由于陀螺儀始終在旋轉,當它受到外部扭矩時,其運動變化與常識理解不符。 如下圖所示,圓盤代表轉子,繞軸線ss'旋轉。 當繞 tt' 軸的力偶施加到圓盤上時,轉子的旋轉軸繞 pp' 軸旋轉,這就是進動。
定性描述
假設施加脈沖偶,則圓盤在施加脈沖偶時獲得繞tt'軸的角速度。 取圓盤上的點P1,則點P1即得到線速度w。 由于圓盤具有圍繞 ss' 軸的初始角速度,因此點 P1 具有初始速度 u。 u和w的速度之和為v。從圖中可以看出,點P1會移動到點P2,最終的效果是圓盤繞pp'旋轉一定角度。從角速度合成的角度來看,如下圖所示,我們還可以看到脈沖偶的作用使得
繞pp'軸旋轉,即轉子旋轉軸向靠近聯軸器軸線tt'的方向旋轉。 (這里轉子的轉速增加,因為脈沖偶的幅度是無窮大)
定量描述
設轉子沿a軸方向的初始角動量為H。 假設有一個扭矩 T 作用在轉子上,導致轉子繞 c 軸以速率 ω 進動。 dt時刻后,進動角為ωdt,角動量為H+dH,沿b軸方向,如下圖所示,其中力矩的作用方向不一定垂直于a軸。
設a、b、c分別為a、b、c軸的單位向量。 dt 時間之后,我們有:
但:
現在:
取決于:
必須:
可以看出,扭矩T的一個分量改變了角動量的方向,而b軸上的另一個分量導致旋轉速率加快。 特別是,對于有限尺寸T,當T垂直于H時,dH/dt = 0,扭矩僅改變角動量的方向。 進動角速度 ω 垂直于力矩和旋轉軸。
在真實的陀螺儀中,
這通常可以忽略不計,因為它被陀螺儀旋轉電機的影響所抵消。 所以:
或寫成標量形式
逆進動原理
根據角動量定理,如果粒子系統不受外部力矩作用,則其角動量守恒。 注意,這里的恒定角動量是相對于慣性空間而言的。 因此,當殼體旋轉一定角度時,轉子軸線與殼體軸線不再一致,如下圖所示。 當對轉子施加可控扭矩T(如電磁扭矩)時,轉子軸進動陀螺儀角動量守恒,進動角速度與殼體角速度相同陀螺儀角動量守恒,即轉子軸相對于殼體不移動。 此時,根據初始角動量H和扭矩T,即可得到轉子的進動角速度,即殼體的角速度。 這就是逆進動的原理。