費馬原理是光學(xué)中的重要法則之一，描述了光線在兩個介質(zhì)的分界面上的傳播規(guī)律。反射定理則是由費馬原理推論得出的，它規(guī)定了入射光線與法線之間的角度等于反射光線與法線之間的角度。下邊是依照費馬原理推論反射定理的過程，并用進行估算驗證：我們考慮一個光線從一個介質(zhì)A射入到另一個介質(zhì)B的分界面上的情況。假定光線從A中以一定的角度入射到介質(zhì)B，這么依照費馬原理，光線在A、B兩個界面以及其路徑上的所有點的光程之和應(yīng)該是個極小值。假定入射角為θi，這么光線在A中的路徑可用光程表示為F1=n1*l1，其中n1是介質(zhì)A的折射率，l1是光線在A中的行進距離。同理，光線在B中的路徑可用光程表示為F2=n2*l2，其中n2是介質(zhì)B的折射率，l2是光線在B中的行進距離。依照費馬原理，我們有?(F1+F2)=0，即?(n1*l1+n2*l2)=0。又光線路徑l=l1+l2光的折射定律的應(yīng)用，行進時間t=l/c，其中c是光在真空中的傳播速率。而光程的時間表示為F/c，將上述結(jié)果代入，我們有?(n1*t1+n2*t2)=0。在分界面處光的折射定律的應(yīng)用，光線的速率將發(fā)生變化。
定義入射光線的速率為v1=c/n1，反射光線的速率為v2=c/n2，依據(jù)光線的速率與光程的關(guān)系，我們有t1=l1/v1=n1*l1/c，t2=l2/v2=n2*l2/c。將上述結(jié)果代入?(n1*t1+n2*t2)=0，得?(n1*n1*l1+n2*n2*l2)=0。按照最小極值原理，我們得到n1*n1*l1=n2*n2*l2。按照幾何關(guān)系，我們有sin(θi)=l1/d，sin(θr)=l2/d，其中d是光線到法線的距離。代入前面的結(jié)果，我們得到反射定理：n1*sin(θi)=n2*sin(θr)。通過進行驗證，首先我們輸入介質(zhì)A和介質(zhì)B的折射率:n1=1.5;%介質(zhì)A的折射率n2=1.33;%介質(zhì)B的折射率之后依照反射定理，求出入射角和反射角:θi=30;%入射角θr=asind(n1*sind(θi)/n2);%反射角通過估算可得，當(dāng)入射角為30度時，反射角約為22.72度。再通過實驗檢測入射角和反射角，可以比較估算結(jié)果和實驗結(jié)果是否吻合，以驗證費馬原理推論得到的反射定理的正確性。
