物理通報(bào)2018年中學(xué)物理教學(xué)年度刊9 橢圓軌道行星周期和能量的證明 張海麗侯樹()東北師范大學(xué)物理學(xué)院吉林長(zhǎng)春(:)收稿日期2018年05月30日:,,摘要多高中生對(duì)行星很感興趣，對(duì)證明橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的周期和能量很感興趣，想了解其中的來龍去脈，但高中課本上沒有證明過程。 雖然大學(xué)教材里有完整的證明過程，但用的是微積分。 本文的目的不是使用微積分。 在大學(xué)微積分和微積分的前提下，利用高中物理知識(shí)，完全證明了行星橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的周期和能量。 ：關(guān)鍵詞：高中物理橢圓軌道周期能量，是行星角動(dòng)量的大小，是垂直于徑向方向的速度Lvτ 1.問題引出[] 2.度是行星與行星之間的距離r太陽。 德國天文學(xué)家開普勒于1609年發(fā)現(xiàn)了開普勒2號(hào)。 公式推導(dǎo)：第一定律和第二定律 開普勒第一定律涵蓋了所有行星。 ，圍繞太陽的軌道都是橢圓形的，太陽在其中一個(gè)橢圓形中，行星在太陽引力的作用下沿著橢圓軌道運(yùn)動(dòng)；：開普勒第二定律在焦點(diǎn)處的內(nèi)容是連接行星的連線和太陽，如圖所示，連接行星和太陽的線以相等的時(shí)間間隔掃過相等的面積。 10.
開普勒第三定律發(fā)現(xiàn)于1619年：內(nèi)容是所有行星軌道的半長(zhǎng)軸的三次方與其公有的3a的比值與自轉(zhuǎn)周期的平方的比值相等，即比值= kkT2。 高中物理中不存在對(duì)所有行星都相同的常數(shù)的倒數(shù)。 ，普勒第三定律還沒有完整的證明，也沒有行星能量的證明。 圖 1：行星角動(dòng)量沿橢圓軌道的運(yùn)動(dòng)量。 許多高中生都在橢圓軌道上移動(dòng)地球。 ，假設(shè)行星的質(zhì)量為m，行星到太陽的距離為m，我對(duì)周期和能量的證明很感興趣。這篇微積分文章的目的是111···dS dθ rr dt ωrr dt vr===τ，就是用高中物理知識(shí)222計(jì)算出行星橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的周期和能量，而不用大學(xué)微積分。 完整單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積為 [] 證明1. dS 1mvr Lτ 常數(shù)()= vr== =1dt 2 τ 2m 2m。 本文的推導(dǎo)中，需要引入角動(dòng)量的知識(shí)。 角運(yùn)動(dòng)公式是行星角動(dòng)量的大小L。 ，該量是描述物體旋轉(zhuǎn)狀態(tài)的物理量。 角動(dòng)量為參考點(diǎn)，如圖所示，分別是行星的遠(yuǎn)日點(diǎn)和2A B附近。 粒子的位置向量與粒子動(dòng)量的叉積就是向量角運(yùn)動(dòng)。
,,太陽點(diǎn)和太陽點(diǎn)分別代表遠(yuǎn)日點(diǎn)和近日點(diǎn)速度下vv量的方向，它必須垂直于粒子的位置向量和動(dòng)量。 1.2 證明行星橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的周期和能量。 ,,, 的平面表達(dá)式為 L r mv 大小為 L mvr 其中 = ×= τ: (), , 作者簡(jiǎn)介 張海麗 1989 男碩士研究生，研究方向物理教學(xué)。 : (),,,,,, 導(dǎo)師侯樹 1965 女 博士副教授 碩士生導(dǎo)師 研究方向 中學(xué)物理教學(xué)。 —《物理通報(bào)》中學(xué)物理教學(xué)53年期2018 93a GMk= =2 2T 4π，則行星橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的周期和能量為2 3Mm4πaE=-GT= 圖2 遠(yuǎn)日點(diǎn)和近日點(diǎn)及其速度2aGM，，其中 是太陽的質(zhì)量， 是萬有引力常數(shù)， 是半長(zhǎng)軸。 從圖中的幾何關(guān)系，我們可以知道MGa。 2r acrac行星橢圓軌道運(yùn)動(dòng)周期和能量的公式對(duì)于解決1= +2= - 的問題非常有用，其中rr 2a。 下面的典型問題就是公式 + =1 2· 2 2 2() 的實(shí)際應(yīng)用。 rrac b2= - =1 2行星運(yùn)動(dòng)的總機(jī)械能等于其動(dòng)能和勢(shì)能之和，E3解題應(yīng)用，設(shè)行星與太陽的距離為角動(dòng)量，大小為角動(dòng)量為rL。 近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)的機(jī)械能和角動(dòng)量可表示為3。
1 典型問題 1、需要發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，使其在半徑為 rMm 1 的預(yù)定軌道上繞地球勻速圓周運(yùn)動(dòng) 22()E=-G+ mv3r 2、首先發(fā)射衛(wèi)星 ()L mvr4= 將式 43 代入式 43，則衛(wèi)星以恒定速度 r1()() 在半徑為 的近地臨時(shí)軌道上繞地球運(yùn)行，衛(wèi)星實(shí)際上作圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示圖中。 加上3AMm 1 ? L? 2,,? ÷()，使衛(wèi)星進(jìn)入橢圓轉(zhuǎn)移軌道。 當(dāng)衛(wèi)星E=-G+ m5mrr 2 è?,, 到達(dá)轉(zhuǎn)移軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)時(shí)，衛(wèi)星速度再次改變，使B()對(duì)變形： 5.進(jìn)入預(yù)定軌道。 試求橢圓軌道上A點(diǎn)的速度 B2L2()Er +- = 以及衛(wèi)星從A點(diǎn)到達(dá)所需的時(shí)間。設(shè)AB2m為萬有引力常數(shù)，地球的質(zhì)量為()。 () 總經(jīng)理。 和是方程解的組合表達(dá)式，由 Veda 確定。 r r621 2[] 由此可見 3Mm()r rG2a7+ =-=1 2EL2 2·()rr=-=b81 22mE() 由公式推導(dǎo)出 7Mm()E= -G92a 典型問題 圖 31() 推導(dǎo)自式8： 解析： v vAA B( )L b 2mE10= - ，衛(wèi)星在橢圓軌道上的速度分別用 和 表示。 力學(xué) BA B() 從公式可以推導(dǎo)出，行星運(yùn)動(dòng)的周期為1，能量等于動(dòng)能和勢(shì)能之和。 根據(jù)導(dǎo)出的行星能量·πab πab πab 2m( )，T== =11，公式為dS LLdt 2mMm1 2Mm點(diǎn)A Gmv G-=-Ar r 2r1+ 21 其中πab為橢圓面積。
Mm1 2Mm() ( )( ) 點(diǎn)并代入方程： 和等式。 代入方程。 得到B Gmv G-=- r 2r1+ 22··πab 2m πab 2mT=== 2mE。 求解得 v =2-A()rr r1 1+ 22 3 ·πab 2m4πa( )= =? Mm?B()?÷rr rb 2m -G2 1+ 2-è 2a? 衛(wèi)星橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的周期由公式可得 ( ) 《物理通報(bào)》中學(xué)物理教學(xué)12-54期2018年92期 3、rr的幾何性質(zhì)表明，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)到橢圓上任意點(diǎn)的距離為4πa1+2T =a=GM2，距離之和為 需要時(shí)間AB。 只要長(zhǎng)軸上的另一個(gè)焦點(diǎn)到 RC 的距離 () 最小，則橢圓的半長(zhǎng)軸也最小。 顯然，當(dāng)另一個(gè)πr rr r11+ 2 1+ 2t T= =222GM 時(shí)，當(dāng)焦點(diǎn)位于垂直線的垂直腳時(shí)，焦點(diǎn)的C ABC 為3。 2 典型問題2物理資源網(wǎng)，，距離必須最小，所以這是另一個(gè)焦點(diǎn)，如圖P5所示。 ，從赤道上一點(diǎn)發(fā)射洲際導(dǎo)彈精確命中C。從北極發(fā)射所需的能量至少是假設(shè)地球?yàn)?N。
質(zhì)量分布均勻、半徑為 RR 的球體。 =,? 不考慮地球自轉(zhuǎn)，最小發(fā)射速度是多少？ 圖5 幾何關(guān)系分析 從幾何關(guān)系可以看出 22a RR= +2 圖典型問題圖， 42 假設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射時(shí)的速度為v:,, 分析導(dǎo)彈發(fā)射后，會(huì)沿著橢圓Mm 1 2MmE Gmv G=-=-2a 2R,，受地球引力影響的圓形軌道。 如果導(dǎo)彈能擊中該點(diǎn)，則橢圓一定是 NMm。 它位于北極和赤道經(jīng)過地心的地方。 發(fā)射點(diǎn)構(gòu)成 ONCG 2 = mgR, () 的平面。 因此，導(dǎo)彈的發(fā)射速度和初速度也必須為v。由上式可得 ( )3v 2R 2 1= g-,行星繞太陽運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量守恒的解釋，在這個(gè)平面上，地球的中心是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)。 根據(jù)對(duì)稱性 將O代入數(shù)據(jù)，可得 /v 7.2km s= ,, 注意橢圓上兩點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與CNO參考等相同行星繞太陽運(yùn)動(dòng)角動(dòng)量守恒的解釋，因此橢圓的長(zhǎng)軸所考察的是垂直于點(diǎn)OCN()的直線：，趙開華力學(xué)第二版北京高等教育出版社1。 2004. 56，即圖上直橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)一定在5ABAB()上：，張涵莊力學(xué)第二版北京高等教育出版社2。 2012. 153Mm，由行星能量表達(dá)式EG可知，所需排放量=-( )：
