頁(yè)碼………………………………………………………………名校名師推薦……………………………………………… ……第 1 頁(yè) ( 15) 萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用【A 級(jí) - 做題熟練快速保分】 1.（2018·上?？荚嚕╆P(guān)于萬(wàn)有引力定律，下列哪項(xiàng)表述正確的是( )A。 牛頓提出萬(wàn)有引力定律，并確定了萬(wàn)有引力常數(shù)的值 B.萬(wàn)有引力定律只適用于天體之間 C.萬(wàn)有引力的發(fā)現(xiàn)揭示了自然界相互作用的基本規(guī)律 D.地球作橢圓運(yùn)動(dòng)繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，太陽(yáng)在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)所施加的引力大小相同。 分析：選C。牛頓提出了萬(wàn)有引力定律，卡文迪什確定了萬(wàn)有引力常數(shù)的值。 萬(wàn)有引力定律適用于任何物體。 兩者之間，萬(wàn)有引力的發(fā)現(xiàn)揭示了自然界的基本相互作用規(guī)律。 選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確。 地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)，太陽(yáng)引力的大小在近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)是不同的。 是的，D選項(xiàng)錯(cuò)誤。 2、近年來，人類發(fā)射的多顆火星探測(cè)器陸續(xù)登陸火星，令人興奮的科學(xué)研究正在進(jìn)行中，為我們未來登陸火星、開發(fā)利用火星資源奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 如果火星探測(cè)器繞火星作“近地”勻速圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)量到的該運(yùn)動(dòng)周期為T，則火星平均密度ρ的表達(dá)式為（k為某個(gè)常數(shù)） ( ) A. ρ =kTB． ρ＝eq f(k,T)C． ρ=kT2 D. ρ＝eq f(k,T2) 分析：選D。當(dāng)火星探測(cè)器繞火星軌道做“近地”勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，Geq f(Mm,R2)＝meq f( 4π2,T2)R，且M =eq f(4,3)πR3·ρ，可得ρ=eq f(3π,GT2)=eq f(k,T2)，所以只有D是正確的。
★3. （2017·浙江四月精選）如圖所示，假設(shè)行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，金星本身的半徑是火星的n倍，質(zhì)量是火星的k倍。 不考慮行星自轉(zhuǎn)的影響，則( )A。 金星表面的引力加速度是火星 B 的 eq f(k,n) 倍。金星的“第一宇宙速度”是火星 C 的 eq r(f(k,n)) 倍。金星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的加速度比火星D小。金星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期比火星大。 分析：選擇B，由Geq f(Mm, R2)=mg，得g=eq f(GM, R2)。 可見eq f(g gold, g fire) = eq f(k,n2)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤； 由 Geq f(Mm,R2)＝meq f(v2,R)，得 v＝ eq r(f(GM,R))，可見 eq f( v gold, v fire ) = eq r(f(k,n))，選項(xiàng)B正確； 由Geq f(Mm,r2)=ma，我們得到a=eq f(GM,r2)，可見距離越遠(yuǎn)，加速度越小，而eq f(r3, T2) = c，可見距離越遠(yuǎn)，周期越大，故C、D選項(xiàng)均錯(cuò)誤。 4． [多選]（2016·海南高考）通過觀測(cè)冥王星的衛(wèi)星，可以計(jì)算出冥王星的質(zhì)量。 假設(shè)衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，除了引力常數(shù)外，至少還需要兩個(gè)物理量來計(jì)算冥王星的質(zhì)量。 這兩個(gè)物理量可以是( )A。 衛(wèi)星速度和角速度 B. 衛(wèi)星的質(zhì)量和軌道半徑 C. 衛(wèi)星的質(zhì)量和角速度 D. 衛(wèi)星運(yùn)行周期和軌道半徑分析：選擇AD。 根據(jù)線速度和角速度，可求出半徑r=eq f(v,ω)。 根據(jù)萬(wàn)有引力提供的向心力，有eq f(GMm,r2)=meq f (v2,r)，可得M=eq f(v3,Gω)，故選項(xiàng)A正確； 由于衛(wèi)星的質(zhì)量m可以減小，選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤； 如果我們知道衛(wèi)星的運(yùn)行周期和軌道半徑 ，則由 eq f(GMm,r2)=meq blc(rc)(avs4alco1(f(2π,T) ))2r，得M=eq f(4π2r3,GT2)，故選項(xiàng)D正確。
5.（2018·廣州勘測(cè)）“嫦娥五號(hào)”探測(cè)器預(yù)計(jì)2018年發(fā)射，將自動(dòng)完成月表樣本采集，然后從月球起飛返回地球，帶回月面樣本約2公斤月球樣本。 一位學(xué)生從上面得到了一些信息。 如表中數(shù)據(jù)所示，地球與月球的密度之比為 () 地球與月球的半徑之比 4 地球表面與月球表面的重力加速度之比 6A 。 eq f(2,3) B. eq f(3,2)C. 4 D． 6 分析：選B。在地球表面，重力等于萬(wàn)有引力，所以mg=Geq f(Mm,R2)。 解為M=eq f(gR2,G)，故地球密度ρ=eq f(M, V)＝eq f(f(gR2,G),f(4,3) πR3)＝eq f(3g,4πGR)。 同理，月球的密度ρ0=eqf(3g0,4πGR0)。 因此，地球和月球的密度之比eq f(ρ,ρ0)=eq f(gR0,g0R)=eq f(3,2),B是正確的。 6、如圖所示，取一個(gè)半徑為R，質(zhì)量為M的均勻大球，沿直徑挖出兩個(gè)半徑為大球一半的小球，將其中一個(gè)放在球外，抵住大球。 同時(shí)，如果小球的中心、球外的小球的中心和大球的中心在一條直線上，則大球其余部分之間的萬(wàn)有引力大小小球與小球外的小球的質(zhì)量近似為（已知萬(wàn)有引力常數(shù)為G）( )A。 0.01 eq f(GM2,R2) B. 0.02 eq f(GM2,R2)C. 0.05eq f(GM2,R2) D. 0.04eq f(GM2,R2) 分析：選D。由題可知，挖出的球的半徑為eq f(R,2)，質(zhì)量為eq f(M,8)，所以沒有挖出來。 小球前面的大球?qū)η蛲庑∏虻囊Υ笮?F=Geq f(M×f(M,8),blc(rc) (avs4alco1( R+f(R,2)))2)=eq f(GM2,18R2)，將挖出的其中一個(gè)球填入原來的位置，然后填入兩個(gè)球之間的距離左邊原位球和外側(cè)球 萬(wàn)有引力為 F1=Geq f(f(M,8)×f(M,8),?2R?2)=eq f(GM2,256R2) ，將小球原來的位置填入球的右側(cè)和球外 小球的重力為 F2=Geq f(f(M,8)×f(M,8),R2)=等式 f(GM2,64R2)。 大球的剩余部分對(duì)球外的小球施加力。 萬(wàn)有引力的大小為F3＝F－F1－F2≈0.04eq f(GM2,R2)。 選項(xiàng)D正確。
7.（2018·盤錦模擬）兩顆互不影響的行星P1和P2有一顆近地衛(wèi)星S1和S2圍繞它們做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 圖中，縱軸表示行星周圍空間某一位置的重力加速度a，橫軸表示某一位置到行星中心的平方距離r的倒數(shù)。 a-eq f(1,r2)關(guān)系如圖所示。 衛(wèi)星S1和S2的重力加速度大小為a0。 那么( )A。 S1的質(zhì)量大于S2 B. P1的質(zhì)量大于P2 C. P1的第一宇宙速度小于P2 D. P1的平均密度大于P2分析：選B。萬(wàn)有引力為向心力，故Geq f(Mm,r2)=ma。 解為a=GMeq f(1,r2)，所以圖像的斜率k=GM，因?yàn)镚是常數(shù)，M代表行星的質(zhì)量，斜率越大，行星的質(zhì)量越大。 因此，P1的質(zhì)量大于P2的質(zhì)量。 由于計(jì)算過程中可以減少衛(wèi)星的質(zhì)量，因此無(wú)法判斷衛(wèi)星的質(zhì)量關(guān)系。 A錯(cuò)誤，B正確； 由于這兩顆衛(wèi)星都是近地衛(wèi)星，因此它們的軌道半徑可以認(rèn)為等于行星半徑。 根據(jù)第一宇宙速度公式 v=eq r(gR)，我們可以得到 v=eq r(a0R) ，從標(biāo)題圖可以看出，當(dāng)兩個(gè)加速度均為 a0 時(shí)，P2 的半徑小于P1 的第一宇宙速度大于 P2 的第一宇宙速度，C 錯(cuò)誤； 行星密度 ρ = eq f(M ,V)＝eq f(M,f(4,3)πR3)＝eq f(f(a0R2,G),f(4,3 )πR3)＝eq f(3a0,4πGR) ，因此行星半徑越大，密度越小，因此P1的平均密度比P2的平均密度小，D誤差。
8、如圖所示，A、B是兩顆繞地球勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星。 同等時(shí)間內(nèi)兩顆衛(wèi)星A、B的連線與地心所掃過的面積之比為k，不包括A、B。兩顆衛(wèi)星之間的引力，則兩顆衛(wèi)星的周期之比衛(wèi)星 A 和 B 是 ( )A。 k3 B． k2C。 kD． keq f(2,3) 分析：選擇A，假設(shè)衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r，周期為T萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用，則t時(shí)間內(nèi)與地心連線所掃過的面積則 S=eq f(t ,T)πr2，即 eq f (SA, SB) = eq f (rA2TB, rB2TA) = k。 根據(jù)開普勒第三定律 eq f (rA3, TA2) = eq f (rB3, TB2 )，聯(lián)立解為 eq f (TA, TB) = k3，A 正確。 9.（2018·寶雞一墨）宇航員在某顆行星上進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)，檢測(cè)其自轉(zhuǎn)周期：在該行星的兩極，用彈簧秤測(cè)量質(zhì)量為F的重物的重力，當(dāng)在赤道處測(cè)量，重量施加的重力為F'。 他還發(fā)現(xiàn)探測(cè)器繞行星表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T。假設(shè)行星可以看成一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體，則它的自轉(zhuǎn)周期為( )A。 Teq r(avs4al(f(F′,F))) B. Teq r(f(F,F′))C． T eq r(avs4al(f(F－F′,F))) D. T eq r(f(F,FF′)) 分析：選D，假設(shè)質(zhì)量行星和探測(cè)器在兩極分別為 m 和 m′，有： Geq f(Mm,R2)=F，在赤道有： Geq f(Mm,R2)-F′=MReq f( 4π2,T 來自 2)。 探測(cè)器繞行星表面勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，則有： Geq f(mm ′,R2)=m′ Req f(4π2,T2)； 結(jié)合以上三個(gè)方程，我們得到 T = Teq r(f(F,FF′))。
因此，D正確，A、B、C錯(cuò)誤。 10.（2018·東北三省四市一個(gè)模型）開普勒第三定律規(guī)定：所有行星軌道半長(zhǎng)軸的立方與其公轉(zhuǎn)周期的平方之比相等。 該定律適用于所有具有中心天體的引力系統(tǒng)。 如圖所示，嫦娥三號(hào)探月衛(wèi)星繞月球運(yùn)行一條半徑為r、周期為T的圓形軌道I，月球半徑為R，引力常數(shù)為G。在某一時(shí)刻嫦娥三號(hào)衛(wèi)星在A點(diǎn)變軌進(jìn)入橢圓軌道II，降落在月球表面B點(diǎn)。 A、O、B 三點(diǎn)在一條直線上。 求：（1）月球的密度； (2) 進(jìn)入軌道 II 所需的時(shí)間。 分析： (1) 萬(wàn)有引力作為向心力： eq f(GMm,r2)=meq blc(rc)(avs4alco1(f(2π,T)) ))2r ，解為 M=eq f(4π2r3,GT2) 月球的密度： ρ=eq f(M,f(4,3)πR3)，解為 ρ=eq f( 3πr3,GT2R3)。 (2) 橢圓軌道的半長(zhǎng)軸：a＝eq f(R+r,2)，假設(shè)橢圓軌道的運(yùn)行周期為T1，根據(jù)開普勒第三定律：eq f(a3, T12)＝eq f(r3,T2)，在軌道II上運(yùn)行的時(shí)間為t=eq f(T1,2)，解為t=eq f(?R+r?T,4r) eq r(f(R+r, 2r))。
答案： (1)eq f(3πr3,GT2R3) (2)eq f(?R＋r?T,4r) eq r(f(R＋r,2r))[B級(jí) - 穩(wěn)定準(zhǔn)確地做高題】★11． 已知質(zhì)量為 m 的物體與北極和赤道靜止地面之間的壓力差為 ΔN。 假設(shè)地球是一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R，則地球自轉(zhuǎn)周期為( )A。 T＝2π eq r(f(mR,ΔN)) B. T＝2π eq r(f(ΔN,mR))C. T＝2π eq r(f(mΔN,R)) D. T＝2π eq r(f(R,mΔN)) 分析：選A，在北極，物體所受的萬(wàn)有引力F等于支撐力N。在赤道處，F(xiàn)－N＝ΔN＝mReq blc (rc)(avs4alco1(f(2π,T)))2萬(wàn)有引力定律及其應(yīng)用，解為 T=2π eq r(f(mR,ΔN))，A 正確。 ★12. （2018·商丘模擬）地質(zhì)勘探發(fā)現(xiàn)某區(qū)域地表重力加速度發(fā)生明顯變化，懷疑地下存在空洞區(qū)域。 進(jìn)一步探測(cè)發(fā)現(xiàn)，地面P點(diǎn)正下方的球形空腔區(qū)域儲(chǔ)存有天然氣，如圖所示。 假設(shè)該地區(qū)巖石分布均勻，密度為ρ，則天然氣的密度遠(yuǎn)小于ρ，可以忽略不計(jì)。 如果沒有這樣的空腔，則地球表面的法向重力加速度為g； 由于空腔的存在，測(cè)得P點(diǎn)重力加速度為kg(k