第二章牛頓定律
一、主要內容
本章內容包括力的概念及其計算方法，重力、彈性、摩擦力的概念和計算，牛頓運動定律、物體平衡、失重和超重等概念和定律。 重點內容是牛頓第二定律中重力、彈性和摩擦力的應用，要求學生能夠建立正確的“運動與力的關系”。 因此，深入理解牛頓第一定律是本章運用牛頓第二定律解決具體物理問題的基礎。
2. 基本方法
本章涉及的基本方法有：力的分解與合成的平行四邊形法則，它是所有向量加減法的通用法則； 在利用牛頓第二定律解決具體的實際問題時，往往需要轉換某種將一個物體與許多其他物體隔離的“隔離方法”來進行受力分析。 隔離法是分析物體受力的基礎，而對物體受力的分析是應用牛頓第二定律的基礎。 因此，這種從復雜對象中分離出孤立對象來進行研究的方法在本章中非常重要。
3. 誤讀分析
在運用本章知識的過程中，初學者常犯的錯誤主要體現在無法正確分析物體所受的力。 其原因通常發生在彈性和摩擦力的分析計算中，尤其是摩擦力。 （特別是靜摩擦力的分析）； 無法準確掌握運動與力之間的關系。 例如，用牛頓第二定律和運動學公式解決問題時，用矢量公式計算時經常會出現正負號。 產生錯誤的本質原因是沒有正確把握運動與力的關系，錯誤地認為，無論向哪個方向施加合力，物體都會朝那個方向運動。
例1 A、B兩個人手拉手玩拔河游戲。 結果斜面物體摩擦力怎么算，A贏了，B輸了。 那么，A和B誰受到的拉力更大呢？
【錯誤解釋】因為A打敗了B，所以A對B的拉力大于B對A的拉力。就像拔河一樣，甲方的勝利一定是由于甲方對乙方的強力拉力。
【產生誤讀的原因】 產生上述誤讀的原因是學生依靠主觀想象，而不是根據物理定律來分析問題。 根據物理定律，我們知道物體的運動狀態不是由任何一種力決定的，而是由外力的總和決定的。 A戰勝B是外力作用于A的結果。根據牛頓第三定律，A和B之間的拉力是相互作用力。 A、B之間的拉力相等。
【解析答案】A、B之間的拉力是相互作用力。 根據牛頓第三定律，它作用于A和B，大小相等，方向相反。
【解說】生活中有些感覺并不總是正確的。 你不能把你生活中的經歷和感受當作法律。 你必須使用物理定律來解決問題。
例2 如圖2-1所示，將一塊木塊放置在水平桌子上。 它受到水平方向三個力F1、F2和摩擦力的作用，處于靜止狀態。 其中，F1=10N，F2=2N。 若去掉力F1，則水平方向作用在木塊上的總外力為（）
A.10N 向左 B.6N 向右 C.2N 向左 D.0
【錯誤解釋】木塊在三個力的作用下保持靜止。 當F1去掉后，另外兩個力的合力與去掉的力大小相等、方向相反。 因此A是正確的。
【誤讀原因】 造成上述誤讀的原因是“物體在幾種力的作用下處于平衡狀態”，未經分析就生搬硬套。 如果在某一時刻去除一個力，則其他力的合力等于去除的力的大小。 ，方向與這個力的方向相反”。事實上，這個定律成立有一個前提，就是去掉其中一個力，而其他力不變。去掉本題中的F1后，結論不成立，因為摩擦力發生了變化。
【分析與解答】由于木塊本來是靜止的，所以它所受到的摩擦力是靜摩擦力。 根據牛第二定律，F1-F2-f=0。 此時靜摩擦力為8N，方向向左。 F1移開后，木塊受到水平方向向左2N的力，有向左移動的趨勢。 由于F2小于最大靜摩擦力，因此摩擦力仍然是靜摩擦力。 此時-F2+f′=0，即合力為零。 因此選項D正確。
【分析】摩擦問題主要用于分析物體的運動趨勢和相對運動。 所謂運動趨勢，一般理解為物體即將運動但尚未運動的狀態。 之所以沒有運動，是因為存在靜摩擦力，靜摩擦力阻礙了相對運動，使物體之間的相對運動表現為趨勢。 確定運動趨勢方向的方法是假設不存在靜摩擦力，確定物體相對于物體向哪個方向運動。 相對運動方向就是運動趨勢的方向。 如果去掉靜摩擦力，就沒有相對運動，也就沒有相對運動趨勢，靜摩擦力就不存在了。
實施例3 如圖2-2所示，將物體m放置在水平放置的長條粗糙木板上。 當一端慢慢抬起時，木板上的壓力和摩擦力會發生怎樣的變化？
【錯誤解釋】以木板上的物體為研究對象。 物體受到重力、摩擦力和支撐力的影響。由于物體處于靜止狀態，根據牛頓第二定律，我們有
錯誤解1：根據式②可知，隨著θ的增大，f增大。
錯誤解法2：另一種錯誤解法是，根據式②，θ增大，N減小，則f=μN，說明f減小。
【錯誤解讀原因】錯誤解讀1和2都未能充分理解慢慢抬起木板的整個過程。 它只掌握了一方面，缺乏對身體情況的分析。 如果我們能從木塊仍然相對于木板的事實出發，分析它再次升起時會相對滑動，我們就可以避免錯誤解釋的錯誤。 如果你認為f=μN是滑動摩擦力的判據，那么你應該考慮一下滑動之前發生了什么，這樣你就會避免第二個誤區。
【分析與解答】以物體為研究對象，如圖2-3所示。 物體受到重力、摩擦力和支撐力的影響。 在緩慢提升的過程中，物體先停止，然后滑動。 當靜止時，我們可以遵循錯誤解1中的解。可以看出，隨著θ的增大，靜摩擦力增大。 當物體在斜面上滑動時，可同理第二種方案中的方法來求解。 根據f=μN，分析N的變化，可知f滑動的變化。 隨著 θ 增大斜面物體摩擦力怎么算，滑動摩擦減小。 整個慢升過程中y方向的方程關系保持不變。 根據中國式②的錯誤解法，壓力不斷減小。 因此，在抬起木板的過程中，摩擦力的變化先增大后減小。 壓力不斷減小。
【解說】物理問題存在著一些不是單調的變化過程。 可以看作是平衡問題中的一類問題。 此類問題應把握研究變量與不變量之間的關系。 您可以從力分析開始并列出平衡方程來查找關系。 您還可以使用圖表并使用矢量三角形規則來解決問題。 當本題中的物體不滑動時，它處于平衡狀態，其加速度為零。 其上的三個力形成一個封閉的三角形。 如圖2-4所示。 圖 2-5 顯示了類似的問題。 用繩子將球掛在光滑的墻上。 當繩子變短時，繩子的張力和球對墻壁的壓力會如何變化。 從對應的矢量三角形圖2-6不難看出，當繩子變短時，角度θ增大，N增大，T變大。 圖2-7 在AC繩上掛一個重物G，在AC繩的中點O處系一根繩BO，用水平力F拉動繩BO，保持AO方向不變，使BO繩緩慢移動沿虛線所示方向向上。 移動。 在此過程中，力F和AO繩上的張力如何變化？ 使用向量三角形（如圖2-8所示），我們可以看到T變小，F先變小然后變大。 這類問題的特點是三個公共點力是平衡的。 通常，其中一個力的大小和方向保持不變，另一個力保持方向相同但大小發生變化，第三個力的大小和方向發生變化。 有時一種力的大小和方向保持不變，另一種力的大小和方向保持不變，而第三種力的大小和方向發生變化。
例4 如圖2-9所示，物體靜止在斜面上。 此時用一個水平外力F來推動物體。 隨著外力F從零逐漸增大，物體始終保持靜止。 物體上的摩擦力如何變化？
【錯誤解釋】 錯誤解釋1：以斜面上的物體為研究對象。 物體所受的力如圖2-10所示。 物體受到重力mg、推力F、支撐力N、靜摩擦力f。 由于推力F是水平向右的，所以物體有向上運動的趨勢，而摩擦力f的方向是沿著斜面向下的。根據牛頓第二定律建立方程
f+mgsinθ=Fcosθ ①
N-Fsinθ-mgcosθ=0 ②
由式①可見，隨著F的增大，f也隨之增大。 因此，在變化過程中摩擦會增加。
誤區二：有的同學認為摩擦力的方向是沿斜坡向上，則F增大，摩擦力減小。
【誤判原因】造成上述誤判的原因是靜摩擦力不清楚，因此無法分析外力變化過程中摩擦力的變化。
【分析與解答】本題的關鍵是確定摩擦力的方向。 由于外力的變化，斜面上物體的運動傾向發生變化。 如圖2-10所示，當外力較小時（Fcosθ<mgsinθ），物體有向下運動的趨勢，摩擦力的方向沿斜面向上。 F 增大，f 減小。 與錯誤答案2的情況相同。如圖2-11所示，當外力較大時（Fcosθ>mgsinθ），物體有向上運動的趨勢，摩擦力的方向沿斜坡向下。 當外力增大時，摩擦力增大。 當Fcosθ=mgsinθ時，摩擦力為零。 因此，當外力從零逐漸增大時，摩擦力的變化先減小后增大。
【解說分析】如果一個斜面上的物體沿斜面下滑，質量為m，物體與斜面之間的摩擦系數為μ，我們可以考慮兩個問題來鞏固前面的分析方法。
(1) 當F取什么值時，物體將保持靜止。
(2)當F取什么值時，物體從靜止開始，以加速度a沿斜面運動。
受上一個問題的啟發，我們可以認為F的值應該是一個范圍。
首先，將對象作為研究對象。 當F較小時，如圖2-10所示，物體受到重力mg、支撐力N、斜向上摩擦力f和F的影響。當物體剛剛靜止時，應為F的邊界值此時的摩擦力為最大靜摩擦力，可近似視為f = μN（最大靜摩擦力）。 建立如圖所示的坐標，并根據牛頓第二定律建立方程。
當F從此值開始增大時，靜摩擦力的方向仍是斜向上，但大小減小。 當F增大到FCOSθ=mgsinθ，即F=mg·tgθ時，F再次增大，摩擦力的方向變為斜向下。 ，仍可根據受力分析圖2-11列出方程
隨著F增大，靜摩擦力增大，F的最大值對應于對角向下的最大靜摩擦力。
為使物體靜止，F的值應為
關于第二個問題，請讀者注意，該問題并沒有問以加速度a向上還是向下移動。 應考慮兩種解決方案。 這里不再詳細解釋。 給出答案供參考。
例5 如圖2-12所示，m和M保持相對靜止，并沿著傾斜角為θ的光滑斜坡滑下。 M和m之間的摩擦力是多少？
【錯誤解釋】以m為研究對象，如圖2-13所示，該物體受到重力mg、支撐力N、摩擦力f。 如圖所示，建立的坐標為
然后以m+N為研究對象進行受力分析，如圖2-14所示，(m+M) g·sinθ = (M+m) a③
根據方程①、②、③，f=0
所以m和M之間不存在摩擦。
【錯誤解讀的原因】 造成錯誤解讀的主要原因是沒有良好的解題習慣，盲目模仿。 看似解決問題的步驟有很多，但思路卻沒有跟上。 要分析摩擦力，您需要找到接觸面。 摩擦力的方向必須與接觸面相切。 這一步是為了堵住錯誤的起點。 犯上述錯誤的客觀原因是固定型思維，即一看到斜面的摩擦力就跟隨斜面的方向。 這歸結于對物理過程的不明確分析。
【解析答案】由于m和M保持相對靜止，所以（m+M）作為一個整體可以作為研究對象。力，如圖2-14所示，重力（M+m）g，支撐力N′ ，建立如圖所示的坐標，并根據牛頓第二定律建立方程
x: (M+n)gsinθ=(M+m)a ①
求解得到 a=gsinθ
下坡。 由于需要m與M之間的相互作用力，故以m為研究對象，力如圖2-15所示。
根據牛頓第二定律建立方程
因為m，M的加速度是沿著斜坡的方向。 需要分解為水平方向和垂直方向，如圖2-16所示。
由式②、③、④、⑤得，f=mgsinθ·cosθ
方向沿水平方向m，受到向左的摩擦力，M受到向右的摩擦力。
【分析】這個問題可以看作是連接器的問題。 連接器問題對于解決問題過程中研究對象的選擇非常重要。 有時以整體為研究對象，有時以單個對象為研究對象。 整體作為研究對象可以去除未知的相互作用力，而單個對象作為研究對象主要解決相互作用力。 單個對象的選擇應基于其接觸的最少對象數量。 例如，m僅與M接觸，而M和m還與斜面接觸。
另外，需要指出的是，應用牛頓第二定律解決問題時，有時需要分解力，有時需要分解加速度。 在具體情況分析時，不要形成只有力才能分解的認識。
示例6 如圖2-17所示，物體A堆疊在物體B上，物體B放置在光滑的水平面上。 A、B的質量分別為mA=6kg、mB=2kg。 A、B之間的動摩擦系數為μ=0.2。 開始時F=10N，然后逐漸增大。 在增加到45N的過程中，則
[ ]
A．當拉力F＜12N時，兩個物體保持靜止。
B. 最初兩個物體之間沒有相對運動。 當拉力超過12N時，它們開始相對滑動。
C.從施加力的瞬間起，兩個物體之間就存在相對運動。
D.兩個物體之間始終沒有相對運動
【錯誤答案】因為靜摩擦力的最大值約等于滑動摩擦力。 fmax=μN=0.2×6=12(N)。 所以當F>12N時，物體A相對于物體B移動。當F<12N時，A相對于B不移動。所以選項A和B是正確的。
【錯誤分析】出現上述錯誤的原因是對選項A理解不正確，A中說的是兩個物體保持靜止，以地面為參考。 顯然，當力F作用于物體A時，A、B兩個物體都相對于地球運動。 二是受地面物體運動的影響。 實際上，物體在不固定物體上的運動是不同的。
【分析與解答】首先將A、B作為一個整體作為研究對象，受力如圖2-18所示。 只有水平方向的拉力F。 該方程是根據牛頓第二定律制定的。
F=(mA+mB)a ①
然后以B為研究對象，如圖2-19所示，B受到水平方向的摩擦力
f=mBa ②
代入公式①F=(6+2)×6=48N
可見，當F<48N時，A、B之間的摩擦力達不到最大靜摩擦力，即A、B之間不會有相對運動。所以選項D是正確的。
【解說】物理解題必須非常嚴謹，任何疏忽都會導致錯誤。 避免錯誤的最好方法就是按照規范解決問題。 每一步都必須有基礎。
例7 如圖2-20所示，用繩索AC和BC提升重物。 繩索與垂直方向的夾角分別為30°和60°。 AC繩可承受的最大拉力為150N，而BC繩可承受的最大拉力為100N。 物體的最大重力不能超過它是多少？
【錯誤解釋】以重物為研究對象，重物所受的力如圖2-21所示。由于重物是靜止的，所以有
°=°
°+°=G
將TAC=150N和TBC=100N代入方程，可得G=200N。
【誤讀原因】 造成上述誤讀的原因是學生錯誤地認為當TAC=150N時，TBC=100N，而沒有仔細分析力之間的關系。 事實上，當TBC=100N時，TBC已經超過了150N。
[分析與解答]以重物為研究對象。 重物所受的力如圖2-21所示。 重物靜止，加速度為零。根據牛頓第二定律建立方程
°-°=0 ①
°+°-G=0 ②
而當TAC=150N時，TBC=86.6<100N
將TAC=150N和TBC=86.6N代入式②，得到G=173.32N。
因此，重物的最大重力不能超過173.2N。
實施例8 如圖2-22所示，將質量為M、傾斜角為α的楔形物體A放置在水平地面上。 質量為 m 的物體 B 從楔形光滑斜面上的靜止狀態釋放。 物體 A 保持靜止，而物體 B 加速向下。 地面的壓力有多大？
【錯誤解釋】將A、B作為一個整體作為研究對象。 力如圖2-23所示。 因為物體A是靜止的，所以N=G=(M+m)g。
【錯誤解釋原因】由于A和B的加速度不同，所以不能認為它們是同一個物體。 忽視這一點可能會導致誤解。
【分析與解答】分別以對象A和對象B為研究對象。 物體A和B上的力分別如圖2-24a和2-24b所示。 根據牛頓第二運動定律，物體A處于靜止狀態，加速度為零。
x：Nlsinα-f=0 ①
y：N-Mg-Nlcosα=0 ②
物體B向下滑動的加速度為a，
x：mgsinα=ma ③
y：Nl-mgcosα=0 ④
由式①、②、③、④可得N=Mg+mgcosα
根據牛頓第三定律英語作文，地面壓力為Mg減去mgcosα。
【分析】在求解物體運動問題和選擇研究對象時，如果要將多個物體作為一個整體作為研究對象，需要注意這些物體必須具有相同的加速度。
例9 如圖2-25所示，用輕彈簧連接兩個相同質量的小球，用繩子懸掛在天花板上。 兩個球都保持靜止。 當突然切線時，上球A和下球B的加速度為[ ]
A。 a1=g a2=g
B、a1=g a2=g
C、a1=2g a2=0
D、a1=0 a2=g
【錯誤解釋】剪弦時，以（A+B）為研究對象。 系統僅受重力影響，因此加速度為g，因此球A和B的加速度為g。 故選A。
【錯誤解讀原因】造成上述錯誤解讀的原因是研究對象選擇不正確。 由于繩子被切斷時，球A和B的加速度不同，因此不能將它們作為一個整體來研究。
[分析與解答] 分別以A、B為研究對象，進行剪切前和剪切時的應力分析。 A和B仍處于切割前狀態。 如圖2-26所示，球A受到三個力，拉力T、重力mg和彈力F。球B受到三個力，重力mg和彈簧拉力F′
球A：T-mg-F=0 ①
球B：F′-mg=0 ②
由式①、②可知，T=2mg，F=mg
剪切時，球 A 受到兩個力。 因為繩子是無彈性的，剪切時不存在瞬時拉力，但彈簧有形狀，其瞬時形狀無法改變，但彈性仍然存在。 如圖2-27所示，球A受到重力mg和彈簧給出的彈力F的作用。 同理，球B受到重力mg和彈力F′的影響。
球A：-mg-F=maA ③
球B：F′-mg=maB ④
由式③可得aA=-2g（方向向下）
由式④可得aB=0
因此選項C是正確的。
【解說】（1）牛頓第二定律體現了力與加速度的瞬時對應關系。 凈外力保持不變，加速度保持不變。 合外力瞬時變化，加速度瞬時變化。 本題中，球A被剪切的瞬間總外力發生變化，加速度從0變化到2g。 但球B被剪切的瞬間總外力不變，加速度保持不變。
(2)彈簧和繩索是兩種具有不同特性的物理模型。 彈簧不計算其質量，k是彈性極限內的常數。 繩子沒有質量，也沒有彈性，可以瞬間消失。 因為彈簧有變形，它不可能瞬間改變，也就是說變形不會瞬間改變，需要一段時間。
例10 如圖2-28所示，有一條水平傳送帶以2m/s的恒定速度移動。 現在將一個物體輕輕地放在傳送帶上。 如果物體與傳送帶之間的動摩擦系數為0.5，則傳送帶將傳送物體10m。 距離有多長？
【錯誤解釋】由于物體輕放在傳送帶上，v0=0，物體垂直方向的總外力為零，在傳送帶上受到滑動摩擦力（傳送帶施加）水平方向。 做v0=0的勻加速運動，位移10m。
根據牛頓第二定律F=ma，f=μmg=ma，a=μg=5m/s2
【錯誤解法原因】 上述解法的錯誤在于對這個物理過程的理解。 放置在傳送帶上的物體的運動可以分為兩個過程。 一是在滑動摩擦力的作用下作勻加速直線運動； 第二，達到與傳送帶相同的速度后，沒有相對運動，也沒有摩擦力，物體開始做勻速直線運動。 關鍵問題應該是分析輸送帶的速度何時達到來回答問題。
【分析與解答】以輕輕放置在傳送帶上的物體為研究對象，如圖2-29所示，其在垂直方向受到重力和支撐力，在水平方向受到滑動摩擦力，并受到v0=0 的勻加速運動。
根據牛第二定律，F=ma
存在水平方向：f=ma ①
垂直方向：N-mg=0 ②
f=μN ③
由式①、②、③可得a=5m/s2
假設在時間t1之后，物體的速度達到傳送帶的速度。 根據勻加速直線運動的速度公式
v0=v0+在 ④
解為t1=0.4s
當物體的位移為0.4m時，物體的速度與傳送帶的速度相同。 0.4秒后，物體沒有摩擦力，開始勻速運動。
S2=v2t2 ⑤
因為S2=S-S1=10-0.4=9.6(m)，所以v2=2m/s
代入式⑤，得t2=4.8s
那么傳輸10m所需時間為t=0.4+4.8=5.2s。
【分析】這道題是一個比較復雜的題，涉及到兩個物理過程。 此類問題應把握物理情況并提出解決辦法。 對于不能直接確定的問題，可以采用試算法。 例如，在這道題中，錯誤的解法是進行10米的勻加速直線運動，耗時2秒。 你可以用它來計算，2s結束時的速度是多少？ 計算結果為v=5×2=10（m/s），已經超過了傳送帶的速度。 這是不可能的。 當物體速度增加到2m/s時，摩擦力瞬間消失。 這樣就可以確定第二物理過程。
例11 如圖2-30所示，彈簧臺秤的秤盤質量和彈簧質量可以忽略。 物體P放置在盤中并處于靜止狀態。 P的質量為12kg，彈簧的剛度系數k=800N/m。 現在向 P 施加垂直向上的力 F，使 P 從靜止狀態以均勻加速度向上移動。 已知F在前0.2s內是變化的，0.2s后F為恒力。 F 的最小值是多少，最大值是多少？
【錯誤解讀】
F的最大值為N=0時，F=ma+mg=210(N)
【錯誤解釋原因】 錯誤解釋的原因是沒有理解問題中描述的過程。 平衡狀態下的關系G=F+N不知不覺地融入到問題的解決中。
【解析答案】解決問題的關鍵是要理解隱含條件：0.2s之前F為變力，0.2s之后F為恒力。 即0.2s之前物體所受的力比0.2s之后的力有更大的變化。
以對象P為研究對象。 當物體P靜止時，它受到重力G和稱重盤給予的支撐力N。
因為物體是靜止的，所以ΣF=0
N=G=0 ①
N=kx0 ②
設物體向上勻加速的加速度為a。
此時，物體P受到重力G、拉力F和支撐力N'，如圖2-31所示。
根據牛頓第二定律，有
F+N′-G=ma ③
當物體上的拉力F在0.2s后變得恒定時，表示P與圓盤分離，即彈簧沒有變形，物體在0到0.2s內的位移為x0。當物體開始從靜止開始移動，然后
將式①、②中得到的x0=0.15m代入式③中，可得a=7.5m/s2
由式③可知，F的最小值是N′最大時，即初始力矩N′=N=kx。
代入式③可得
Fmin=ma+mg-kx0
=12×(7.5+10)-800×0.15
=90(N)
F的最大值為N=0時，F=ma+mg=210(N)
【分析】如果本題不能忽略稱重盤的質量，那么分析時需要注意的是，當P物體與稱重盤分離時，彈簧的變形不為0，彈簧的位移P對象不等于x0，但應等于x0-x（其中x是秤盤對彈簧的壓縮量）。