伯努利方程是描述流體沿流線流動時能量守恒的物理定律。它基于幾個假設：穩態流動、無粘性流體、不可壓縮流體以及流線沿線沒有外力。
伯努利方程可以表示為：
P + 1/2ρv2 + ρgh =
在：
P為流體的靜壓（單位：帕斯卡，Pa），
ρ 是流體的密度（以千克/立方米為單位，kg/m3），
v 是流體的速度（單位：米/秒，m/s），
g 是重力加速度（米/秒2，m/s2），
h為流體的高度（以米，m為單位）。
該方程表明，在封閉系統中，沿流線流動的非粘性、不可壓縮流體的總能量保持不變。它包括三個項：靜壓、動能和勢能。當流體速度增加時，靜壓會降低；相反，當流體速度降低時，靜壓會增加。
伯努利方程在流體力學、空氣動力學和液體動力學中有著廣泛的應用，可用于分析和計算各種流體流動問題，如管道流動、飛機氣動性能、渦流和水流，為理解和預測流體行為提供了基本框架和工具。
伯努利方程的應用：
1. 管道流動
伯努利方程可用來分析管道內流體的流動，通過測量不同位置的壓力、速度、高度等參數，可以計算出管道內流體的流量、流速、壓力變化等。
2. 空氣動力學
伯努利方程在空氣動力學中也有重要的應用，例如對于飛機的翼型，可以利用伯努利方程來分析翼型上方和下方氣流的速度差，從而解釋升力產生的原理。
3. 水流與河流
伯努利方程可用來分析河流中的水流和運動，通過觀察不同位置的水流速度和水面高度，可以推斷出水流的能量轉換和流量變化。
4.噴霧裝置
噴射裝置（如火箭、噴氣發動機等）是伯努利方程的典型應用之一，通過向環境中噴射高速氣體，根據伯努利方程可以計算出噴射物的速度和推力。
5.噴泉及水利工程
伯努利方程可用來分析噴泉和水利工程中的水流，通過測量不同位置的壓力和流速，可以確定噴泉的高度、水流的速度以及噴泉的效果。
6. 渦流與渦街
伯努利方程也可應用于渦旋和渦街的研究，通過測量流體中的壓力和速度，可以識別和分析渦旋和渦街的形成和行為。
以上只是伯努利方程應用的一些例子，但它在液體和氣體流體力學的研究以及相關領域的工程應用中起著重要作用。
伯努利方程示例
例子：一根水平管道突然從直徑 D? 徑向收縮到直徑 D?（D?
回答：
根據伯努利方程，我們可以得出以下方程：
P? + 1/2ρv?2 + ρgh = P? + 1/2ρv?2 + ρgh
由于管道兩端的高度相同，因此可以省去高度項。由于流體不可壓縮，因此也可以省去密度項。因此，我們得到了簡化方程：
P? + 1/2v?2 = P? + 1/2v?2
由于題目沒有提到壓力的變化，我們可以假設管道上端和下端的壓力相等，即P?=P?。代入公式可得：
1/2v?2 = 1/2v?2
取消等式兩邊相同的項可得出：
v?2=v?2
然后取平方根并得到最終結果：
v? = ±v?
由于流量為正值，我們可以得出結論：
v?=v?
因此，無論管道直徑如何變化，流速始終保持恒定。
這是一個簡單的例子，演示了伯努利方程的應用。事實上，伯努利方程可以應用于更復雜的情況，例如不可壓縮流體在彎曲管道中的流動或具有較大高度差的液體的流動。
不要灰心，有時你需要重新回憶和學習物理知識。伯努利方程是描述流體運動中能量守恒的基本方程。其公式如下：
[P + frac{1}{2} rho v^2 + rho gh = text{常數}]
此方程包含流體的壓力（P）、速度（v）、密度（ρ）和重力勢能（ρgh）之間的關系。其中，P表示流體的壓力，v表示流體的流速，ρ表示流體的密度，h表示流體的高度，g表示重力加速度。常數部分意味著在流體流動的路徑上所考慮的點處，該項的總和是常數。伯努利方程適用于理想流體，即無粘性、不可壓縮且不受外力作用的流體系統。
學習過程中忘記一些知識很正常，老師答不出來也很正常，重要的是保持學習的態度和前進的動力，希望這篇回答能幫助大家重新理解伯努利方程。
丹尼爾·伯努利于1726年提出了“伯努利原理”。這是流體力學連續介質理論方程建立前，在水力學中應用的基本原理。其本質是流體的機械能守恒。即：動能+重力勢能+壓強勢能=常數。其最著名的推論是：當流動處于等高狀態時，流速越大，壓強越小。
伯努利原理常表示為p+1/2ρv2+ρgh=C，稱為伯努利方程。式中，p為流體中某點的壓強，v為該點流體的速度，ρ為流體密度，g為重力加速度，h為該點的高度，C為常數。也可以表示為p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。
需要注意的是，由于伯努利方程是從機械能守恒推導出來的，因此它僅適用于粘度可忽略且不可壓縮的理想流體。
原始表達
適用于理想流體（無摩擦阻力）。公式中每一項代表單位流體的動能、勢能、靜壓能之差。
假設
在使用伯努利原理之前，必須滿足以下假設；如果以下假設不完全滿足，則尋求的解也只是近似值。
穩定流：在流動系統中，任何一點的流體性質不會隨時間而改變。
不可壓縮流動：密度一定，流體為氣體時，適用馬赫數（Ma）。無摩擦流動：可忽略摩擦影響，忽略粘性影響。
流體沿流線流動：流體元素沿流線流動，流線之間不相交。
推導過程
考慮一種滿足上述假設的流體，如圖所示：
流體因力而產生的能量：
由于重力做功而導致流體損失的能量：
流體獲得的動能可以重寫為：
根據能量守恒定律，流體因力而獲得的能量+流體因重力做功而損失的能量=流體獲得的動能。
之后
詳細介紹
丹尼爾·伯努利于 1726 年首次提出了這一原理：在水或空氣流動中，如果速度低，則壓力高，如果速度高，則壓力低。這一原理有一些局限性，但我們在此不討論。以下是一些更流行的解釋：
向管子AB內吹入空氣。管子截面小的地方（如a處），空氣速度大；截面大的地方（如b處），空氣速度小。速度大的地方壓強小，速度小的地方壓強大。由于a處氣壓小，所以管子C中的液體上升；同時，b處氣壓相對較大，所以管子D中的液體下降。圖215中，管子T固定在鐵制圓盤DD上；空氣從管子T出來后，要與不與管子T相連的另一個圓盤dd摩擦。兩個圓盤之間的空氣速度很高，但是越靠近圓盤邊緣，空氣速度減小得越快，因為氣流從兩個圓盤之間流出，截面在迅速增大，慣性逐漸被克服，但是圓盤周圍的氣壓很高，因為這里的空氣速度低；而圓盤之間的氣壓很低，因為這里的空氣速度高。 因此，兩個圓盤周圍的空氣使圓盤靠得更近的作用大于兩個圓盤之間的氣流使圓盤分開的作用；結果，來自 T 型管的氣流越強，圓盤 dd 被吸向圓盤 DD 的力就越大。
圖 216 與圖 215 類似，只是使用的是水。如果圓盤 DD 的邊緣向上彎曲，圓盤 DD 上快速流動的水將從其原來的較低水平上升到與水箱中的靜止水相同的水平。因此，圓盤下方的靜止水將比圓盤上方的流動水具有更高的壓力，這將導致圓盤上升。軸 P 的目的是防止圓盤側向移動。
圖 217 顯示了一只非常輕的球漂浮在氣流中。氣流撞擊球并阻止其下落。一旦球跳出氣流，周圍的空氣就會將其推回氣流中，因為周圍的空氣速度低且壓力高，而氣流中的空氣速度高且壓力低。
圖218中的兩艘船在靜水中并排航行，或在流動的水中并排停泊。兩艘船之間的水面較窄，因此中間的水流速度比兩艘船外部的水流速度大，而壓強也比兩艘船外部的小。結果，兩艘船被船外較大的水壓擠壓在一起。水手們都很清楚壓力公式p是什么壓力公式p是什么，兩艘并排航行的船會相互產生強烈的吸引力。
如果兩艘船并排行駛，其中一艘船稍稍落后，如圖 219 所示，情況會更加嚴重。使兩艘船靠得更近的兩個力 F 和 F 會使船轉向，而 B 船轉向 A 船的力會更大。在這種情況下，碰撞是不可避免的，因為舵將無法及時改變船的方向。
圖 218 中描述的現象可以用下面的實驗來說明。兩個很輕的橡膠球如圖 220 所示懸掛著。如果你向兩個球中間吹氣，它們就會互相靠近并相互碰撞。
省略插圖。
【來源：百度百科】