簡介播報
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維納過程的地位在純物理中與在應(yīng)用物理中同等重要。在純物理中，維納過程引起了對連續(xù)鞅理論的研究，是描畫一系列重要的復(fù)雜過程的基本工具。它在隨機剖析、擴散過程和位勢論領(lǐng)域的研究中是不可或缺的。在應(yīng)用物理中，維納過程可以描述高斯白噪音的積分方式。在電子工程中，維納過程是構(gòu)建噪聲的物理模型的重要部份。控制論中，維納過程可以拿來表示不可知誘因。
維納過程和數(shù)學(xué)學(xué)中的布朗運動有密切關(guān)系。布朗運動是指飄浮在液體中的花粉微小顆粒所進行的無休止隨機運動。維納運動也可以描述由福克-普朗克多項式和郎之萬方程確定的其他隨機運動。維納過程構(gòu)成了量子熱學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)路徑積分?jǐn)⑹龅幕A(chǔ)（按照費曼-卡茨公式，薛定諤多項式的解可以用維納過程表示）。金融物理中[1]，維納過程可以用于描述期權(quán)定價模型如布萊克-斯科爾斯模型。
定義播報
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若一個隨機過程{X(t),t>=0}滿足：
⑴X(t)是獨立增量過程；
⑵任意s,t>0,X(s+t)-X(s)~N(0,σ^2*t），即X(s+t)-X(s）是期望為0，殘差為σ^2*t的正態(tài)分布；
⑶X(t)關(guān)于t是連續(xù)函數(shù)。
則稱{X(t),t>=0}是維納過程（）或布朗運動。
特點播報
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維納過程又稱布朗運動，它具有如下特征：
⑴過程的當(dāng)前值就是作出其未來預(yù)測中所需的全部信息。
⑵維納過程具有獨立增量。該過程在任一時間區(qū)間上變化的機率分布獨立于其在任一的其他時間區(qū)間上變化的機率。
⑶它在任何有限時間上的變化服從正態(tài)分布什么是布朗運動，其殘差隨時間區(qū)間的寬度呈線性降低。
給定二階矩過程{W(t),t>=0},倘若它滿足
1、具有獨立增量
2、對任意的t>s>=0，增量
W(t)-W(s)~N(0,σ^2(t-s）），且s>0
3、W(0)=0
則稱此過程為維納過程.
維納過程是布朗運動的物理模型.美國動物學(xué)家布朗在顯微鏡下，觀察懸浮在平淡的液面上的微小粒子，發(fā)覺它們不斷地進行著零亂無章的運動，這些現(xiàn)象后來稱為布朗運動.以W(t）表示運動中一微粒從時刻t=0到時刻t>0的位移的橫座標(biāo)（同樣也可以討論縱座標(biāo)），且設(shè)W(0)=0，按照愛因斯坦1905年提出的理論，微粒的這些運動是因為遭到大量隨機的互相獨立的分子的碰撞的結(jié)果.于是，粒子在時段（s,t]上的位移可以看作是許多微小位移的代數(shù)和.則W(t)-W(s）服從正態(tài)分布。
維納過程增量的分布只與時間差有關(guān)，所以它是齊次的獨立增量過程.它也是正態(tài)過程.其分布完全由它的均值函數(shù)與自協(xié)殘差函數(shù)所確定.維納過程不只是布朗運動的物理模型，電子器件在恒溫下的熱噪音也可歸結(jié)為維納過程。
證券定價模型BS模型中，證券價錢及其所依賴的標(biāo)的資產(chǎn)價錢都受同一種不確定誘因的影響，二者也都是依循相同的維納過程。
性質(zhì)播報
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基本性質(zhì)
對任意的正實數(shù)，一維維納過程在時刻是一個隨機變量，它的機率密度函數(shù)是：
這是由于根據(jù)維納過程的定義，當(dāng)
時，可以推出
的分布：
它的物理期望是零：
它的殘差是：t：
在維納過程的獨立增量定義中，令
，
，
，這么
和
是互相獨立的隨機變量什么是布朗運動，但是
所以兩個不同時刻
與
協(xié)殘差和相關(guān)性函數(shù)相關(guān)系數(shù)是：
，
即時最值
維納過程中的即時最大值
與的
聯(lián)合機率分布是：
而即時最大值的分布
是對
的積分：
即時最大值的物理期望是：
因為維納過程上下對稱，即時最小值其實是即時最大值的相反數(shù)。
對稱性質(zhì)
將一個維納過程不斷按比列展開，它的一部份都會呈現(xiàn)另一個維納過程的樣子
時間平移不變性和馬爾可夫性質(zhì)
維納過程具有馬爾可夫性質(zhì)，也就是說，在任意一點以后的走勢僅僅和這一點的取值相關(guān)，而與之前的取值無關(guān)。因而維納過程具有時間平移不變性：隨機過程也是一個維納過程。除了這般，維納過程還滿足強馬爾可夫性質(zhì)：對任意的有限停時，隨機變量獨立于混頻。
維納過程的強馬爾可夫性質(zhì)，說明即使給定的時間不是定時而是一個停時，維納過程在停時以后的走勢一直與之前無關(guān)。所以，將停時以后的維納過程上下反轉(zhuǎn)，依然會是一個維納過程。用物理語言來說，就是：給定一個停時過后，隨機變量也是一個維納過程。這個性質(zhì)亦稱為維納過程的反射原理。