看，只有那些與經典路徑有足夠不同的路徑才能對最終的整合結果做出貢獻。 其他路徑看似參與融合，但實際上可以認為沒有貢獻衰減。
為此，我們其實得到了這樣一個簡單的推論：
只要建立了量子熱的路徑積分表示方案，那么拉格朗日定理就是它的自然猜想，在普朗克常數可以視為零的經典極限下。
這也可能是學習路徑積分時最基本的入門內容。
為此，現在我們可以大致理解經典的解剖量熱法只是量子過程的極限近似，那么我們自然要問下一個問題：這條路徑積分中的被積函數拉格朗日量是多少？ 事情呢？
從經典的角度來看，這個東西還是很形而上的：我們就是這樣定義拉格朗日的。
本質上，這個答案并沒有回答問題。
那么，現在讓我們轉向另一種思維方式。
在相對論世界中，自由粒子的拉格朗日量是一個非常明確的東西：連接初始時空點和最終時空點的世界線的寬度乘以它的質量。
雖然考慮了規范場，但這個乘積的定義并不困難：拉格朗日量就是世界線的寬度加上內部空間中狀態向量連接的寬度乘以其質量。
如果我們采用這樣的觀點，這樣的規范場的固有纖維空間就是躺著維度，所以仍然是世界線寬度的問題，但是現在這個寬度還包括躺著維度上的位移乘以通過它的質量。
或者從我們采用的角度來看，規范場造成的只是測度函數的變形，所以歸根結底還是寬度的問題。
好吧，我只想說這么多：在從相對論出發的幾何程序的世界觀中，粒子的拉格朗日量的定義是非常容易的。 即使考慮到交互，也只是世界線寬度的問題。
既然定義這么好，我們自然要考慮如果把這個乘積量化的話，會得到什么結果，也就是做了一個路徑積分。
對于自由粒子來說，它的作用量就是世界線寬度上最基本的敏空間乘以它的質量。 對于這款產品的路徑點來說，是一個比較令人擔憂的問題。
我們所熟悉的路徑積分比較成功的案例是非相對論條件下自由點粒子的路徑積分。 這是所有道統教材中的入門案例。 在這些情況下，我們可以對點粒子進行路徑積分，以獲得經典的非相對論薛定諤多項式。
但如果用同樣的方案來考慮相對論性自由點粒子，這件事就令人擔憂了，因為會出現不可調和的發散。
事實上，我們可以非常“巧妙”地利用威克旋轉（物理學家可能會說這是一種無理的欺詐）將問題切換到4維歐幾里德空間而不是4維Min's空間。 此時，這個路徑積分的結果可以寫成克萊因多項式：
那么我們可以很任性的感覺到，結果通過威克旋轉從四維歐氏空間轉移到四維敏氏空間后，結果沒有變化（是不是很任性？物理學家又要吐血了）。
這樣，我們就得到了標量粒子的相對論薛定諤多項式。
因此，可以說，對于拉格朗日量的路徑積分，解析熱力學在經典極限下給出，而薛定諤多項式可以在非極限近似下給出。
其實這只是一個框架。 我們不知道在各種勢能或各種相互作用的加入下，情況是否會如此簡單明了。 同時，我們也不知道如何獲得帶有載流子的半載流子粒子的薛定諤多項式，即狄拉克多項式。
事實上，至少到目前為止還不清楚。
如果我們在這個框架下繼續集思廣益，那么接下來的問題就是如何從點粒子的量子熱過渡到點粒子場的量子場論。
在前面的結果中，我們看到相對論性自由點粒子在路徑積分下自然地得到了克萊因多項式，因此它的概率分布可以看作是一個量子場。
本質上，這個量子場只是自由點粒子從給定初態演化到給定終態的概率幅分布。
那么，讓我們考慮這樣一個問題：如果現在不是一個自由點粒子，而是一大波可以在時空中突然形成和消失的自由點粒子，會發生什么？
也就是說，我們假設存在一種機制，可以在某一時空中形成上述點粒子之一，也可以在某一時空中消除上述點粒子之一——時間。 應該如何描述這些點粒子的分布呢？
由于形成和湮滅都是局部發生的，只發生在時空的某一點，所以我們可以認為，在一個點粒子從形成到湮滅的這段時間里，我們可以利用之前得到的確定的初始態的演化來確定的最終狀態由量子場描述。
同時我們也知道，至少在現實中，宏觀粒子是不可能突然消失和突然出現的，所以我們這里給出的形成湮沒機制至少在整體上是平衡的，即有多少個粒子。粒子形成，湮滅的粒子也多，形成與湮滅是成對出現的。
這樣，上述問題就變成了這樣一個問題：在整個時空中，我們知道n個確定粒子的初態和終態，但不知道有多少個粒子形成湮滅對，并且同時，這個初態、終態的各個環節、產生和湮滅的過程都符合自由點粒子的描述，因此都屬于上述的量子場。 因此，粒子在整個時空中的分布可以看作是所有的初態和終態以及形成湮沒對的量子場。 場的疊加效應，求總效應。
如果我們把場疊加的形式看成是一種“構象”，那么上述的“總效應”就是所有滿足初態和終態的構象的疊加——這與宇宙的誕生是一樣的。量子場一開始。 “所有可能路徑的疊加”現在非常相似。
為此，場論中的場可以看作“所有可能的粒子形成和湮滅過程疊加下的概率場”，概率場可以看作“所有可能的運動路徑疊加下的總效應”。 ”，所以場論中的場是“所有可能的編隊湮滅過程下所有可能的運動路徑下的總效應”。
從這個思路來考慮量子場論，我總覺得有點太幼稚了。 。 。
其實也需要疊加。 第一個路徑積分中的疊加要求初態和終態滿足條件，而第二個構象積分中的疊加首先要求構象可以相加，即存在一個與希爾伯特空間同構的構象空間，然后要求初始狀態和最終狀態滿足條件。
至此，基本上可以說腦洞已經大開。
最后，我們繼續開一個越來越瘋狂和牽強的腦洞：如果我們面對的不是點粒子怎么辦？
里面的整個流程無非就是三步：
找出運動軌跡對應的拉格朗日量； 對以拉格朗日為冪指數的泛函進行路徑積分，得到描述物體在所有可能的運動疊加下在空間和時間上的分布的概率場； 對上述概率場進行構象積分，得到所有可能湮沒過程的總分布結果就是量子場。
而對于點粒子來說，第一步的拉格朗日量就是其厚度乘以質量，簡單明了。
那么，對于非點粒子，例如“線粒子”，拉格朗日量是多少？
根據幾何程序進行適當的外推，也稱為廢話，很自然地相信（猜測），線粒子的拉格朗日量是其世界葉的面積乘以其質量。
點粒子在時空中的軌跡是一條線，線粒子的軌跡自然是時空中的線段所掃過的曲面。
表示曲面最直接的幾何量是其面積，對應于理論北功量。
不過，一般來說，曲面的幾何量不僅僅是面積，還有其他的東西，比如總曲率——曲面上的每個點都有曲率，而這個曲率在整個曲面上的積分其實是一個重要的因素。藥物來表征被測表面。
事實上，這個曲率可以分為外曲率和內曲率。 外曲率是表面法向量在嵌入時空中的變化程度，內曲率是我們在廣義相對論中熟悉的里奇張量和里奇標量。
在二維情況下，如果我們不考慮外曲率，內曲率會得到可比較的東西（二維愛因斯坦張量總是為零），所以不考慮也沒關系，而在更高的維度上，根據上面的思路，我們自然可以得出幾何物體的A劑量應該有如下的規律：
其中，m代表幾何物體的“質量”，R為里奇標量，g為對應的劑量硬度參數，K為外曲率標量，h為對應的劑量硬度，最后一位為幾何物體的體積幾何對象元。
從方式上來說，這是廣義相對論的結果——只是這里用質量項m代替了宇宙常數Gamma，然后所有的外曲率項都被忽略了——因為如果我們考慮嵌入時空的背景，那么它其實并沒有嵌入到任何物體中（時空之外不存在時空），所以自然不存在外曲率。 事實上，當我們考慮膜宇宙理論時，外曲率自然會回到我們的視野中。 這是帥氣院長打開的一扇全新的時空觀察之門。
這樣的拉格朗日量在幾何上很容易理解——第一項給出了面積，第二項給出了總的內部彎曲度，第三項給出了總的外部彎曲度，而且，整體的意義非常大簡單明了：拉格朗日量等于幾何體的總面積（高維）加上總曲率，后者可以看作是一種內在屬性，而前者可以看作是由幾何體引起的應變交互屬性，含義直觀、明確。
然而，現在有一個問題。 我們基本上可以給出第一項的線性表達式（二維的北方的藥量可以用非常線性的方式表達），但是第二項卻是極其非線性的。 我們基本上無法得到線性表示。
沒有線性表示是什么意思？ 這意味著我們不知道如何進行疊加，因此上述三部曲中的第三步甚至第二步都無法完成。
然而，原則上，對于任何d維幾何量子子力學基礎物理，我們都可以通過上述拉格朗日量的路徑積分得到其從初始狀態到最終狀態演化的概率分布，然后考慮所有可能的編隊湮滅情況，對于這個分布做了加權統計，所以自然就得到了最終的d維幾何體的量子場，所有的相互作用都體現在所有這些幾何體的體積和曲率上（無論是纖維束還是額外的維度或度量） ）。
這幅畫本身非常漂亮，但是，在現實中，這個產品幾乎注定不會被創造出來，因為它無法計算。 。 。
事實上，如果你愿意，還有很多其他東西可以添加到上面提到的幾何劑量中，比如高斯項……
前面的基本就是腦洞大開，美好愿景。
我個人嘗試的是用這個方案來構造電磁場的拉格朗日量——這里有三種不同的方案，我最喜歡的方案是完全通過路徑積分的方式來構造電磁場的拉格朗日量。 之后您會注意到經典電磁場發散的明顯特殊空間方向。 但這項工作無法繼續下去，因為不可能在如此扭曲和非線性的東西上構造量子場。
然后我也嘗試用時空上弦的北邊部分作為劑量，但是這個乘積根本無法線性化，所以這個估計無法完成。
基本上，在這個框架下，如果敢于將相互作用解釋為一種測量而不是纖維束，那將是一條死胡同——當然，這條路在估計上更不可持續。
所以，好的愿景往往并不意味著好的結果。 。 。
明天的闞大山就到此為止了，哎呀，以后恐怕就沒有人真正看了。
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