經(jīng)濟(jì)學(xué)教科書經(jīng)常假設(shè)制造商具有同質(zhì)性效率是指產(chǎn)出與投入之比，用抽象的生產(chǎn)函數(shù)來描述其生產(chǎn)過程，并隱含地假設(shè)對于所有制造商來說，在給予相同數(shù)量的投入的情況下，他們將獲得相同的產(chǎn)出。 這與我們的生活經(jīng)驗(yàn)不符。 例如，如果兩個(gè)孩子摩擦粘土，給定相同大小的泥球，則粘土球的大小會不同； 如果兩個(gè)師傅打棉花，則各給十公斤棉花。 常見的是甲師傅生產(chǎn)八公斤被子，乙?guī)煾瞪a(chǎn)被子。 1磅。
產(chǎn)出與投入之比為生產(chǎn)率（），實(shí)際產(chǎn)出與理想產(chǎn)出之比為效率（）。 當(dāng)然，不同廠家的效率也不一樣。 研究制造商效率確實(shí)有必要，但在主流經(jīng)濟(jì)學(xué)中找不到答案。 需要一些“非主流”工具。 本文介紹的方法是隨機(jī)前沿模型（Model，SFM），或者說隨機(jī)前沿分析（SFA）。 。
如果你敢稱其為模型，那你必須有一個(gè)數(shù)學(xué)公式，如下： y=Xbeta+\ =vu
式中，y代表制造商的輸出，擾動項(xiàng)。 是一個(gè)復(fù)合擾動項(xiàng)，由兩部分組成。 第一部分v是常見的左右對稱隨機(jī)擾動項(xiàng)，y=Xbeta+v是我們常用的線性回歸模型； 第二部分 u 是不對稱的，不小于 0 隨機(jī)擾動項(xiàng)。
模型中的Xbeta+v稱為制造商的生產(chǎn)前沿。 所謂生產(chǎn)前沿描述的是在給定投入下能夠產(chǎn)生的最大產(chǎn)出水平，即理想產(chǎn)出。 顯然，生產(chǎn)前沿包含隨機(jī)項(xiàng)v，故稱為隨機(jī)前沿。 制造商的實(shí)際產(chǎn)量為y，實(shí)際產(chǎn)量與理想產(chǎn)量的差距為u，對應(yīng)的效率為frac{y}{Xbeta+v}。
u的經(jīng)濟(jì)意義是制造商的管理無效率、技術(shù)無效率、經(jīng)濟(jì)無效率等，是指制造商本身可以控制的各種因素。 u越大，說明廠商的無效率越大，或者用人的話來說：效率越低。 當(dāng)u=0時(shí)，制造商的實(shí)際產(chǎn)量為理想產(chǎn)量，此時(shí)效率值達(dá)到峰值，為1。v描述了制造商無法控制的各種因素，如運(yùn)氣、天氣、機(jī)器效率、等等。這些因素影響著制造商的生產(chǎn)前沿。 v 的另一個(gè)重要組成部分是制造商輸出 y 的測量誤差。
關(guān)于隨機(jī)前沿模型更深入的介紹，可以參考本文第二篇參考資料，或者查看原文。
隨機(jī)前沿模型估計(jì)方法
假設(shè) v 服從均值為 0、標(biāo)準(zhǔn)差 的正態(tài)分布，記為 vsim N(0, ^2)，u 服從均值 0、標(biāo)準(zhǔn)差 的半正態(tài)分布，并在 0 處截?cái)嗾龖B(tài)分布，記為 usim N^+(0, ^2)，u 和 v 相互獨(dú)立。 采用最大似然估計(jì)法來估計(jì)模型的待估計(jì)參數(shù)。
由于使用公式編輯器編寫大型數(shù)學(xué)公式非常耗時(shí)，因此本文將使用5手寫寫出大部分推導(dǎo)過程，然后以截圖的形式插入到文本中。
隨機(jī)前沿模型對數(shù)似然函數(shù)的推導(dǎo)過程
由上圖可知，隨機(jī)前沿模型的對數(shù)似然函數(shù)可表示為： ln{L}= -Nlnsigma-frac{1}{2sigma^2}sum_{i =1} ^N^2+sum_{i=1}^NPhi(-frac{\}{sigma})\
相應(yīng)地，對數(shù)似然函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)可以寫為：
frac{ ln{L}}{ sigma^2}=-frac{N}{2sigma^2}+frac{1}{2sigma^4}sum_{i= 1}^N^2+frac{}{2sigma^3}sum_{i=1}^Nfrac{phi_i}{Phi_i}=0\ frac{ ln {L}}{ }=-frac{1}{sigma}sum_{i=1}^Nfrac{phi_i}{Phi_i}=0\ frac{\ln {L}}{\beta}=frac{1}{sigma^2}sum_{i=1}^Nx_i+frac{}{sigma}sum_{i=1}^ Nfrac{phi_i}{Phi_i}x_i=0
肉眼可見，這三個(gè)一階導(dǎo)數(shù)是復(fù)雜的非線性方程，無法給出參數(shù)的解析解。 一種常見的方法是使用集總最大似然估計(jì)（ ）進(jìn)行估計(jì)。
將第二個(gè)方程代入第一個(gè)方程，則第一個(gè)方程最后一項(xiàng)為0，則sigma^2的最大似然估計(jì)量為hat{sigma}^2=frac{1}{N }sum_{i=1}^N^2=frac{1}{N}sum_{i=1}^N(y_i-x_i'beta)^2。 換句話說，如果我們能夠得到參數(shù)β的估計(jì)量，我們就可以直接利用這個(gè)公式給出σ^2的估計(jì)量。
beta' 乘以第三個(gè)方程，加上 乘以第二個(gè)方程，得到frac{1}{sigma^2}sum_{i=1}^N\beta'x_i+frac{ }{sigma} sum_{i=1}^Nfrac{phi_i}{Phi_i}y_i=0\
將此表達(dá)式與一階導(dǎo)數(shù)中的第三個(gè)方程結(jié)合起來，如果已知 sigma^2，則可以給出 和 β 的估計(jì)量。
實(shí)際估算過程如下：
使用普通最小二乘估計(jì)法給出 β 的估計(jì)量； 根據(jù) β 的估計(jì)量計(jì)算 sigma^2 的估計(jì)量； 將 sigma^2 估計(jì)量代入聯(lián)立方程組，得到 和 beta 估計(jì)量； 可以根據(jù)新的 β 估計(jì)器計(jì)算新的 sigma^2 估計(jì)器。 如果參數(shù)估計(jì)量變化不大，則估計(jì)過程結(jié)束； 如果估計(jì)量的變化超過設(shè)定的容差，則重復(fù)2～4.隨機(jī)前沿模型的R語言代碼實(shí)現(xiàn)
大多數(shù)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型都可以在R語言中找到相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)代碼。 本文利用該包對隨機(jī)前沿模型做了具體的估計(jì)。 由于找不到原文中的數(shù)據(jù)集，所以采用2003年中國各省份的GDP、勞動力投入、資本投資數(shù)據(jù)進(jìn)行論證。 具體數(shù)據(jù)如下：
演示數(shù)據(jù)集
rm(list=ls())
## 載入必要的R語言包
library(frontier)
## 讀取原始數(shù)據(jù)
rawdata <- read.csv("rawdata.csv")
## 估計(jì)模型
result <- sfa(gdp~lab+cappri, data=rawdata)
## 查看回歸結(jié)果
print(summary(result))回歸結(jié)果如下所示：
簡單隨機(jī)前沿模型估計(jì)結(jié)果
注意上圖中估計(jì)參數(shù)中的gamma為^2/sigma^2，代表非對稱擾動項(xiàng)的方差占復(fù)合擾動項(xiàng)方差的比例。 造成這種差異的原因很簡單，就是后續(xù)估計(jì)方法的估計(jì)策略的改進(jìn)。
文獻(xiàn)綜述
該文件名為 and of。 該文獻(xiàn)首創(chuàng)了隨機(jī)前沿模型，并給出了最大似然法的估計(jì)策略。 但它沒有提供制造商效率的測量方法，僅適用于橫截面數(shù)據(jù)。 這些缺陷之中效率是指產(chǎn)出與投入之比，這也正是后來的文獻(xiàn)試圖彌補(bǔ)的。 這三位偉人為后來的很多學(xué)者創(chuàng)造了“飯碗”，很多人站在他們的肩膀上發(fā)表文章。
文章中的=/。 當(dāng)^2to0時(shí)，表示^2toinfty或^2to0。 此時(shí)，對稱隨機(jī)擾動項(xiàng)在復(fù)合擾動項(xiàng)中“占主導(dǎo)地位”，非對稱隨機(jī)擾動項(xiàng)所占份額較小。 ，相信這些進(jìn)入回歸的廠家效率值都比較高。 相反，如果 ^2toinfty ，則說明制造商存在一定的技術(shù)低效率。
R語言包的使用
在閱讀經(jīng)典文學(xué)作品時(shí)，我常常感到困惑。 我費(fèi)了好長時(shí)間才推導(dǎo)估算過程，但實(shí)際的估算代碼只需要一行。 我的努力不值得。 如果你只是用經(jīng)典模型來研究問題，那么只需要學(xué)習(xí)一點(diǎn)簡單的代碼就足夠了。 問題是，如果你想擴(kuò)展模型，或者嘗試實(shí)現(xiàn)更前沿的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型估計(jì)策略，那么簡單的代碼是不夠的。
現(xiàn)在我們就利用R語言包來簡單實(shí)現(xiàn)上面提到的估計(jì)策略。 讀者可以參考該包的幫助文檔來了解如何使用該包。 我們的目標(biāo)是加深對最大似然估計(jì)方法的理解，更好地學(xué)習(xí)R語言。
下面給出的代碼是一種粗暴的估計(jì)方法，沒有經(jīng)過任何優(yōu)化，但是編寫簡單，省時(shí)省力，并且在需要估計(jì)的參數(shù)不多的情況下運(yùn)行速度非常快。 這是培養(yǎng)自信的良好起點(diǎn)。 未來的專欄可能會考慮使用一些優(yōu)化算法。
## 清空當(dāng)前工作空間
rm(list=ls())
## 載入需要的R語言包
library(maxLik)
## 讀取原始數(shù)據(jù)
rawdata <- read.csv("rawdata.csv")
## 寫出對數(shù)極大似然函數(shù)
logLikFun <- function(param){
const <- param[1] # 常數(shù)項(xiàng)
parlab <- param[2] # 勞動投入對應(yīng)參數(shù)
parcap <- param[3] # 資本投入對應(yīng)參數(shù)
parlambda <- param[4] # lambda
parsigmaSq <- param[5] # sigma square
epsilon <- rawdata$gdp - const - parlab * rawdata$lab - parcap * rawdata$cappri
sum(-0.5 * log(parsigmaSq) - 0.5/parsigmaSq*epsilon^2 +
pnorm(-epsilon*parlambda/sqrt(parsigmaSq), log.p = TRUE))
}
## 使用最小二乘估計(jì)法獲取極大似然估計(jì)初始值
ols <- lm(gdp~lab+cappri, data=rawdata)
initCoff <- coef(ols)
## 暴力估計(jì)
mle <- maxLik(logLik = logLikFun,
start = c(
const = initCoff["(Intercept)"],
parlab = initCoff["lab"],
parcap = initCoff["cappri"],
parlambda = 0.5,
parsigmaSq = sum(residuals(ols)^2)/(31-3)
))
## 打印回歸結(jié)果
print(summary(mle))對應(yīng)的估計(jì)結(jié)果見下圖
估計(jì)結(jié)果與之前的結(jié)果非常相似。 注意這里的估計(jì)結(jié)果給出的參數(shù)是代替之前的gamma。
參考文獻(xiàn)：《高級宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)》（第四版）/（美國）Romer； 吳華斌、龔冠譯. 上海：上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2014。第 8 頁。效率和生產(chǎn)率分析導(dǎo)論/ 等。 王忠鈺譯. 第二版。 北京：中國人民大學(xué)出版社，2008年。第3頁。